變分法/第 X 章

第 X 章：在特定特殊變分假設下推匯出的判據也足以建立迄今為止使用的公式。

• 134 使用的過程是逐步排除。
• 135 推匯出的三個必要條件的總結。
• 136,137 特殊變分。總變分。
• 138 二次形式中的一個定理。
• 139 建立從第二變分推匯出的條件。
• 140,141,142,143,144 應用於第一章的前四個問題。

第 134 條.
我們遵循的方法表明，變分法的整個過程是一個逐步排除的過程。我們首先排除 $G$ 不為零的曲線，並限制自己考慮滿足微分方程 $G=0$ 的曲線。從這些後來的曲線中，我們排除所有 $F_{1}$ 未保持相同符號的曲線。如果對於任何尚未排除的曲線，$F_{1}=O$ 在孤立點處，我們只是屬於結論適用的曲線的一種極限情況。如果 $F_{1}=0$ 對於一段未被上述條件排除的曲線，我們必須對曲線進行額外的考慮，其中必須研究第三變分和更高變分。我們進一步排除所有在積分限之間存在共軛點的曲線，因為它們不可能產生最大值或最小值。不存在這樣的點對的情況，或這樣的點是積分限的情況，需要進一步研究。這導致了第四個條件，一個由魏爾斯特拉斯提出的條件，將在第 XII 章中討論。在這個排除過程中，讓我們接下來看看所允許的變分是否足以用於所考慮的一般處理。

第 135 條.
作為最大值或最小值出現的必要條件，已經建立了以下定理

1) $x,y$ 作為 $t$ 的函式必須以這樣的方式確定，使得它們滿足微分方程 $G=0$。

2) 沿著如此確定的曲線，函式 $F_{1}$ 對於最大值不能為正，對於最小值不能為負；此外，$F=0$ 在孤立點或沿一定範圍內的曲線的情況，在一般情況下不能進行處理，但是由此產生的問題必須進行特殊研究。

3) 積分最多可以從一個點延伸到它的共軛點，但不能超過這個點。

從對第二變分的考慮中推匯出的最後兩個條件需要一定的限制。一方面，必須證明 $\Delta I$ 的符號實際上與 $\delta ^{2}I$ 的符號相同，如果我們為 $\xi$，$\eta$ 等選擇所有特殊變分中最一般的變分，對於這些特殊變分，迄今為止的展開是正確的；然後，剩下的問題是研究為曲線完全任意變化的情況，已建立的判據是否以及在多大程度上仍然成立。

第 136 條.
我們回到上一篇文章中提出的定理的證明。在迄今為止進行的研究中，我們始終假設 $\xi$，$\eta$，$\xi '$，$\eta '$ 是足夠小的量，因為只有在這種假設下，我們才能將

$\Delta I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}[F(x+\xi ,y+\eta ,x'+\xi ',y'+\eta ')-F(x,y,x',y')]{\text{d}}t$

展開成這些量的冪級數。這意味著不僅要對曲線進行變化，而且要使曲線無限接近原始曲線，而且兩條曲線的方向在對應點上也只有微小的差異。我們保持相同的假設，並且始終侷限於特殊的變分。

我們將首先證明，對於所有這些變分，$\Delta I$ 和 $\delta ^{2}I$ 的符號一致，因此對於這些變分，已經找到的準則也是充分的。但是，我們不再假設變分可以表示為 $\epsilon \xi$，$\epsilon \eta$，其中 $\epsilon$ 表示一個足夠小的量。

由於原始曲線的曲率在任何點都不會變得無限大（參見第 95 節），並且由於原始曲線和經過變化的曲線在對應點上它們的位置和切線方向上的偏差都很小，因此在原始曲線的每個點上都與經過變化的曲線的點相關聯，在該點上，後者曲線被穿過第一個曲線上的點的法線所切割。

點 $x,y$ 處的法線方程為

$(X-x)x'+(Y-y)y'=0$;

從剛剛的評論來看，點 $x+\xi$，$y+\eta$ 應該位於這條法線上，因此

$\xi x'+\eta y'=0$.

如果我們結合 $w$ 的定義來考慮這個方程

$w=\xi y'-\eta x'$,

那麼變分可以表示為

$1)\qquad \xi ={\frac {w}{x'^{2}+y'^{2}}}y',\qquad \eta =-{\frac {w}{x'^{2}+y'^{2}}}x'$.

在這些表示式中，${\frac {w}{x'^{2}+y'^{2}}}$ 是一個無窮小的量，因為 $x'$ 和 $y'$ 不可能同時消失 (第 95 條)，並且它隨著 $t$ 連續變化。同樣，這個量相對於 $t$ 的導數也是一個無窮小的量，但它可能並非處處連續。

假設 $\xi$，$\eta$，$\xi '={\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}}$，$\eta '={\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}$ 都是足夠小的量，我們可以將積分的總變分展開為 $\xi$，$\eta$，$\xi '$，$\eta '$ 的冪；並且，如果我們使用泰勒定理的形式

$\Delta I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}[F(x+\xi ,y+\eta ,x'+\xi ',y'+\eta ')-F(x,y,x',y')]{\text{d}}t$

關於 $\xi$，$\eta$，$\xi '$，$\eta '$；並且，如果我們使用泰勒定理的形式

$F(x_{1}+\xi _{1},\ldots ,x_{n}+\xi _{n})=F(x_{1},\ldots ,\xi _{n})+\sum _{i}{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}\xi _{i}+\int _{0}^{1}(1-\epsilon ){\text{d}}\epsilon \sum _{i,j}[F_{i,j}(x_{1}+\epsilon \xi _{1},\ldots ,x_{n}+\epsilon \xi _{n})\xi _{i}\xi _{j}]$,

其中，$F_{i,j}={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}$，我們有，由於第一維的項消失了，因此展開形式為

$2)\qquad \Delta I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\int _{0}^{1}(1-\epsilon )[F_{1,1}(x+\epsilon \xi ,y+\epsilon \eta ,x'+\epsilon \xi ',y'+\epsilon \eta ')\xi ^{2}+\cdots ]{\text{d}}\epsilon {\text{d}}t$.

第 137 條.
如果我們進一步展開 $F_{1,1}$ 等，關於 $\epsilon$ 的冪，會發現不包含 $\epsilon$ 的項的總和與在第八章中獲得的 $\delta ^{2}F$ 相同。

關於 $\epsilon$ 進行積分，我們可以將其他項表示為 $\xi$，$\eta$，$\xi '$，$\eta '$ 的二次形式，其係數也包含這些量，並且以一種隨著這些量無限變小的方式。

接下來，在 $\Delta I$ 中寫入 $\xi$，$\eta$ 的值，這些值在 1) 中給出，以及 $\xi '$，$\eta '$ 的以下值，這些值也是從 1) 推匯出來的

$3)\qquad \xi '={\frac {y'}{x'^{2}+y'^{2}}}{\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}+w{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\frac {y'}{x'^{2}+y'^{2}}}\right)\qquad \eta '=-{\frac {x'}{x'^{2}+y'^{2}}}{\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}-w{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\frac {x'}{x'^{2}+y'^{2}}}\right)$,

我們有

$4)\qquad \Delta I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left[F_{1}\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}+F_{2}w^{2}\right)^{2}\right]{\text{d}}t+\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left[fw^{2}+2gw{\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}+h\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)^{2}\right]{\text{d}}t$,

其中 $f$、$g$、$h$ 代表仍然包含 $w$ 和 ${\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}$ 的函式，並且隨著這些量的無限縮小而無限縮小。

第 138 條.
根據二次型中的一個已知定理，

$fw^{2}+2gw{\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}+h\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)^{2}$,

始終可以透過不涉及虛數的線性代換，轉化為

$f_{1}u_{1}^{2}+f_{2}u_{2}^{2}$,

的形式，同時滿足

$u_{1}^{2}+u_{2}^{2}=w^{2}+\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)^{2}$

為真，其中$f_{1}$ 和 $f_{2}$ 是關於 $x$ 的二次方程的根

$(f-x)(h-x)=g^{2}\equiv x^{2}-x(f+h)+fh-g^{2}=0$.

由於該方程中的係數隨 $w$ 和 ${\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}$ 同時變小，該方程的根 $f_{1}$ 和 $f_{2}$ 也必須如此。

如果 $l$ 是 $f_{1}$ 和 $f_{2}$ 之間的平均值，它也隨 $w$ 和 ${\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}$ 無限變小，我們可以把表示式

$f_{1}u_{1}^{2}+f_{2}u_{2}^{2}$

寫成如下形式

$f_{1}u_{1}^{2}+f_{2}u_{2}^{2}=l(u_{1}^{2}+u_{2}^{2})=l\left(w^{2}+\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)^{2}\right)$,

因此，我們有 $\Delta I$ 的表示式

$\Delta I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left[F_{1}\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)^{2}+F_{2}w^{2}\right]{\text{d}}t+\int _{t_{0}}^{t_{1}}l\left[w^{2}+\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)^{2}\right]{\text{d}}t$,

或者最終

$\Delta I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left[(F_{1}+l)\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)^{2}+(F_{2}+l)w^{2}\right]{\text{d}}t$;

因此，我們對於 $\Delta I$ 具有與之前 $\delta ^{2}I$ （第 115 條）相同的形式。

第 139 條.
我們現在假設存在最大值或最小值的必要條件得到滿足；因此，在整個曲線 $G=0$ 上，函式 $F_{1}$ 不同於零或無窮大，並且始終保持相同的符號；可以確定一個函式 $u$ 滿足以下方程

${\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}\right)-F_{2}u=0$,

並且在區間 $t_{0}\ldots t_{1}$ 內或在該區間的邊界上均不消失。

因此，如果我們將 $k$ 理解為一個正量，並寫出

$l=-k+l+k$,

那麼上述 $\Delta I$ 的表示式變為

$\Delta I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left[(F_{1}-k)\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)^{2}+(F_{2}-k)w^{2}\right]{\text{d}}t+\int _{t_{0}}^{t_{1}}(l+k)\left[\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)^{2}+w^{2}\right]{\text{d}}t$.

如果 $k$ 被賦予一個固定值，那麼我們可以選擇 $\xi$，$\eta$ 足夠小，以至於依賴於它們的量 $l$ 的絕對值小於 $k$。因此，量 $k+l$ 為正，因此上述表示式的第二個積分也為正。我們還需要證明，如果 $F_{1}>0$，則第一個積分也為正。

根據微分方程中的一個已知定理，只要方程

${\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}\right)-F_{2}u=0$

透過 $t$ 的一個連續函式 $u$ 積分，該函式在區間 $t_{0}\ldots t_{1}$ 內及邊界上均不為零，那麼也可以積分微分方程

${\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left[(F_{1}-k)){\frac {{\text{d}}{\bar {u}}}{{\text{d}}t}}\right]-(F_{2}-k){\bar {u}}=0$

透過一個關於 $t$ 的連續函式，如果 $k$ 不超過一定的限制，則在整個軌跡中無限地偏離 $u$ 非常少，因此可以用以下形式表示

${\bar {u}}=u+(t,k)$,

其中 $(t,k)$ 與 $k$ 同時無限地變小，對於所有需要考慮的 $t$ 值都是如此。

因此，函式 ${\bar {u}}$ 在區間 $t_{0}\ldots t_{1}$ 內不會消失。以這種方式，也為 $k$ 設定了一個確定的界限，它不能超過這個界限。但如果還加上條件，即 $k$ 必須足夠小，使得 $F_{1}-k$ 與 $F_{1}$ 符號相同，則 $\xi$，$\eta$ 始終可以選取得足夠小，使得 $|l|<k$。

然後，第一個積分可以以類似於第 115 條中將積分 8) 變換為第 119 條中 14) 的方式進行變換，因此我們有

$\Delta I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}(F_{1}-k)\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}-{\frac {{\text{d}}{\bar {u}}}{{\text{d}}t}}{\frac {w}{\bar {u}}}\right)^{2}{\text{d}}t+\int _{t_{0}}^{t_{1}}(l+k)\left(\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)^{2}+w^{2}\right){\text{d}}t$,

這表明，對於在給定假設下產生的曲線的任何無限小的變化，$\Delta I$ 如果 $F_{1}$ 為正，則為正。如果 $F_{1}$ 為負，則關於 $k$ 的相同結論仍然成立；只是 $k$ 必須選擇為負數，並且 $|l|<-k$。上式右邊兩個積分都是負的，因此 $\Delta I$ 本身也是負的。

因此，我們證明了上述斷言：如果在區間 $t_{0}\ldots t_{1}$ 中滿足從積分的二階變分考慮得出的最大值或最小值存在的必要條件，則總變分的符號將與曲線的所有變分（這些變分是這樣選擇的：不僅原始曲線和變分曲線上的對應點之間的距離任意小，而且對應點處的兩條曲線的方向也彼此相差任意小的量）的二階變分的符號相同。

因此，已經證明了在第 135 條中給出的三個條件是最大值或最小值存在的必要條件。進一步的檢驗將給出第四個條件（魏爾斯特拉斯條件，見第十二章），該條件的滿足也是充分的。如果滿足該條件，則在確保其他三個條件都滿足後，該條件將是決定性的。

將所建立的準則應用於第一章中提出的問題 I、II、III 和 IV，並在第七章中進一步討論。

第 140 條.
問題 I. 旋轉極小曲面的問題。

作為方程 $G=0$ 的解，我們得到了（第 100 條）懸鏈線的兩個聯立方程：

$1)\qquad x=\alpha +\beta t=\phi (t,\alpha ,\beta )\qquad y={\frac {\beta }{2}}(e^{t}+e^{-t})=\psi (t,\alpha ,\beta )$.

因此，我們有（第 125 條），

$2)$

$\phi '(t)=\beta \quad \phi _{1}(t)=1\quad \phi _{2}(t)$

$\psi '(t)={\frac {\beta }{2}}(e^{t}-e^{-t})\quad \psi _{1}(t)=0\quad \psi _{2}(t)={\frac {1}{2}}(e^{t}+e^{-t})$;

因此，

$\theta _{1}(t)=\psi '(t)\phi _{1}(t)-\phi '(t)\psi _{1}(t)={\frac {\beta }{2}}(e^{t}-e^{-t})=y'\quad \theta _{2}(t)=\psi '(t)\phi _{2}(t)-\phi '(t)\psi _{2}(t)=ty'-y$.

如果現在，$x_{0},y_{0},x_{0}',y_{0}'$ 是對應於值 $t_{0}$ 的 $x,y,x',y'$ 的值，那麼

$3)\qquad \Theta (t,t_{0})=\theta _{1}(t_{0})\theta _{2}(t)-\theta _{2}(t_{0})\theta _{1}(t)=y_{0}'(ty'-y)-(t_{0}y_{0}'-y_{0})t'$;

或者，因為

$t={\frac {x-\alpha }{\beta }}\qquad t_{0}={\frac {x_{0}-\alpha }{\beta }}\qquad \beta =x'=x_{0}'\qquad$ [參見 2)]，

我們有

$4)\qquad \Theta (t,t_{0})={\frac {1}{\beta }}[y_{0}'(xy'-yx')-y'(x_{0}y_{0}'-y_{0}x_{0}')]$.

為了找到與 $t_{0}$ 共軛的點，我們必須用 $t$ 來表示這個表示式中的 $x,y,x',y'$ 的值，然後解方程 $\Theta (t,t_{0})=0$。

然而，為了避免這種比較複雜的計算，我們可以利用幾何解釋（第 58 條）。過懸鏈線 $x_{0},y_{0}$ 點的切線方程為

$y_{0}'(X-x_{0})-x_{0}'(Y-y_{0})=0$.

因此，該切線與 $X$ 軸相交於由以下方程確定的點

$y_{0}'X=xy'-yx'$.

過懸鏈線上任意點的切線與 $X$ 軸相交於由以下方程確定的點

$y'X=xy'-yx'$.

現在，如果點 $x,y$ 與 $x_{0},y_{0}$ 互為共軛點，則它的座標必須滿足式 4），該式變為

$y_{0}y'(X-X_{0})=0$.

因此，由於 $y_{0}'$ 和 $y'$ 不為零（第 101 條），我們有

$X=X_{0}$;

也就是說，懸鏈線的共軛點具有這樣的性質：過它們所作的切線在 $X$ 軸上相交。因此，我們有了一個簡單的幾何方法來確定懸鏈線上任何點對應的共軛點。

此外，我們有

$F_{1}={\frac {y}{({\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}})^{3}}}$,

並且由於 $y$ 始終為正，並且 $x',y'$ 不能同時為零，因此可知 $F_{1}$ 始終為正，且不等於零或無窮大。因此，懸鏈線在兩個共軛點之間的那部分，繞 $X$ 軸旋轉，會生成一個表面積最小的曲面（參見第 167 條）。

同時，在這個問題中，我們也看到了關於 $F_{1}$ 的條件在關於最小值存在的嚴格證明中起著多麼小的作用。

第 141 條.
問題二。最速降線問題。

在本問題中，表示式 $F_{1}$ 被發現為

$1)\qquad F_{1}={\frac {1}{({\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}})^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {4gy+\alpha ^{2}}}}$.

我們從某些先驗原因假設，在曲線上的點 $A$ 和 $B$ 之間可能不存在尖點（參見第 104 條）；也就是說，不存在 $x'$ 和 $y'$ 同時等於零的點。對於曲線的這樣的弧線，$F_{1}$ 始終為正且不同於零和無窮大，因為平方根符號下的量始終是有限且不同於零的（參見第 95 條）。

我們獲得了（第 103 條）方程 $G=0$ 的解形式為

$2)\qquad x=\alpha +\beta (t-\sin t)=\phi (t,\alpha ,\beta )\qquad y+a=\beta (1-\cos t)=\psi (t,\alpha ,\beta )$,

這裡 $t$ 代替了 $\phi$，$\alpha$ 代替了 $-x_{0}$，$\beta$ 代替了 $1/(2c^{2})$；$a$ 是一個給定的量，它透過初始速度確定。

因此，我們有

$3)$

$\phi '(t)=\beta (1-\cos t)\quad \phi _{1}(t)=1\quad \phi _{2}(t)=t-\sin t$;

$\psi '(t)=\beta \sin t\qquad \phi _{1}(t)=0\qquad \psi _{2}(t)=1-\cos t$;

$\theta _{1}(t)=\beta \sin t$,

$\theta _{2}(t)=\beta \sin t(t-\sin t)-\beta (1-\cos t)^{2}=2\beta \sin(t/2)[t\cos(t/2)-2\sin(t/2)]$;

因此

$\Theta (t,t_{0})=4\beta ^{2}\sin {\frac {t_{0}}{2}}\sin {\frac {t}{2}}\left[\cos {\frac {t_{0}}{2}}\left(t\cos {\frac {t}{2}}-2\sin {\frac {t}{2}}\right)-\cos {\frac {t}{2}}\left(t_{0}\cos {\frac {t_{0}}{2}}-2\sin {\frac {t_{0}}{2}}\right)\right]$.

我們已經假定 $A$ 和 $B$ 的位置，那麼 $t_{0}$ 和 $t$ 都不同於 $0$ 和 $2\pi$ ，因此，確定與 $t_{0}$ 共軛的點的方程具有以下形式

$\cos {\frac {t_{0}}{2}}\left(t\cos {\frac {t}{2}}-2\sin {\frac {t}{2}}\right)-\cos {\frac {t}{2}}\left(t_{0}\cos {\frac {t_{0}}{2}}-2\sin {\frac {t_{0}}{2}}\right)=0$,

或者

$4)\qquad t-2\tan {\frac {t}{2}}=t_{0}-2\tan {\frac {t_{0}}{2}}$,

這是一個確定 $t$ 的超越方程。

我們很容易看到，在區間 $0\ldots 2\pi$ 內，除了 $t=t_{0}$ 外，沒有其他實根，因為 $t-2\tan(t/2)$ 的導數，即 $1-{\frac {1}{\cos ^{2}(t/2)}}$ 是負數，所以 $t-2\tan(t/2)$ 連續遞減，如果 $t$ 偏離 $t_{0}$，並且永遠不會再取值 $t_{0}-2\tan(t_{0}/2)$。

因此，在擺線弧線上，與點 $t_{0}$ 共軛的點不存在，因此，擺線任何兩個尖點之間的弧線都具有這樣的性質：一個沿著該弧線從點 $A$ 滑動到曲線上的另一個點 $B$ 的物質點，在最短的時間內到達（第 168 條）。

在這個問題中，我們看到條件 $F_{1}>0$ 足以確定最小值的存在。初始速度為零且點 $A$ 位於一個尖點的情況將在後面討論（第 169 條）。

第 142 條.
問題 III. 球面上最短線的長度

在這個問題中，我們發現

$1)\qquad F_{1}={\frac {\sin ^{2}u}{({\sqrt {u'^{2}+v'^{2}\sin ^{2}u}})^{3}}}$.

此表示式不會無限大，因為 $u'$ 和 $v'$ 不會同時消失。

然而，函式 $F_{1}$ 當 $\sin u=0$ 時會消失；也就是說，當 $u=0$ 或 $\pi$ 時。因此，在這種情況下，我們必須選擇座標系，使 $u$ 在曲線的軌跡上不等於零或 $\pi$。如果做到了這一點，那麼 $F_{1}$ 在從 $A$ 到 $B$ 的整個範圍內都是正數，並且不會變為零或無限大。

方程 $G=0$ 提供了一個大圓的弧，其方程為（參見第 106 條）

$2)$

$\cos u=\cos c\cos(s-b)$

$\cot(v-\beta )=\sin c\cot(s-b)$;

或者，

$u=\arccos(\cos c\cos(s-b))=\phi (s,\alpha ,\beta )$

$v=\beta +\operatorname {arccot}(\sin c\cot(s-b))=\psi (s,\alpha ,\beta )$.

因此，我們有

$\phi '(s)={\frac {\cos c\sin(s-b)}{\sqrt {1-cos^{2}c\cos ^{2}(s-b)}}}\qquad \phi _{1}(s)={\frac {\sin s\cos(s-b)}{\sqrt {1-\cos ^{2}c\cos ^{2}(s-b)}}}\qquad \phi _{2}(s)=0$

$\psi '(s)={\frac {\sin c}{1-\cos ^{2}c\cos ^{2}(s-b)}}\qquad \psi _{1}(s)={\frac {-\cos c\sin(s-b)\cos(s-b)}{1-\cos ^{2}c\cos ^{2}(s-b)}}\qquad \psi _{2}(s)=1$

因此

$\theta _{1}(s)={\frac {\cos(s-b)}{\sqrt {1-\cos ^{2}c\cos ^{2}(s-b)}}}\qquad \theta _{2}(s)={\frac {-\cos c\sin(s-b)}{\sqrt {1-\cos ^{2}c\cos ^{2}(s-b)}}}$.

因此，對於點 $A$，有$s=s_{0}=0$，可以得出

$3)\qquad \Theta (s,s_{0})=-{\frac {\cos c\sin s}{{\sqrt {1-\cos ^{2}c\cos ^{2}b}}{\sqrt {1-\cos ^{2}c\cos ^{2}(s-b)}}}}$.

因此，為了找到點 $s_{0}=0$ 的共軛點，我們需要求解關於 $s$ 的方程 $\Theta (s,s_{0})=0$。

由於 3) 的分母不可能變為無窮大，所以共軛點需要從方程 $\sin s=0$ 中確定。因此，我們有 $s=\pi$ 作為 $s=0$ 的共軛點；也就是說，$A$ 的共軛點是透過 $A$ 所畫圓的直徑的另一端。

因此，透過點 $A$ 和 $B$ 的大圓弧，在固定為正方向測量時，只有當這兩個點之間的距離不超過 $180^{\circ }$ 或更大時，才是球面上最短的距離，這本身在幾何上是顯而易見的。

我們可以注意到，$F_{1}$ 不能消失的條件在這種情況下顯然是不必要的；因為大圓弧的最小值屬性獨立於座標系的選取，無論在曲線的某個點上 $F_{1}$（假設）在某個點上消失。

第 143 條.
從第 107 條中的圖形可以清楚地看到，當 $A$ 是球面的極點時，透過 $A$ 且滿足微分方程 $G=0$（即大圓弧）的曲線族只在另一個極點處再次相交。在下一章中，將會顯示出兩個極點是共軛點。這與前一條文中給出的內容一起，可以作為大圓弧只能在對立極點處相交的證明。

第 144 條.
問題 IV：提供最小阻力的表面問題。

在這個問題中，讓我們寫（第 110 條）

$\alpha =-C/2\qquad \beta =-C_{1}$

因此

$x=\alpha [t+2t^{-1}+t^{-3}]=\phi (t,\alpha ,\beta )\qquad y=\alpha \left[\ln t+t^{-2}+{\frac {3}{4}}t^{-4}\right]-\beta =\psi (t,\alpha ,\beta )$.

因此

$\phi '(t)=x'\qquad \phi _{1}(t)={\frac {x}{\alpha }}\qquad \phi _{2}(t)=0$

$\psi '(t)=y'\qquad \psi _{1}(t)={\frac {y+\beta }{\alpha }}\qquad \psi _{2}(t)=-1$

$\theta _{1}(t)=y'{\frac {x}{\alpha }}-x'{\frac {y+\beta }{\alpha }}\qquad \theta _{2}(t)=x'$

以及

$\Theta (t,t_{0})={\frac {x'(y_{0}'x_{0}-x_{0}'y_{0})-x_{0}'(y'x-x'y)}{\alpha }}$.

現在曲線在任意點 $x_{0},y_{0}$ 的切線為

$y_{0}'(X-x_{0})-x_{0}'(Y-y_{0}))=0$,

其在 $Y$ 軸上的截距為

$x_{0}'Y_{0}=x_{0}'y_{0}-y_{0}'x_{0}$.

曲線在任意點 $x,y$ 的切線與 $Y$ 軸相交於

$x'Y=x'y-y'x$.

因此，我們有關於與 $x_{0},y_{0}$ 共軛的點的確定方程

$x'x_{0}'Y_{0}=x_{0}x'Y\quad$ 或 $\quad Y_{0}=Y$。

正如第 140 條所述，這為共軛點提供了一種簡單的幾何構造。