變分法/第二章

第二章：曲線特殊變分的例子。應用於懸鏈線。

• 22 問題 I，第一章中的總變分。
• 23 鄰近曲線的束。
• 24 第一變分。
• 25 積分 $I=\int _{x_{0}}^{x_{1}}F\left(x,y,{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}\right){\text{ d}}x$
• 26 第一變分的消失。
• 27 應用於問題 I。
• 28 該問題的微分方程。
• 29 積分 $I=\int _{x_{0}}^{x_{1}}F(y,y'){\text{ d}}x$
• 30 第 26 條微分方程的解。
• 31 區域的概念，在這個區域內兩條鄰近曲線不交叉。
• 32 懸鏈線。

第 22 條.
讓我們再次考慮第 6 條中的積分，

${\frac {S}{2\pi }}=\int _{x_{0}}^{x_{1}}y{\sqrt {1+\left({\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}\right)^{2}}}~{\text{d}}x\qquad {\text{[1]}}$.

假設有一個由兩固定點$P_{0}$和$P_{1}$之間的曲線旋轉而成的最小表面積，並且設此曲線為$y=f(x)$。設$\eta$為該曲線與任何相鄰曲線在$y$-座標上的距離，並假設$\eta$是$x$的連續函式，且滿足以下條件：當$x=x_{0}$時，$\eta =0$；當$x=x_{1}$時，$\eta =0$；對於所有其他點，$|\eta |<\rho$，其中$\rho$可以任意小。

$\eta '={\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}x}}$並且$\int _{x_{0}}^{x_{1}}\eta '~{\text{d}}x=[\eta ]_{x_{0}}^{x_{1}}=0$

與 [1] 相對應的任何相鄰曲線的積分是

$\int _{x_{0}}^{x_{1}}(y+\eta ){\sqrt {1+\left({\frac {{\text{d}}(y+\eta )}{{\text{d}}x}}\right)^{2}}}~{\text{d}}x\qquad {\text{[2]}}$.

因此，當我們取相鄰曲線時，[1] 中產生的總變化為

${\frac {\Delta S}{2\pi }}=\int _{x_{0}}^{x_{1}}(y+\eta ){\sqrt {1+\left({\frac {{\text{d}}(y+\eta )}{{\text{d}}x}}\right)^{2}}}~{\text{d}}x-\int _{x_{0}}^{x_{1}}y{\sqrt {1+\left({\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}\right)^{2}}}~{\text{d}}x{\text{.}}\qquad {\text{[3]}}$

$\Delta S$ 始終為正，因為所討論的曲面是一個最小值。

第 23 條.
我們不必考慮一條相鄰曲線，而可以考慮整個曲線簇，如果將 $\eta$ 替換為 $\epsilon \eta$，其中 $\epsilon$ 與 $x$ 無關，且在 $-1$ 與 $+1$ 之間取任意值。那麼表示式 [3] 變為

${\frac {\Delta S}{2\pi }}=\int _{x_{0}}^{x_{1}}(y+\epsilon \eta ){\sqrt {1+\left({\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}(y+\epsilon \eta )\right)^{2}}}~{\text{d}}x-\int _{x_{0}}^{x_{1}}y{\sqrt {1+\left({\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}\right)^{2}}}~{\text{d}}x{\text{;}}\qquad {\text{[4]}}$

並且，根據泰勒定理展開 $\Delta S$，

$\Delta S=\epsilon \delta S+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\delta ^{2}S+{\frac {\epsilon ^{3}}{3!}}\delta ^{3}S+\cdots \qquad {\text{[5]}}$

在這個最後的展開式中沒有常數項，因為當在 [4] 中將 $\epsilon$ 設為零時，第一個和第二個積分相互抵消。

$\delta S$ 被稱為 *一階變分*，

$\delta ^{2}S$ 被稱為第二次變分等等。

我們不需要取 $\eta$ 為一個非常小的量，我們可以取 $\epsilon$ 足夠小，使得 $\epsilon \eta$ 儘可能小。

用拉格朗日（Misc. Taur.，tom. II，p. 174）的寫法，寫作 $\eta =\delta y$，可以看出 $y$ 的總變化是 $\epsilon \eta =\epsilon \delta y=\Delta y$。

備註。微分符號和變分符號可以互換；例如，變分的1階導數等於導數的1階變分，如下所示：

$\eta =\delta y$，那麼 $\eta '=(\delta y)'={\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}})(\delta y).\qquad {\text{[i]}}$

再次 $\eta =\delta y$；將 $y$ 變成 $y+\epsilon \eta$，因此 $y'$ 變成 $y'+\epsilon \eta '$。因此 $\eta '$ 是 $y'$ 的第一次變分，所以

$\eta '=\delta y'=\delta \left({\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}\right){\text{;}}\qquad {\text{[ii]}}$

因此，根據[i]和[ii]

${\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}(\delta y)=\delta \left({\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}\right)$.

因此，由於假定存在$\eta '$，我們也必須假定存在$y$ 的二階微分系數。

第 24 條.
回到 [4]，寫$y'={\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}$，$\eta '={\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}x}}$。然後展開積分符號下的表示式

$(y+\epsilon \eta ){\sqrt {1+(y'+\epsilon \eta ')^{2}}}-y{\sqrt {1+y'^{2}}}$,

我們有

$\epsilon \left[\eta {\sqrt {1+(y'+\epsilon \eta ')^{2}}}+{\frac {(y+\epsilon \eta )(y'+\epsilon \eta ')\eta '}{\sqrt {1+(y'+\epsilon \eta ')^{2}}}}\right]_{\epsilon =0}+\epsilon ^{2}(\ldots )$.

因此，將 [4] 和 [5] 中$\epsilon$ 的 1 次方的係數相等，我們有

${\frac {\delta S}{2\pi }}=\int _{x_{0}}^{x_{1}}\left({\sqrt {1+y'^{2}}}\eta +{\frac {yy'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\eta '\right)~{\text{d}}x$,

這是一個關於$\eta$ 和$\eta '$ 的一階齊次函式。數量$\eta '$ 不能無限大，因為如果那樣的話，展開式不一定收斂；但請參閱第 116 條。

以類似的方式，我們可以找到二階變分的定積分，其中被積函式是關於$\eta$ 和$\eta '$ 的二階齊次函式的積分；三階變分也是如此。

第 25 條.
作為上一章問題 I、II、III 和 IV 中給出的積分形式，考慮積分

$I=\int _{x_{0}}^{x_{1}}F(x,y,y')~{\text{d}}x$,

其中 $F(x,y,y')$ 是 $x$、$y$ 和 $y'$ 的已知函式，並且該積分的上下限，$x_{1}$ 和 $x_{0}$ 是固定的。因此，如上所述，

$\Delta I=\int _{x_{0}}^{x_{1}}F(x,y_{\epsilon }\eta ,y'+\epsilon \eta ')~{\text{d}}x-\int _{x_{0}}^{x_{1}}F(x,y,y')~{\text{d}}x=\int _{x_{0}}^{x_{1}}[F(x,y_{\epsilon }\eta ,y'+\epsilon \eta ')-F(x,y,y')]~{\text{d}}x$.

當用泰勒定理展開這個表示式時，得到

$\Delta I=\int _{x_{0}}^{x_{1}}\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\epsilon \eta +{\frac {\partial F}{\partial y'}}\epsilon \eta '+\epsilon ^{2}(\cdots )+\cdots \right)~{\text{d}}x$.

我們還有，如第 23 節所述，

$\Delta I=\epsilon \delta I+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\delta ^{2}I+\cdots$;

透過比較這兩個表示式中 $\epsilon$ 的係數，可以得到

$\delta I=\int _{x_{0}}^{x_{1}}\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\eta +{\frac {\partial F}{\partial y'}}\eta '\right)~{\text{d}}x\qquad {\text{(A)}}$

在第 22 節給出的特例中，$F=y{\sqrt {1+y'^{2}}}$。因此

${\frac {\partial F}{\partial y}}={\sqrt {1+y'^{2}}}$ 以及 ${\frac {\partial F}{\partial y'}}={\frac {yy'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}$；

當這些關係代入 (A) 時，我們有，如第 24 條：

$\Delta I=\int _{x_{0}}^{x_{1}}\left({\sqrt {1+y'^{2}}}\eta +{\frac {yy'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\eta '\right)~{\text{d}}x$

第 26 條.
從關係式

$\Delta I=\epsilon \delta I+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\delta ^{2}I+\cdots$

可以看出，當 $\epsilon$ 取非常小的值時，$\epsilon ^{2}$ 接近於零；因此，當 $\epsilon$ 為正且無限小時，$\Delta I$ 為 *正*。另一方面，當 $\epsilon$ 為無限小且為負時，$\Delta I$ 為 *負*。

因此，積分的總變化量 $\Delta I$ 將為正或負，取決於 $\epsilon$ 為正或負，只要 $\delta I$ 不等於零；因此，積分不可能有最大值或最小值。

然而，我們知道，如果 $I$ 是最大值，那麼 $\Delta I$ 始終為 *負*，如果 $I$ 是最小值，那麼 $\Delta I$ 始終為 *正*；因此，為了使積分具有最大值或最小值，$\delta I$ 必須為零。

第 27 條.
將以上結果應用於第 22 條給出的例子，我們有

$0=\int _{x_{0}}^{x_{1}}\left({\sqrt {1+y'^{2}}}\eta +{\frac {yy'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}{\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}x}}\right)~{\text{d}}x\qquad {\text{[6]}}$

使用分部積分法

$\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\frac {yy'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}~{\text{d}}\eta =\left[{\frac {yy'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\eta \right]_{x_{0}}^{x_{1}}-\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\left({\frac {yy'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\right)\eta ~{\text{d}}x$;

並且根據假設（見第22條），$\eta =0$ 在兩個固定點 $P_{0}$ 和 $P_{1}$ 上都為真，我們有

$\left[{\frac {yy'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\eta \right]_{x_{0}}^{x_{1}}=0$.

因此 [6] 可以寫成

$0=\int _{x_{0}}^{x_{1}}\left({\sqrt {1+y'^{2}}}-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\left({\frac {yy'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\right)\right)\eta ~{\text{d}}x\qquad {\text{[7]}}$

第28條.
我們斷言，在上式中

${\sqrt {1+y'^{2}}}-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\left({\frac {yy'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\right)$

在極限 $x_{0}$ 和 $x_{1}$ 之間，$\eta$ 必須始終為零。因為，假設情況並非如此，那麼，由於 $\eta$ 是任意的，我們可以用 Heine 的方法寫成

$\eta =(x-x_{0})(x_{1}-x)\left({\sqrt {1+y'^{2}}}-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\left({\frac {yy'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\right)\right)$,

其中，當 $x=x_{0}$ 和 $x=x_{1}$ 時，$\eta$ 變為零。將這個 $\eta$ 的值代入 [7]，我們得到

$=\int _{x_{0}}^{x_{1}}\left({\sqrt {1+y'^{2}}}-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\left({\frac {yy'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\right)\right)^{2}(x-x_{0})(x_{1}-x)~{\text{d}}x{\text{,}}\qquad {\text{[8]}}$

這是一個在整個區間 $x_{0}\ldots x_{1}$ 內都為正的表示式。

[8] 中的被積函式，看作無限小元素的總和，所有元素都具有相同的符號且為正；因此，[8] 的右端成員為零的唯一可能情況是

${\sqrt {1+y'^{2}}}-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\left({\frac {yy'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\right)=0$

因此，我們得到了一個二階微分方程，用於確定未知量 $y$。

第 29 條.
這個微分方程是更一般微分方程的特例，更一般微分方程可以從積分

$I=F(y,y')~{\text{d}}x$;

中推匯出來，如前所述（第 25 和 27 條）。

$\delta I=\int _{x_{0}}^{x_{1}}\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\eta +{\frac {\partial F}{\partial y'}}\eta '\right)~{\text{d}}x=\int _{x_{0}}^{x_{1}}\left({\frac {\partial F}{\partial y}}-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\left({\frac {\partial F}{\partial y'}}\right)\right)\eta ~{\text{d}}x$.

正如第 27 條所述，我們有

${\frac {\partial F}{\partial y}}-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\left({\frac {\partial F}{\partial y'}}\right)=0$

或者

${\frac {\partial F}{\partial y}}={\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\left({\frac {\partial F}{\partial y'}}\right)\qquad {\text{[9]}}$

但是

${\text{d}}F(y,y')={\frac {\partial F}{\partial y}}{\text{d}}y+{\frac {\partial F}{\partial y'}}{\text{d}}y'\qquad {\text{[10]}}$

或者

${\text{d}}F(y,y')-\left({\frac {\partial F}{\partial y}}{\text{d}}y+{\frac {\partial F}{\partial y'}}{\text{d}}y'\right)=0$

因此，由 [9] 可知，

${\text{d}}F(y,y')-\left({\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\right){\text{d}}y+{\frac {\partial F}{\partial y'}}{\text{d}}y'\right)=0$,

或者

${\text{d}}F(y,y')-{\text{d}}\left(y'{\frac {\partial F}{\partial y'}}\right)=0$,

並積分，

$F(y,y')-y'{\frac {\partial F}{\partial y'}}=C{\text{,}}\qquad {\text{[11]}}$,

其中$C$是積分常數。

關係式[11]僅當被積函式中**不顯式**包含變數$x$時才成立；否則關係式[10]將不成立，我們也無法推匯出[11]。

第30條.
將此關係式[11]應用於上述特殊情況（第28條），其中

$F(y,y')=y{\sqrt {1+y'^{2}}}$,

我們有

$y{\sqrt {1+y'^{2}}}-{\frac {yy'^{2}}{\sqrt {1+y'^{2}}}}=m$,

$m$是積分常數，我們將在後面更詳細地討論它。

上述表示式可以寫成

${\frac {y(1+y'^{2}-y'^{2})}{\sqrt {1+y'^{2}}}}=m$,

或者

$y=m{\sqrt {1+y'^{2}}}\qquad {\text{[I]}}$.

從[I]中可以直接得出

$y^{2}-m^{2}=m^{2}\left({\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}\right)^{2}\qquad {\text{[II]}}$;

而[II]對$x$求導後為

$y=m^{2}{\frac {{\text{d}}^{2}y}{{\text{d}}x^{2}}}$.

這個微分方程的兩個解是

$y=e^{x/m}$ 和 $y=e^{-x/m}$,

因此，其通解為

$y=c_{1}e^{x/m}+c_{2}e^{-x/m}{\text{.}}\qquad {\text{[III]}}$

在這個表示式中，我們似乎有三個任意常數，$m$，$c_{1}$ 和 $c_{2}$；但從 [II] 中，我們有，在將 $y^{2}$ 和 $\left({\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}\right)^{2}$ 代入到 [III] 中，

$m^{2}=4c_{1}c_{2}$.

因此，在 [III] 中寫作，

$c_{1}={\frac {1}{2}}me^{-x_{0}'/m}$ 和 $c_{2}={\frac {1}{2}}me^{x_{0}'/m}$

其中 $x_{0}'$ 是一個常數，我們有

$y={\frac {1}{2}}m[e^{(x-x_{0}')/m}+e^{-(x-x_{0}')/m}]{\text{.}}\qquad {\text{[III']}}$

這兩個常數 $x_{0}'$ 和 $m$ 是由曲線透過兩個固定點 $P_{0}$ 和 $P_{1}$ 這兩個條件確定的。

第 31 條.
從第 19 條的描述中可以看出，至少在一定範圍內，兩條相鄰曲線在其整個範圍內都是不同的。這意味著在曲線 $C$ 周圍存在一個“鄰域”，在這個鄰域內，該曲線不會被任何相鄰曲線所交。假設曲線 $C_{\epsilon }$ 是透過將 $y$ 替換為 $y+\epsilon \eta$ 從曲線 $C$ 推匯出來的（參見第 22 條）。考慮透過改變 $\epsilon$ 在 $-1$ 和 $+1$ 之間獲得的曲線族 $(C_{\epsilon })$。對於足夠小的 $\epsilon$ 值，曲線 $C_{\epsilon }$ 將位於假設存在的鄰域內，並且我們曲線族的一部分將位於該鄰域內。這是假設存在旋轉極小曲面的一個**必要結果**。然而，作為條件，它不足以保證存在一條生成這種曲面的曲線。事實上，由曲線 $C_{\epsilon }$ 生成的曲面都大於由曲線 $C$ 生成的曲面，並不能阻止以不同於生成曲線 $C_{\epsilon }$ 的方式構造一條相鄰曲線，該曲線將生成一個旋轉曲面，其表面積小於由 $C$ 旋轉產生的旋轉曲面。

確定對於哪條曲線 $C$ 以上條件可以滿足是有用的，雖然這並不能證明曲線 $C$ 生成一個旋轉極小曲面，但至少它會限制我們期望找到一個生成極小曲面的曲線所在的曲線範圍。對這個更有限的曲線範圍的進一步研究可能會找到生成極小曲面的曲線，或者證明它們不存在。在進一步的研究中，我們將推匯出確保存在最大值或最小值的充分條件。

第 32 條.
從第 30 條得出的結論表明，如果存在一條曲線提供所需的最小曲面，那麼這條曲線必須是懸鏈線。由於懸鏈線必須穿過兩個固定點 $P_{0}$ 和 $P_{1}$，我們可以根據這兩個關係確定常數 $m$ 和 $x_{0}'$（參見公式 [III']，第 30 條）。

$y_{0}={\frac {1}{2}}m[e^{(x_{0}-x_{0}')/m}+e^{-(x_{0}-x_{0}')/m}]$

$y_{1}={\frac {1}{2}}m[e^{(x_{1}-x_{0}')/m}+e^{-(x_{1}-x_{0}')/m}]$

我們將在下一章看到，根據上述方程的解為我們提供 *兩* 條懸鏈線，*一條* 懸鏈線，或者*沒有* 懸鏈線，會出現三種情況。

首先，可以證明，最靠近 $X$-軸的懸鏈線永遠不能提供最小曲面。第二種情況是，上面提到的兩條懸鏈線重合，在這種情況下，將在兩點之間繪製無數條曲線，每條曲線都會產生相同的旋轉面積。這些結果歸功於 Todhunter（參見下一章開頭的參考文獻）。