變分法/第十四章

第十四章：等周問題。

• 190 問題的陳述。
• 191 出現的積分的簡化形式。
• 192 此問題的函式 $F_{1}$。
• 193 出現的微分方程的積分。
• 194 一個直接的結果是施泰納定理：那些可以自由變化的曲線部分，是半徑相等的圓弧。
• 195 如果存在一條曲線，它在給定的周長下包含最大的表面積，那麼這條曲線就是一個圓。
• 196 圓形具有該性質的可接受性。

第 190 條.
等周問題可以簡要地表述如下：

確定在給定長度下最大化或最小化某個定積分的曲線。

例如，可以問：在連線兩點的所有給定長度的曲線中，哪一條曲線繞某個特定軸旋轉產生的旋轉曲面最小？或者，在給定長度的連線兩點的弧線上，受重力影響的粒子在最短時間內下降的弧線是什麼？

我們將在本章的第一部分考慮問題 V，它可以再次表述如下：假設平面上任何部分都以這樣一種方式界定，即可以從其中的任何一點到另一點而不越過邊界。在這個平面部分中，要構造一條自相交的線，使其具有給定的長度幷包含最大的表面積。

設 $x$ 和 $y$ 是 $t$ 的函式，對於兩個確定的值 $t_{0}$ 和 $t_{1}$ 對應的點重合，並且當 $t$ 從較小的值 $t_{0}$ 到較大的值 $t_{1}$，點 $x,y$ 以正方向遍歷整個曲線，從起點到終點。

曲線所包圍的表面積由積分表示

$1)\qquad I^{(0)}={\frac {1}{2}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}(xy'-yx'){\text{d}}t$

它的周長由下式給出

$2)\qquad I^{(1)}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}{\text{d}}t$

所提問題在於，以這樣的方式將 $x$ 和 $y$ 表達為 $t$ 的函式，使得第一個積分的值最大，同時第二個積分保持給定的值。

座標原點選擇的位置無關緊要；因為透過原點的變換，第二個積分保持不變，而第一個積分只改變一個常數。這不會改變積分的最大值性質。

也可以新增其他條件；例如：曲線以給定的順序透過一定數量的固定點，或者曲線包含一定數量的曲線段以給定的順序，等等。 然後曲線將包含沿其變化不受限制的部分。

第 191 條.
函式 $F$ 在這裡

$F={\frac {1}{2}}(xy'-yx')-\lambda {\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}$

我們可以用另一個函式代替這個函式，因為

${\frac {{\text{d}}(xy)}{{\text{d}}t}}=xy'+yx'$

因此。

${\frac {1}{2}}(xy'-yx')={\frac {1}{2}}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}(xy)-yx'$

現在，如果我們在極限 $t_{0}\ldots t_{1}$ 之間積分，上述等式右邊的第一項消失，因為曲線的終點和起點重合。因此，

${\frac {1}{2}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}(xy'-yx'){\text{d}}t=-\int _{t_{0}}^{t_{1}}yx'{\text{d}}t$

因此我們可以將函式 $F$ 的值賦為

$3)\qquad F=-x'y-\lambda {\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}$

由此得到

${\frac {\partial F}{\partial x'}}=-y-{\frac {\lambda x'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}\qquad {\frac {\partial F}{\partial y'}}=-{\frac {\lambda y'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}$

但由於 (第 187 條) ${\frac {\partial F}{\partial x'}}$ 和 ${\frac {\partial F}{\partial y'}}$ 沿著自由變化的曲線段以連續的方式變化，因為 $\lambda$ 對整條曲線具有相同的常數值 (第 185 條)，並且由於與 $\lambda$ 相乘的量只是曲線切線的方向餘弦，因此曲線在變化自由的每個點都以連續的方式改變其方向。

第 192 條.
函式 $F_{1}$ 的值為

$4)\qquad F_{1}={\frac {-\lambda }{({\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}})^{3}}}$

很明顯，$F_{1}$ 不改變符號，並且由於最大值要進入，因此 $F_{1}$ 必須連續為負，由此得出 $\lambda$ 必須是一個正常數。

第 193 條.
為了找到曲線本身，我們必須對微分方程 $G^{(0)}-\lambda G^{(1)}=0$ 進行積分。這個方程等價於（第 79 條）這兩個方程

${\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}{\frac {\partial F}{\partial x'}}-{\frac {\partial F}{\partial x}}=0\qquad {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}{\frac {\partial F}{\partial y'}}-{\frac {\partial F}{\partial y}}=0$

由於 $F$ 不顯式包含 $x$，因此第一個方程給出

$5)\qquad {\frac {\partial F}{\partial x'}}=~{\text{constant}}~~~{\text{or}}~~~y+{\frac {\lambda x'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}=b$

其中 $b$ 是一個任意常數。由於 ${\frac {\partial F}{\partial x'}}$ 在曲線自由變化的部分以連續的方式變化，因此常數 $b$ 在曲線的這一部分保持相同的值。然而，曲線可能由可以自由變化的不同部分組成，對於這些部分，常數 $b$ 可能具有不同的值。

如果我們將曲線的弧長（從原點測量）作為自變數，根據 5），我們有

$6)\qquad {\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}s}}=-{\frac {1}{\lambda }}(y-b)$

因此，由於 $\left({\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}s}}\right)^{2}+\left({\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}s}}\right)^{2}=1$，可以得出

$\left({\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}s}}\right)^{2}=1-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}(y-b)^{2}$

和

${\frac {{\text{d}}^{2}y}{{\text{d}}s^{2}}}=-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}(y-b)={\frac {1}{\lambda }}{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}s}}$

我們立即發現，如果對最後一個方程積分，則

$7)\qquad {\frac {{\text{d}}^{2}y}{{\text{d}}s^{2}}}={\frac {1}{\lambda }}(x-a)$

其中 $a$ 是一個任意常數；因此，曲線的方程為

$8)\qquad (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=\lambda ^{2}$

從曲線的性質可以看出 $\lambda$ 是一個正常數。

第 194 條.
一個直接的結果是施泰納定理：曲線中可以自由變化的部分必須是相等圓的弧長。這些圓可以有不同的圓心，因為 $a$ 和 $b$ 還沒有確定。然而，每個這樣的圓弧可以位於連線兩個端點的弦的兩側；因此，我們需要確定哪段弧是所需的弧長。

微分方程的解是

$x-a=\lambda \cos {\frac {s-s_{0}}{\lambda }}=\lambda \cos t\qquad t-b=\lambda \sin {\frac {s-s_{0}}{\lambda }}=\lambda \sin t$

正如從公式 6) 和 7) 中看到的那樣，當求導時。由於 $\lambda$ 為正數， $s$ 隨著 $t$ 的增加而增加，並且由於隨著 $t$ 的增加，曲線在正方向上遍歷，我們必須取使此條件也成立的弧段。設 $C$ 為圓心， $A_{1}$ 為起點， $A_{2}$ 為弧的終點。位於 $CA_{1}$ 正側的弧段即為正確弧段，即位於 $t$ 增大的那側。因為如果 $t_{1}$ 是半徑 $CA_{1}$ 與 $X$ 軸所成的角，如果 $x_{1},y_{1}$ 是點 $A_{1}$ 的座標，那麼我們有

$\cos t_{1}={\frac {1}{\lambda }}(x_{1}-a)\qquad \sin t_{1}={\frac {1}{\lambda }}(y_{1}-b)$

並且進一步地，該切線 $A_{1}B_{1}$ 在點 $A_{1}$ 與弧線相切的角度，與 $X$ 軸所成的角為 $t_{1}+{\frac {\pi }{2}}$。因此，我們有

$\cos \left(t_{1}+{\frac {\pi }{2}}\right)=-\sin t_{1}=-{\frac {1}{\lambda }}(y_{1}-b)=\left({\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}s}}\right)_{1}$

$\sin \left(t_{1}+{\frac {\pi }{2}}\right)=\cos t_{1}={\frac {1}{\lambda }}(x_{1}-a)=\left({\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}s}}\right)_{1}$

這些公式具有正確的符號。如果我們取另一條弧線，以及在另一個方向上繪製的切線，則情況並非如此。因此，始終要取那條弧線，從中心看出去，以 *正* 方向遍歷。

第 195 條.
如果對曲線沒有施加任何條件，並且要求在所有等周線中找到一個提供最大表面積的曲線，那麼問題就不是一個 *絕對最大值*，因為可以在平面上隨意移動曲線而不會改變其形狀。這個問題可以更準確地表述為：*表示表面積的積分在引入所有可能的變分後，不能接受正增量*。這樣表述的問題會導致與以前完全相同的必要條件，即第一變分必須消失，因此我們有相同的微分方程要解。我們也對 $\lambda$ 有相同的條件。由於第二變分永遠不會是正的，因此 $F_{1}$ 不能改變其符號，我們得出與上面相同的結論，即 $\lambda$ 是正的。由於整個曲線可以自由變化，並且由於 ${\frac {\partial F}{\partial x'}}$ 和 ${\frac {\partial F}{\partial y'}}$ 是整個軌跡的連續函式，常數 $a$ 和 $b$ 對整個曲線是相同的；然而，它們仍然是不確定的。因此，我們有以下結果

如果存在一條閉合曲線，它在給定的周長內包含最大的表面積，那麼這條曲線是一個圓。

第 196 條.
然而，尚未證明該性質屬於圓形。第二變分的處理還不夠，因為這裡只使用了這樣的變分：兩個對應點之間的距離，以及這些點在方向上的差異都不超過一定的限度。

進一步的證明必須證明所有其他曲線都形成較小表面積的邊界。關於圓形具有這種最大性質的證明（在所有先前關於該問題的解決方案中都沒有提及的證明）被認為非常困難，以至於其解決方案被認為不在變分法的領域內。然而，我們將在下一章中表明，在已經討論過的定理中，提供了一種克服這種困難的方法。可以看到，在不使用第二變分的情況下，在函式 $F_{1}$ 不僅在曲線的任何點上，而且在任何點的任何方向上都不改變符號的所有情況下，都能獲得所需的結果。