變分法/第九章

第九章：共軛點。

• 122 微分方程 $J=0$ 的二階變分。
• 123,124 方程 $G=0$ 和 $J=0$ 的解。從一階變分推導的二階變分。
• 125 $G=0$ 解中的常數變分。
• 126 微分方程 $J=0$ 的解 $u_{1}$ 和 $u_{2}$。
• 127 這些解彼此獨立。
• 128 函式 $\Theta (t,t')$。共軛點。
• 129 共軛點在曲線上的相對位置。
• 130 比例 ${\frac {u_{1}}{u_{2}}}$ 的圖形表示。
• 131 總結。
• 132 曲線 $G=0$ 和 $\delta G=0$ 的交點。
• 133 當兩個共軛點是積分限時，以及當一對共軛點位於這些限之間時的二階變分。

第 122 條.
前一章給出的條件不足以證明最大值或最小值的存在。假設 $F_{1}$ 在區間 $t_{0}\ldots t_{1}$ 內既不為零也不為無窮大，假設可以找到兩個函式 $\phi _{1}(t)$ 和 $\phi _{2}(t)$，它們滿足上一章的微分方程 13)，因此，

$u=c_{1}\phi _{1}(t)+c_{2}\phi _{2}(t)$

是 $J=0$ 的通解。 那麼，即使在積分限內可以證明 $u$ 不是無窮大，仍然可能發生，無論常數 $c_{1}$ 和 $c_{2}$ 如何選擇，函式 $u$ 消失，因此將 $v$ 方程轉換為 $u$ 方程是不可取的；因此，關於最大值或最小值的出現無法確定。 因此，我們再次必須更仔細地研究由方程 $J=0$ 定義的函式 $u$，以便我們能夠確定在什麼條件下該函式在區間 $t_{0}\ldots t_{1}$ 內不會消失。

可以看到，如果對於 $u$ 我們寫出

$u_{1}=-F_{1}u'\qquad$ [參見第 118 條，等式 11]，

因此

$v={\frac {u_{1}}{u}}=-F_{1}{\frac {u'}{u}}$

是 $v$ 中方程的解。

那麼，上一章的積分 10) 可以寫成

$\delta ^{2}I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F_{1}w^{2}\left({\frac {w'}{w}}-{\frac {u'}{u}}\right)^{2}~{\text{d}}t+\left[R+w^{2}F_{1}{\frac {u'}{u}}\right]_{t_{0}}^{t_{1}}$

從這裡我們可以看到，如果 ${\frac {w'}{w}}={\frac {u'}{u}}$，或如果 $w=Cu$，則第二變分不含積分符號；換句話說，如果我們對曲線進行任何變形（正規 [第 113 條，公式 5]），使得位移與微分方程 $J=0$ 的任何積分的取值成正比，則第二變分不含積分符號。

同樣，如果我們對曲線族 $G=0$ 中的任何一條曲線進行變形，使其變為該族中的相鄰曲線，我們得到一個同樣不含積分符號的表示式。因為（參見第 79 條和第 81 條），如果我們寫 $p={\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}={\frac {{\text{d}}s}{{\text{d}}t}}$，我們有

$\delta F=Gpw_{N}+\left[{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(\xi {\frac {\partial F}{\partial x'}}+\eta {\frac {\partial F}{\partial y'}}\right)\right]_{t_{0}}^{t_{1}}$,

因此，

$\delta ^{2}F=pw_{N}\delta G+G\delta (pw_{N})+\left[{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\delta \left(\xi {\frac {\partial F}{\partial x'}}+\eta {\frac {\partial F}{\partial y'}}\right)\right]_{t_{0}}^{t_{1}}$.

因此，如果 $\delta G=0$，我們這裡也有

$\delta ^{2}I=\left[\delta \left(\xi {\frac {\partial F}{\partial x'}}+\eta {\frac {\partial F}{\partial y'}}\right)\right]_{t_{0}}^{t_{1}}$.

可以證明曲線 $\delta G=0$ 是曲線族 $G=0$ 中的一條。曲線族 $G=0$ 中的曲線由（第 90 條）給出：

$x=\phi (t,\alpha ,\beta ),\qquad y=\psi (t,\alpha ,\beta )$,

其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 是任意常數。當對 $\alpha$、$\beta$ 我們寫成 $\alpha +\epsilon \alpha '$、$\beta +\epsilon \beta '$ 時，函式 $G$ 變為：

$G+\Delta G=G+\epsilon \delta G+\epsilon ^{2}(~~)+\ldots$

因此，當 $\epsilon$ 取非常小時，可以得出：

$x=\phi (t,\alpha +\epsilon \alpha ',\beta +\epsilon \beta '),\qquad y=\psi (t,\alpha +\epsilon \alpha ',\beta +\epsilon \beta ')$

是 $\delta G=0$ 的解，因為它同時是 $G+\Delta G=0$ 和 $G=0$ 的解。

現在，我們總是可以選擇正常的位移 ${\frac {w}{p}}$，這將使我們從曲線 $G=0$ 移到相鄰曲線 $\delta G=0$。由此看來，微分方程 $\delta G=0$ 和 $J=0$ 之間存在某種關係。

第 123 條.
在這方面，雅可比（Crelle's Journal，bd. 17，p. 68）的一個發現非常有用。他證明了，隨著微分方程 $G=0$ 的積分，微分方程 $J=0$ 也得到了積分。然後，我們就能推匯出 $u$ 的一般表示式，並能完全確定 $u=0$ 是否成立以及何時成立。接下來，我們將推匯出方程 $J=0$ 的一般解，前提是微分方程 $G=0$ 存在一般解。我們以以下形式推匯出第一變分

$\delta I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}Gw~{\text{d}}t+{\Big [}~~{\Big ]}_{t_{0}}^{t_{1}}$.

我們可以在這個表示式中只讓 $G$ 發生變化，然後只讓 $w$ 發生變化，然後將結果加起來，從而形成第二變分。

由此可知

$\delta ^{2}I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}(\delta Gw+G\delta w)~{\text{d}}t+{\Big [}~~{\Big ]}_{t_{0}}^{t_{1}}$. $\qquad$ (i)

由於微分方程 $G=0$ 應該滿足，我們有

$\delta ^{2}I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\delta Gw~{\text{d}}t+{\Big [}~~{\Big ]}_{t_{0}}^{t_{1}}$. $\qquad$ (a)

我們有 (第 76 條)

$G_{1}={\frac {\partial F}{\partial x}}-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\frac {\partial F}{\partial x'}}\right)$, $\qquad G_{2}={\frac {\partial F}{\partial y}}-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\frac {\partial F}{\partial y'}}\right)$,

以及

$G_{1}=y'G$, $\qquad G_{2}=-x'G$.

當在 $G_{1}$ 的表示式中進行以下替換

$x\rightarrow x+\epsilon \xi$, $\qquad y\rightarrow y+\epsilon \eta$

我們有

$G_{1}+\Delta G_{1}=(y'+\epsilon \eta ')(G+\Delta G)$;

並且由於

$\Delta G_{1}=\epsilon \delta G_{1}+\epsilon ^{2}(~~)+\cdots$,

$\Delta G=\epsilon \delta G+\epsilon ^{2}(~~)+\cdots$,

可以得出

$\delta G_{1}=y'\delta G=G\eta '$,

類似地

$\delta G_{2}=-x'\delta G-G\xi '$.

第 124 條.
當從最後兩個表示式中消除 $G$ 時，我們有

$\delta G_{1}\xi '+\delta G_{2}\eta '=(y'\xi '-x'\eta ')\delta G$. $\qquad (ii)$

另一方面，可以看出

$\delta G_{1}={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}\xi +{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}\eta +{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial x'}}\xi '+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y'}}\eta '-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial x'}}\xi +{\frac {\partial ^{2}F}{\partial ^{2}x'}}\xi '+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x'\partial y}}\eta +{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x'\partial y}}\eta '\right)$,

該表示式根據上一章的 2）、3）和 4），可以寫成以下形式：

$\delta G_{1}={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}\xi +{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}\eta +{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial x'}}\xi '+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}\eta '-{\frac {{\text{d}}L}{{\text{d}}t}}\xi -{\frac {{\text{d}}M}{{\text{d}}t}}\eta -L\xi '-M\eta '-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}y'{\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)$;

如果我們考慮到上一章的 3）、4）、6）和 7），我們可以將上述結果寫成以下形式

$\delta G_{1}=-y'{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)+y'F_{2}w$.

類似地，我們有

$\delta G_{2}=x'{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)-x'F_{2}w$.

當將這些值代入$(ii)$時，我們有

$\delta G=-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)+F_{2}w$. $\qquad (b)$

因此，從 (a) 我們得到

$\delta ^{2}I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)w+F_{2}w^{2}\right)~{\text{d}}t+{\Big [}~~{\Big ]}_{t_{0}}^{t_{1}}$.

透過之前的方法，我們發現二階變分為 [參見上一章公式 8)]

$\delta ^{2}I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(F_{1}\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)^{2}+F_{2}w^{2}\right)~{\text{d}}t+{\Big [}~~{\Big ]}_{t_{0}}^{t_{1}}$.

這兩個表示式在常數項上應該一致。積分的差為

$D=\int _{t_{0}}^{t_{1}}-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)w~{\text{d}}t-\int _{t_{0}}^{t_{1}}F_{2}\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)^{2}~{\text{d}}t$;

但由於

$\int {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)w~{\text{d}}t=wF_{1}{\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}-\int F_{1}\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)^{2}~{\text{d}}t$,

可以看出

$D=\left[-wF_{1}{\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right]_{t_{0}}^{t_{1}}$.

公式 (b) 為

$\delta G=F_{2}w-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)$.

當我們將此與前一章的 $12^{a})$ 進行比較時，<maht>u</math> 的微分方程，即

$0=F_{2}u-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}\right)$,

可以看出，一旦我們找到一個量 $w$，使得 $\delta G=0$，我們就會得到一個對應於 $u$ 微分方程的積分。

第 125 條.
$G$$G$ 的總變化量為

$\Delta G=G\left(x+\epsilon \xi _{1}+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\xi _{2}+\cdots ,y+\epsilon \eta _{1}+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\eta _{2}+\cdots ,x'+\epsilon \xi '_{1}+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\xi '_{2}+\cdots ,y'+\epsilon \eta _{1}'+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\eta _{2}'+\cdots ,x''+\epsilon \xi _{1}'+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\xi ''_{2}+\cdots ,y''+\epsilon \eta _{1}''+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\eta _{2}''+\cdots \right)-G(x,y,x',y',x'',y'')=\epsilon \delta G={\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\delta ^{2}G+\cdots )$,

其中 $\delta G$ 如前一節所述，其值為

$\delta G=-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)+F_{2}w$.

假設方程 $G=0$ 是可積的，令

$x=\phi (t,\alpha ,\beta )\qquad y=\psi (t,\alpha ,\beta )$

是滿足它的廣義表示式，其中$\alpha$，$\beta$是積分的任意常數。如果我們假設$\alpha$和$\beta$，在任意固定值後，增加了兩個任意小的量$\epsilon \delta \alpha$和$\epsilon \delta \beta$；也就是說，函式

${\bar {x}}=\phi (t,\alpha +\epsilon \delta \alpha ,\beta +\epsilon \delta \beta )=\phi (t,\alpha ,\beta )+\epsilon \left({\frac {\partial \phi }{\partial \alpha }}\delta \alpha +{\frac {\partial \phi }{\partial \beta }}\delta \beta \right)+\epsilon ^{2}(~~)$,

${\bar {y}}=\psi (t,\alpha +\epsilon \delta \alpha ,\beta +\epsilon \delta \beta )=\psi (t,\alpha ,\beta )+\epsilon \left({\frac {\partial \psi }{\partial \alpha }}\delta \alpha +{\frac {\partial \psi }{\partial \beta }}\delta \beta \right)+\epsilon ^{2}(~~)$

也是$G=0$的解。

第 126 條.
現在選擇曲線的變化（第 III 條）以滿足

${\bar {x}}=x+\epsilon \xi _{1}+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\xi _{2}+\cdots \qquad {\bar {y}}=y+\epsilon \eta _{1}+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\eta _{2}+\cdots$;

並且，無論$\delta \alpha$和$\delta \beta$的值為何，我們都可以透過以下關係式確定$\xi _{1}$，$\xi _{2}$，$\eta _{1}$，$\eta _{2}$等等，

$\xi _{1}={\frac {\partial \phi }{\partial \alpha }}\delta \alpha +{\frac {\partial \phi }{\partial \beta }}\delta \beta \qquad \eta _{1}={\frac {\partial \psi }{\partial \alpha }}\delta \alpha +{\frac {\partial \psi }{\partial \beta }}\delta \beta$. $\qquad (iii)$

對於$\alpha$和$\beta$的所有值，微分方程$G=0$都滿足；因此，當將剛才寫出的$\xi _{1}$，$\eta _{1}$等等的值代入上述$\Delta G$中時，該方程的右邊必須恆等為零，因此$\delta G$也必須為零。因此，相應的法向位移$w=y'\xi _{1}-x'\eta _{1}$將$G=0$曲線族中的一個曲線變換到該曲線族的另一個曲線。

由於 $\delta \alpha$ 和 $\delta \beta$ 是完全任意的，$\delta \alpha$ 和 $\delta \beta$ 的係數必須在 $\Delta G$ 的展開式中都消失。由於 (iii) $w=y'\xi _{1}-x'\eta _{1}$ 變為

$w=\left(y'{\frac {\partial \phi }{\partial \alpha }}-x'{\frac {\partial \psi }{\partial \alpha }}\right)\delta \alpha +\left(y'{\frac {\partial \phi }{\partial \beta }}-x'{\frac {\partial \psi }{\partial \beta }}\right)\delta \beta$.

將此 $w$ 的值代入方程 $\delta G=0$ 中，我們得到

$-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left[\left(y'{\frac {\partial \phi }{\partial \alpha }}-x'{\frac {\partial \psi }{\partial \alpha }}\right)\delta \alpha +\left(y'{\frac {\partial \phi }{\partial \beta }}-x'{\frac {\partial \psi }{\partial \beta }}\right)\delta \beta \right]\right)+F_{2}\left[\left(y'{\frac {\partial \phi }{\partial \alpha }}-x'{\frac {\partial \psi }{\partial \alpha }}\right)\delta \alpha +\left(y'{\frac {\partial \phi }{\partial \beta }}-x'{\frac {\partial \psi }{\partial \beta }}\right)\delta \beta \right]=0$.

透過分別將 $\delta \alpha$ 和 $\delta \beta$ 的係數分別設為零，我們得到兩個方程

$1)\qquad -{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\theta _{v}(t)\right)+F_{2}\theta _{v}(t)=0,\qquad (v=1,2)$

其中，為了簡潔，我們寫成

${\frac {\partial \phi (t)}{\partial t}}=\phi '(t),{\frac {\partial \phi }{\partial \alpha }}=\phi _{1}(t),{\frac {\partial \phi }{\partial \beta }}=\phi _{2},\qquad {\frac {\partial \psi (t)}{\partial t}}=\psi '(t),{\frac {\partial \psi }{\partial \alpha }}=\psi _{1}(t),{\frac {\partial \psi }{\partial \beta }}=\psi _{2}$

$2)\qquad \theta _{1}(t)=\phi '(t)\phi _{1}(t)-\phi '(t)\psi _{1}(t),\qquad \theta _{2}(t)=\psi '(t)\phi _{2}(t)-\phi '(t)\psi _{2}(t)$.

可以立即看出 $\theta _{1}(t)$ 和 $\theta _{2}(t)$ 是微分方程的解

${\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}\right)-F_{2}u=0$.

因此，可以看出，對 $u$ 的微分方程的一般解，可以透過對微分方程 $G=0$ 的積分進行簡單的微分得到。

第 127 條.
接下來我們要證明這兩個解$\theta _{1}(t)$ 和 $\theta _{2}(t)$ 是相互獨立的。為了使證明過程儘可能簡單，我們用 $x$ 來表示任意量 $t$。

那麼表示式 $x=\phi (t,\alpha ,\beta )$，$y=\psi (t,\alpha ,\beta )$ 等變為

$x=x,\qquad y=\psi (x,\alpha ,\beta ),$

$\phi '=1,\qquad \phi _{1}=0,\phi _{2}=0,\qquad \psi '={\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}},$

$\theta _{1}=-\psi _{1},\theta _{2}=-\psi _{2}$.

如果 $\theta _{1}$ 和 $\theta _{2}$ 是線性相關的，那麼我們必須有

$\theta _{2}={\text{constant}}\theta _{1}$,

由此立即得到

$\theta _{1}\theta _{2}'=\theta _{2}\theta _{1}'=0$,

其中撇號表示對 $x$ 的微分；或者說，

$\psi _{1}\psi _{2}'-\psi _{2}\psi _{1}'=0$.

另一方面，$y=\psi (x,\alpha ,\beta )$ 是微分方程的完全解，該方程由 $G_{2}=-x'G=0$ 推匯出，當 $x$ 用 $t$ 代替；也就是說，

${\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\left({\frac {\partial F}{\partial {\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}}}\right)-{\frac {\partial F}{\partial y}}=0$;

但這裡 $\alpha$ 和 $\beta$ 是兩個任意獨立常數，因此 $\psi$ 和 $\psi '={\frac {{\text{d}}\psi }{{\text{d}}x}}$ 相對於 $\alpha$ 和 $\beta$ 是相互獨立的，因此行列式

$\psi _{1}\psi _{2}'-\psi _{2}\psi _{1}'$

不等於零。因此，$\theta _{1}$ 和 $\theta _{2}$ 是相互獨立的，因為相反的假設與剛剛建立的結果相矛盾。因此，微分方程 $J=0$ 的通解形式為

$u=c_{1}\theta _{1}(t)+c_{2}\theta _{2}(t)$,

其中 $c_{1}$ 和 $c_{2}$ 是任意常數。

第 128 條.
遵循魏爾斯特拉斯的方法，我們剛剛證明了雅可比的斷言；因為，只要我們有了 $G=0$ 的完全積分，很容易表達微分方程 $J=0$ 的完全解。

常數 $c_{1}$ 和 $c_{2}$ 可以這樣確定，使 $u$ 在一個確定的位置 $t'$ 上消失，該位置可能位於曲線上的某個點，在我們到達 $t_{1}$ 之前。這可以透過寫下以下內容來實現

$c_{1}=-\theta _{2}(t'),\qquad c_{2}=\theta _{1}(t')$.

方程 $J=0$ 的解變為

$3)\qquad u=\theta _{1}(t')\theta _{2}(t)-\theta _{2}(t')\theta _{1}(t)=\Theta (t,t')$.

可能會發現 $\Theta (t,t')$ 對於 $t$ 的其他值都為零；但也可能存在 $t'$ 以外的點，使得 $\Theta (t,t')$ 變為零。如果 $t''$ 是緊接 $t'$ 之後的 $\Theta (t,t')$ 的第一個零點，則 $t''$ 被稱為 $t'$ 的 *共軛點*。

由於 $t'$ 是任意選擇的，我們可以將曲線上的每個點與其共軛點相關聯。根據這一前提，我們得到以下定理，同樣歸功於雅可比：

如果在區間 $t_{0}\ldots t_{1}$ 內不存在兩個互為共軛點的點，那麼就可以找到一個滿足微分方程 $J=0$ 且在區間 $t_{0}\ldots t_{1}$ 內始終不為零的 u。

第 129 條.
設點 $t=t'$ 是函式的零點

$u=\Theta (t,t')$,

假設 $t''$ 是 $t'$ 的共軛點，那麼 $\Theta (t,t')$ 在區間 $t'\ldots t''$ 內不會再次為零。考慮點 $t'$ 附近的點 $t'+\tau$，其中 $\tau >0$，那麼與 $t'+\tau$ 共軛的點只能位於 $t''$ 的另一側。下面將證明這一點。

如果 ${\displaystyle }$u = Θ(t,t') 是以下方程的解

$F_{1}{\frac {{\text{d}}^{2}u}{{\text{d}}t^{2}}}+{\frac {{\text{d}}F_{1}}{{\text{d}}t}}{\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}-F_{2}u=0$,

那麼

${\bar {u}}=\Theta (t,t'+\tau )$

也是同一個方程的解；也就是說，它是以下方程的解：

$F_{1}{\frac {{\text{d}}^{2}{\bar {u}}}{{\text{d}}t^{2}}}+{\frac {{\text{d}}F_{1}}{{\text{d}}t}}{\frac {{\text{d}}{\bar {u}}}{{\text{d}}t}}-F_{2}{\bar {u}}=0$,

由於 ${\bar {u}}$ 與 $u$ 之間的差異僅在於任意常數 $c_{1}$ 和 $c_{2}$ 的選擇不同。

如果 $\tau$ 被選擇足夠小，那麼 $\Theta (t'+\tau ,t')$ 不同於零，因此 $\Theta (t',t'+\tau )\neq 0$。

從上面兩個方程中消去 $F_{2}$，我們得到

$4)\qquad F_{1}\left(u{\frac {{\text{d}}^{2}{\bar {u}}}{{\text{d}}t^{2}}}-{\bar {u}}{\frac {{\text{d}}^{2}u}{{\text{d}}t^{2}}}\right)+{\frac {{\text{d}}F_{1}}{{\text{d}}t}}\left(u{\frac {{\text{d}}{\bar {u}}}{{\text{d}}t}}-{\bar {u}}{\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}\right)=0$.

現在寫下

$5)\qquad u{\frac {{\text{d}}{\bar {u}}}{{\text{d}}t}}-{\bar {u}}{\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}=v$,

上式變為

$6){\frac {{\text{d}}v}{v}}=-{\frac {{\text{d}}F_{1}}{F_{1}}}$,

對上式積分得

$7)\qquad v=u{\frac {{\text{d}}{\bar {u}}}{{\text{d}}t}}-{\bar {u}}{\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}=+{\frac {C}{F_{1}}}$.

在該表示式中，常數 $C$ 不能為零，因為在那種情況下，

$u={\text{const.}}{\bar {u}}$,

或

$\Theta (t,t')={\text{const.}}\Theta (t,t'+\tau )$.

然而，由於 $\Theta (t,t')$ 當 $t=t'$ 時為零，因此從上面可以得出 $\Theta (t',t'+\tau )=0$，這與假設相矛盾，因此 $C$ 不能為零。

此外，假設 $F_{1}$ 在區間 $t_{0}\ldots t_{1}$ 內不改變符號或不為零。如果 $F_{1}$ 在段 $t_{0}\ldots t_{1}$ 內不從正變為負或反之亦然，那麼一般來說，無法得出進一步的結論，並且需要針對每種特定情況進行專門研究。

然而，在第一種情況下，$v$ 有一個有限值，並且式 7) 除以 $u^{2}$ 之後變為

${\frac {u{\frac {{\text{d}}{\bar {u}}}{{\text{d}}t}}-{\bar {u}}{\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}}{u^{2}}}={\frac {{\text{d}}{\frac {\bar {u}}{u}}}{{\text{d}}t}}={\frac {C}{F_{1}u^{2}}}$,

該表示式在積分後得到

${\bar {u}}=Cu\int _{t'+\tau }{\frac {{\text{d}}t}{F_{1}u^{2}}}$.

由於函式 $u$ 在 $t'$ 和 $t''$ 之間不為零，從最後一個表示式可以得出，${\bar {u}}$ 在 $t'+\tau$ 和 $t''$ 之間的限制內不會為零。因此，如果存在一個與 $t'+\tau$ 共軛的點，它不可能位於 $t''$ 之前。 因此，如果我們選擇一個在 $t''$ 之前，並且儘可能靠近它的點 $t'''$，那麼 $u'$ 當然不會在間隔 $t'+\tau \ldots t'''$ 內為零。

如果 $t'$ 是一個位於 $t_{0}$ 之前的點，如果我們確定與 $t'$ 共軛的點 $t''$，並選擇一個點 $t_{1}$ 位於 $t''$ 之前，並且儘可能接近它，那麼從前面可以清楚地看到，在區間 $t_{0}\ldots t_{1}$ 內（不含邊界），沒有相互共軛的點。然後，如上所述，我們可以找到一個函式 $u$，它滿足微分方程 $J=0$，並且在邊界或區間 $t_{0}\ldots t_{1}$ 內均不為零。因此，第 117 條的變換是允許的，而 $\delta ^{2}I$ 的符號僅取決於 $F_{1}$ 的符號。

第 130 條.
我們可以更仔細地研究第 120 條的關係，其中

$u_{2}{\frac {{\text{d}}u_{1}}{{\text{d}}t}}-u_{1}{\frac {{\text{d}}u_{2}}{{\text{d}}t}}={\frac {C}{f_{1}}}$.

在所考慮的區間內（包括邊界），我們假設 $F_{1}$ 不變為零或無窮大，因此保持相同的符號。此外，常數 $C$ 始終具有相同的值，並且不為零，因為 $u_{1}$ 和 $u_{2}$ 是線性無關的。

因此，${\frac {{\text{d}}u_{1}}{{\text{d}}t}}$ 無法在 $u_{1}$ 為零時也為零；因為如果那樣 $C$ 將會為零，這與我們的假設相矛盾。

由於形式

${\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\frac {u_{1}}{u_{2}}}\right)={\frac {1}{u_{2}^{2}}}{\frac {C}{F_{1}}}$,

很明顯，${\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\frac {u_{1}}{u_{2}}}\right)$ 的符號與 ${\frac {C}{F_{1}}}$ 相同。我們可以將該符號取為正，因為否則由於表示式

$u_{1}{\frac {{\text{d}}u_{2}}{{\text{d}}t}}-u_{2}{\frac {{\text{d}}u_{1}}{{\text{d}}t}}={\frac {C}{F_{1}}}$

我們會得到 ${\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\frac {u_{2}}{u_{1}}}\right)$ 是 *正* 的。因此，我們可以假設已經對 $u$ 進行了索引，使得 ${\frac {u_{1}}{u_{2}}}$ 始終隨著 t 的增大而增大。

比率 ${\frac {u_{1}}{u_{2}}}$ 在 $u_{2}$ 等於 0 時將變得無窮大（參見第 120 條）。由於該商始終隨著 $t$ 的增大而增大，因此相應的曲線的軌跡必須穿過 $+\infty$，然後再次（如果它確實返回）從 $-\infty$ 返回。使該商具有相同值的 $t$ 的值可以稱為 *同餘*。

正如附圖所示，很明顯，這些值與兩個 $t$ 值等距，例如 $t_{0}$ 和 $t_{1}$，它們使 $u_{2}=0$。橫座標是 $t$ 的值，縱座標是對應比率 ${\frac {u_{1}}{u_{2}}}$ 的值。

第 131 條.
總結：我們假設了在 $F_{1}$ 在所考慮的曲線沿其為零的情況下，排除了這些情況。如果該函式在曲線的孤立點處為零，則將是我們所考慮情況的極限情況。如果它在該曲線的一段沿其為零，我們必須考慮三階變化，並且通常沒有最大值或最小值，除非此變化也消失，導致我們研究四階變化。我們將這些情況從目前的處理中排除，並假設 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 在我們的曲線沿其處處都有限（否則，二階變化的表示式，即“

$\int (F_{1}w'^{2}+F_{2}w^{2})~{\text{d}}t$,

將毫無意義）。

我們還在第 124 條中推導了 $G$ 的變化形式

$\delta G=F_{2}w-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)$,

並將此與微分方程

$12^{a})\qquad 0=F_{2}u-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}\right)\qquad$ （參見第 118 條）比較，

可以看出，如果微分方程 $12^{a})$ 的積分 $u$ 在任何 $t$ 值處消失，則方程 $\delta G=0$ 的對應積分 $w$ 在相同的 $t$ 值處消失。

在第 126 條中，我們有

$w=y'\xi _{1}-x'\eta _{1}=\delta \alpha \theta _{1}(t)+\delta \beta \theta _{2}(t)$,

其中，位移 $\xi _{1}$，$\eta _{1}$ 將我們從曲線 $G=0$ 上的一點移動到曲線 $\delta G=0$ 上的一點。因此，法向位移 $w_{N}$ 僅在曲線 $G=0$ 和 $\delta G=0$ 相交的點處為零。

在這樣的點上，我們必須有

$\delta \alpha \theta _{1}(t)\delta \beta \theta _{2}(t)=0$.

當選定曲線族 $G=0$ 中的一條時，兩個相關的常數 $\alpha$ 和 $\beta$ 是固定的。這些是在 $\theta _{1}(t)$ 和 $\theta _{2}(t)$ 中出現的常數。如果曲線還透過一個固定的點 $P_{0}$，則變數 $t$ 被確定，因此函式 $\theta _{1}(t)$ 和 $\theta _{2}(t)$ 被明確確定，因此比率 $\delta \alpha :\delta \beta$ 從上述關係中明確已知。曲線 $G=0$ 和 $\delta G=0$ 可能會有第二個交點。這個點是 $P_{0}$ 的共軛點（參見第 128 條）。

第 132 條.
這些共軛點的幾何意義將在第十一章中更全面地討論。將第二變分寫成以下形式

$\delta ^{2}I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F_{1}w^{2}\left({\frac {w'}{w}}-{\frac {u'}{u}}\right)~{\text{d}}t$,

我們看到，當${\frac {w'}{w}}-{\frac {u'}{u}}=0$ 時，即$u=Cw$。現在，$w$ 在曲線的兩個端點處都為零，因為在這些點上沒有變化，但是$u$ 僅當 $P_{1}$ 與 $P_{0}$ 共軛時才等於零。因此，除非兩條曲線$G=0$ 和 ${\displaystyle }$\delta G = 0 在 $P_{1}$ 處再次相交，$u$ 在 $P_{1}$ 處不等於零，因此

$\left({\frac {w'}{w}}-{\frac {u'}{u}}\right)^{2}\neq 0$.

在這種情況下，如果 $F_{1}$ 在區間 $t_{0}\ldots t_{1}$ 內始終為正，則積分 $I$ 有可能存在最小值，而當 $F_{1}$ 在該區間內始終為負時，則有可能存在最大值。

第 133 條.
接下來，令 $P_{1}$ 與 $P_{0}$ 共軛，因此在積分的兩個極限處我們都有$u=0=w$。然後，我們可以在曲線的其他所有點上取 $u=w$，因此

$\delta ^{2}I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F_{1}w^{2}\left({\frac {w'}{w}}-{\frac {u'}{u}}\right)^{2}~{\text{d}}t=0$.

在考察更高階的變化之前，我們不能對最大值或最小值做出任何判斷。^[1]

接下來，假設一對共軛點位於 $P_{0}$ 和 $P_{1}$ 之間，並設這些點分別為 $P'$ 和 $p''$。我們可以對曲線進行位移，使得

$w=kw$ 從 $P_{0}$ 到 $P'$,

$w=u+kw$ 從 $P'$ 到 $P''$ 並且

$w=kw$ 從 $P''$ 到 $P_{1}$,

其中 $k$ 是一個不確定的常數。數量 $w$ 僅受以下條件約束：它必須在 $P_{0}$ 和 $P_{1}$ 為零，而 $u$ 必須是微分方程 $J=0$ 的解，並且在共軛點 $P'$ 和 $P''$ 為零。

第二變分採用以下形式

$\delta ^{2}I=k^{2}\int _{t_{0}}^{t'}(F_{1}w'^{2}+F_{2}w^{2})~{\text{d}}t+\int _{t'}^{t''}[(F_{1}u'^{2}+F_{2}u^{2})+2k(F_{1}u'w'+F_{2}uw)+k^{2}(F_{1}w'^{2}+F_{2}w^{2})]~{\text{d}}t+k\int _{t''}^{t_{1}}(F_{1}w'^{2}+F_{2}w^{2})~{\text{d}}t$.

在上一篇文章中我們看到（參見第 117 條）

$\int _{t'}^{t''}(F_{1}u'^{2}+F_{2}u^{2})~{\text{d}}t=0$,

因此，我們可以將 $\delta ^{2}I$ 寫成以下形式

$\delta ^{2}I=2k\int (F_{1}u'w'+F_{2}uw)~{\text{d}}t+k^{2}M$,

其中 $M$ 是一個有限量。

積分

$\int _{t'}^{t''}(F_{1}u'w'+F_{2}uw)~{\text{d}}t$

可以寫成

$\int _{t'}^{t''}\left(-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}(F_{1}u')+F_{2}u\right)w~{\text{d}}t+{\Big [}F_{1}u'w{\Big ]}_{t'}^{t''}$

並且，根據第 118 條公式 $12^{a})$，該積分符號下的表示式為零，因此得出

$\delta ^{2}I=2k{\Big [}F_{1}u'w{\Big ]}_{t'}^{t''}+k^{2}M$.

此外，根據假設，$F_{1}$ 在區間 $t'\ldots t''$ 內保持相同的符號，並且在這些極限內或在這些極限處不為零，函式 $u'$ 在極限處不為零（第 130 和 152 條），並且在這些極限處符號相反，因為 $u$ 始終保持相同的符號，在其中一個極限處離開值為零，並在另一個極限處接近它。因此，$[F_{1}u']$ 在兩點 $P'$ 和 $P''$ 是有限的，並且符號相反，只需要 $w$ 被選擇為有限的，並且具有相同的符號，這樣 ${\Big [}F_{1}u'w{\Big ]}_{t'}^{t''}$ 不為零。因此，透過適當選擇 $k$，我們可以實現位移，對於這些位移，$\delta ^{2}I$ 為正，以及那些對於它為負的位移。

因此，當我們的區間不包含（然而，既不作為極值）一對共軛點時，我們已經明確地確定，所討論的曲線既不能產生最大值也不能產生最小值。

上述半幾何證明來自 Schwarz 教授在柏林（1898-99 年）給出的一個筆記；另見 Picard 教授在巴黎（1899-1900 年）關於“偏微分方程”的一門課程的第五節課。