變分法/第四章

第四章：函式$F(x,y,x',y')$的性質。

• 62 函式$F$定義為其引數的函式。
• 63,64,65,66,67 必要條件和充分條件。
• 68 函式$F(x,y,x',y')$必須是$x'$和$y'$的一階齊次函式。
• 69 函式$F(x,y,x',y')$的可積性。
• 70 積分$I=\int _{x_{0}}^{x_{1}}F\left(x,y,1,{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}\right){\text{ d}}x$，當$x$和$y$是彼此的一元函式。
• 71 引入變數$t$或$s$。
• 72 函式$F$的解析條件。
• 73 引入函式$F_{1}$。

第 62 條.
考慮第 13 條的一般積分

$I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F(x,y,x',y')~{\text{d}}t$,

where $F$ is a given function of the four arguments, $x$, $y$, $x'$, $y'$, the quantities $x'$ and $y'$ being written for ${\text{d}}x/{\text{d}}t$ and ${\text{d}}y/{\text{d}}t$; further we must regard $F$ as a one-valued regular function of these four arguments, one-valued not in the analytical sense, but only for real values of the arguments; $x$ and $y$ are defined for the whole plane or for a connected portion of it, while $x'$ and $y'$ are to be considered as variables that are not limited, since they determine the direction of the tangent, and it is supposed that we may go in any direction from the point $x$, $y$. In our problem new assumptions are made regarding $x$ and $y$, but not regarding $x'$ and $y'$ We further assume that the functions $x$, $y$, $x'$ and $y'$, are capable of being differentiated, and that the curve is regular throughout its whole extent, or is composed of regular portions. Consequently $x$ and $y$ considered as functions of $t$ and written $x(t)$, $y(t)$ are one-valued regular functions of $t$ throughout its whole extent or throughout the regular portions; in the latter case we shall limit ourselves to one regular portion. If we did not make this assumption, the curve could not be the subject of mathematical investigation, since there is no method of treating irregular curves in their generality; and, if we wish the rules of the differential and integral calculus to be sufficient, then we must first apply our investigation to such functions, to which the rules are applicable without any limitation; that is, to functions having the above properties.

第 63 條.
如果我們找到一條滿足問題條件的正則曲線，那麼還需要證明它是滿足問題條件的唯一曲線。

例如，我們發現，在所有周長相同的正則閉合曲線中，圓形是封閉面積最大的曲線；然而，*先驗地*，我們並不知道是否存在正則曲線滿足問題條件。我們知道，在所有邊數相同且周長相同的正多邊形中，正多邊形的面積最大，因此我們得出結論，當邊數增加時，正多邊形所逼近的圓形將具有所有閉合曲線中最大的面積；然而，沒有人會在其中看到嚴格的證明，事實上，要證明圓形的這種性質，還需要一種特殊的技巧。

第 64 條.
所有分析中的主要困難在於，給出一種嚴格的證明，即為特定性質的存在而找到的必要條件也是充分的。在分析研究中，我們以如下方式得出結論：如果存在滿足所設問題的分析量，那麼它們必須具有某些性質；這給出了所求函式的必要條件。仍然需要反過來證明：如果滿足分析物件（曲線、曲面等）的條件，那麼該分析物件就滿足問題的條件。

因此，在我們的研究中，我們假定所求函式在其整個範圍內是正則的，並尋求由問題給出的函式的必要條件。最後，我們將盡可能地擺脫限制，看看我們找到的函式是否也符合問題的條件。

第 65 條.
數學思想的發展，通常始於一個具體的例子。例如，我們假設自然界中存在我們稱為“平面區域”的東西。我們用數學公式來表達這個區域。然後，我們擴充套件我們的公式，討論曲面的面積。數學公式存在。它在自然界中對應的物件可能存在，也可能不存在。然而，我們對“面積”這個詞的定義是受限於數學公式的。當公式不再有意義、不再有解釋和數值時，我們對“面積”這個概念的理解也就消失了。我們必須始終假設，我們的符號中存在著允許公式有意義的限制。

第 66 條.
我們只對正則曲線比較我們的積分；只有對這些曲線，積分才有意義。在這類曲線中，我們尋找一個使積分達到最大值或最小值的曲線。當我們把理論應用到實踐中時，我們假設除了理論實際比較的量之外，其他量不存在。這樣做存在風險。

在一個特定的問題中，我們可能分配了一個特定的角色；根據我們的理論，我們可能也正確地假設，所有被比較的正則曲線都可能存在，並且它們之間的相對角色沒有被錯誤地描述。但自然界可能存在除了沿著正則曲線定義的定積分以外的量，這些量在所討論的問題中可能具有與我們的定積分相同的本質屬性。自然界可能也已經將一個特定角色分配給了其中一個量，而這個角色是我們一直在尋找的，希望從我們的定積分中找到。

當我們把任何數學理論應用到客觀現即時，我們對自然界允許的可能性做出了一些假設，例如連續性、可微分性等等。問題是，我們的假設是否包括所有可能性？

第 67 條.
我們強調一個事實，即在發展一個一般的理論時，它的範圍通常沒有預先確定。我們需要對所涉及的操作進行操作的量和函式是先驗命名的，但公式是在假設所涉及的操作是可行的，並且有意義的情況下發展起來的。公式的範圍之後由所有步驟都有意義的區域來定義，或者透過排除任何無法解釋的領域來定義。

第 68 條.
現在我們將證明函式 $F$（第 62 條）的一些重要性質。在我們討論的問題中，需要注意以下幾點：積分的值，它應該是最小的，在所有情況下都只取決於待確定的曲線的形狀，而不取決於 $x$、$y$ 被表示為量 $t$ 的函式的方式。

例如，如果在第一個問題中，我們將積分寫成以下形式：

$\int _{x_{0}}^{x_{1}}y{\sqrt {1+\left({\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}\right)^{2}}}~{\text{d}}x$,

那麼 $t$ 恰好等於 $x$，並且很明顯，這個積分的值與它之前形式的值相同（第 7 條）。

如果我們用另一個量的函式來表示 $t$，這個函式滿足以下條件：當 $t$ 等於 $t_{0}$ 和 $t_{1}$ 時，$\tau$ 分別等於 $\tau _{0}$ 和 $\tau _{1}$，並且當 $\tau$ 增加時，曲線的方向與 $t$ 增加時相同，那麼為了使積分與積分路徑無關，積分值必須保持不變。也就是說，我們必須有以下積分關係，參見第 62 節。

$1)\qquad \int _{t_{0}}^{t_{1}}F\left(x,y,{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}},{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}\right)~{\text{d}}t=\int _{\tau _{0}}^{\tau _{1}}F\left(x,y,{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}\tau }},{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}\tau }}\right)~{\text{d}}\tau$.

對於 $t$，我們可以寫出最簡單的這種函式，即 $t=k\tau$，其中 $k$ 代表任何任意但正的量。因此，考慮到 $x$，$t$ 作為 $\tau$ 的函式，在 1) 的左側，我們有

$\int _{t_{0}}^{t_{1}}F\left(x,y,{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}},{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}\right)~{\text{d}}t=\int _{\tau _{0}}^{\tau _{1}}F\left(x,y,{\frac {1}{k}}{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}\tau }},{\frac {1}{k}}{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}\tau }}\right)~k{\text{d}}\tau$;

因此

$:<math>2)\qquad \int _{\tau _{0}}^{\tau _{1}}F\left(x,y,{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}\tau }},{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}\tau }}\right)~{\text{d}}\tau =\int _{\tau _{0}}^{\tau _{1}}F\left(x,y,{\frac {1}{k}}{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}\tau }},{\frac {1}{k}}{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}\tau }}\right)~k{\text{d}}\tau$.

由於這個方程必須對任何任意正的 $k$ 值成立，但它不一定是常數，可以是任何連續正函式，因此，要積分的函式本身必須對每個正值 $k$ 相等；因此

$<F\left(x,y,{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}\tau }},{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}\tau }}\right)=kF\left(x,y,{\frac {1}{k}}{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}\tau }},{\frac {1}{k}}{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}\tau }}\right)$

或者，寫成 $k=1/k$.

$3)\qquad F(x,y,kx',ky')=kF(x,y,x',y')$.

也就是說，如果積分 $I$ 只依賴於曲線的形式（或者換句話說，依賴於 $x$ 和 $y$ 之間的解析關係），那麼 $F(x,y,x',y')$，關於 $x'$ 和 $y'$ 必須是一階齊次函式。 這一條件也足以保證積分僅依賴於曲線的形式；因為考慮 $x$，$y$ 首先表示為量 $t$ 的函式，然後表示為量 $\tau$ 的函式，如果這些函式的性質使得當 $t$ 取從 $t_{0}$ 到 $t_{1}$ 的所有值時，曲線從起點遍歷到終點，並且 $\tau$ 取所有值 $\tau _{0}$ 到 $\tau _{1}$，那麼我們可以寫成 ${\text{d}}t/{\text{d}}\tau =k$，如果 $t$ 與 $\tau$ 同時增加。 由於 $k$ 是一個正量，表示式 2) 的正確性由 3) 的存在得出，同時 1) 的正確性也得到了保證。

由此可知

${\frac {\partial F(x,y,kx',ky')}{\partial (kx')}}=k{\frac {\partial F(x,y,x',y')}{\partial (kx')}}={\frac {\partial F(x,y,x',y')}{\partial x'}}=F^{(1)}(x,y,x',y')$，比方說。

同理，$F$ 對其第四個引數的偏導數是不變的，可以用 $F^{(2)}(x,y,x',y')$ 表示。

第 69 條.
條件是 $F(x,y,x',y')$ 必須是關於 $x'$ 和 $y'$ 的一階齊次函式，通常用另一種方式表達。事實上，這不過是 $F$ 可積性的條件。因為如果 $F(x,y,x',y'){\text{d}}t$ 是一個精確微分，因此，比方說，$F(x,y,x',y')={\text{d}}\phi$，則方程

$F(x,y,x',y')=(\partial \phi /\partial x)x'+(\partial \phi /\partial y)y'+(\partial \phi /\partial x')x''+(\partial \phi /\partial y')y''$

必須恆等地存在。

由於在 $F$ 中不存在二階微商，所以有 $\partial \phi /\partial x'=0$ 和 $\partial \phi /\partial y'=0$，也就是說，$\phi$ 不顯式包含 $x'$ 或 $y',$ 因此，

$F(x,y,x',y')=(\partial \phi /\partial x)x'+(\partial \phi /\partial y)y'$

但這不過意味著 $F$ 是關於 $x'$，$y'$ 的一階齊次函式。

在第一章給出的例子中，這在所有情況下都是成立的。

第70條.
如果曲線具有這樣的性質：我們可以將一個座標視為另一個座標的單值函式，並且在兩個極限 $x_{0}$ 和 $x_{1}$ 之間，對於每一個 $x$ 值，都對應著唯一的 $y$ 值，並且當我們沿著曲線從起點到終點移動時，$x$ 連續增加，那麼我們可以選擇 $t$ 為量 $x$ 本身，因此可以將積分寫成如下形式：

$4)\qquad I=\int _{x_{0}}^{x_{1}}F(x,y,1,{\text{d}}y}{{\text{d}}x}~{\text{d}}x$,

正如通常所寫的那樣。

第71條.
這種表示並不總是成立，因為上述必要的條件並不總是滿足；例如，在第一章的第四個問題中，我們必須將未知曲線分成幾個部分，而這並不總是方便的。

另一方面，如果我們引入量 $t$，那麼上面的表示總是可能的，因為我們可以將曲線從起點到終點測量的弧長 $s$ 引入為變數 $t$。此外，在形式 4) 中，有時不可避免地會發生 ${\text{d}}y/{\text{d}}x$ 以及因此 $F$ 在積分限內變為無窮大；另一方面，通常可以這樣選擇 $t$ 使情況並非如此。

由於這些原因，儘管許多推導變得更加繁瑣，但最好以以下形式處理積分 I

$I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F(x,y,x',y')~{\text{d}}t$;

因為另一方面，其高度的對稱性彌補了剛剛提到的缺陷。

第 72 條.
' $F(x,y,x',y')$ 的解析條件。

在關係式（第 68 條）中

$F(x,y,kx',ky')=kF(x,y,x',y')$,

寫成 $k=1+h$，那麼

$F[x.y.(1+h)x',(1+h)y']=(1+h)F(x,y,x',y')$,

或者說，

$F+\left({\frac {\partial F}{\partial x'}}x'+{\frac {\partial F}{\partial y'}}y'\right)h+h^{2}(\cdots )=F+hF$,

其中

$F\equiv F(x,y,x',y')$.

因此，將 $h$ 的係數等同起來

$F=x'{\frac {\partial F}{\partial x'}}+y'{\frac {\partial F}{\partial y'}}{\text{,}}\qquad {\text{[1]}}$

這再次是齊次性的條件。

第 73 條.
首先，將上述方程 [1] 分別對 $x'$ 和 $y'$ 進行求導，這是允許的，因為 $F$ 是一個正則函式，$x'$，$y'$ 以連續的方式變化，得到如下結果：

$\alpha )\qquad {\frac {\partial ^{2}F}{\partial x'^{2}}}x'+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y'\partial x'}}y'=0$,

$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\text{[2]}}$

$\beta )\qquad {\frac {\partial ^{2}F}{\partial x'\partial y'}}x'+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y'^{2}}}y'=0$.

因此，從 $\alpha )$ 中

${\frac {\partial ^{2}F}{\partial x'^{2}}}:{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y'\partial x'}}=y':-x'=y'^{2}:-x'y'$,

而從 $\beta )$ 中

${\frac {\partial ^{2}F}{\partial x'\partial y'}}:{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y'^{2}}}=-y':x'=-x'y':-x'^{2}$:

所以

${\frac {\partial ^{2}F}{\partial x'^{2}}}:{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x'\partial y'}}:{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y'^{2}}}=y'^{2}:-x'y':x'^{2}$;

並且，如果$F$ 表示比例因子，我們有

${\frac {\partial ^{2}F}{\partial x'^{2}}}=F_{1}y'^{2}$; ${\frac {\partial ^{2}F}{\partial x'\partial y'}}=-F_{1}x'y'$; ${\frac {\partial ^{2}F}{\partial y'^{2}}}=F_{1}x'^{2}{\text{,}}\qquad {\text{[3]}}$

因此

${\frac {\frac {\partial ^{2}F}{\partial x'^{2}}}{y'^{2}}}={\frac {\frac {\partial ^{2}F}{\partial x'\partial y'}}{-x'y'}}={\frac {\frac {\partial ^{2}F}{\partial y'^{2}}}{x'^{2}}}=F_{1}$.

$F$ 在 $x'$ 和 $y'$ 中是一維的； ${\frac {\partial F}{\partial x'}}$，${\frac {\partial F}{\partial y'}}$ 在 $x'$ 和 $y'$ 中是零維的； ${\frac {\partial ^{2}F}{\partial y'^{2}}}$， ${\frac {\partial ^{2}F}{\partial x'y'}}$， ${\frac {\partial ^{2}F}{\partial x'^{2}}}$ 在 $x'$ 和 $y'$ 中是 -1 維的；因此 $F_{1}$ 在 $x'$ 和 $y'$ 中是 -3 維的。

此函式 $F_{1}$ 在整個理論中起著極其重要的作用。