變分法/第八章

第八章：二次變分；其符號由函式 $F_{1}$ 的符號決定。

• 111 引入的替換的性質和存在性。
• 112 總變分。
• 113,114 函式 $F$ 的二次變分。
• 115 積分 $I$ 的二次變分。二次變分的符號在確定最大值或最小值。
• 116 不連續性。
• 117 使二次變分的符號依賴於 $F_{1}$ 的符號。
• 118 對所做變換的可接受性。微分方程 $J=0$.
• 119 二次變分的一種簡單形式。
• 120 二階線性微分方程的一般性質。
• 121 二次變分和函式 $F_{1}$。函式 $F{1}$ 不能改變符號，並且必須不同於 $0$ 和 $\infty$，以便可能存在最大值或最小值。

第 111 條.
替換 $x+\epsilon \xi$，$y+\epsilon \eta$ 對於 $x$，$y$ 使原始曲線上的任何點沿一條直線移動，該直線與 $X$ 軸的夾角的正切為 ${\frac {\eta }{\epsilon }}$.

如果我們要求該點沿除直線以外的曲線移動，則曲線的這種變形是不夠的。

為了避免這種不足，我們進行了更一般的替換（透過該替換，規則曲線保持規則）

$x\rightarrow x+\epsilon \xi _{1}+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\xi _{2}+\cdots$, $\qquad y\rightarrow y+\epsilon \eta _{1}+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\eta _{2}+\cdots$

其中，類似於我們之前開發的 $\xi$ 和 $\eta$（第 75 條），數量 $\xi _{1}$、$\eta _{1}$、$\xi _{2}$、$\eta _{2}\ldots$ 是關於 $t$ 的函式，在極限 $t_{0}\ldots t_{1}$ 之間是有限的、連續的單值的，並且可以被微分（只要需要）。這些級數假設在 $\epsilon$ 的值範圍內收斂，使得 $|\epsilon |<1$。

這樣的替代的存在可以透過以下方式看到：

由於曲線是規則的，因此可以由級數表示連續點到 $P_{0}$ 和 $P_{1}$ 的座標，例如：

$({\text{A}})\qquad x_{0}+\epsilon a_{0}^{(1)}+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}a_{0}^{(2)}+\cdots$, $\qquad y_{0}+\epsilon b_{0}^{(1)}+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}b_{0}^{(2)}+\cdots$

$({\text{B}})\qquad x_{1}+\epsilon a_{1}^{(1)}+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}a_{1}^{(2)}+\cdots$, $\qquad y_{1}+\epsilon b_{1}^{(1)}+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}b_{1}^{(2)}+\cdots$

其中，$\epsilon$ 冪的係數為常數，級數是收斂的。

現在，假設我們要確定 $t$ 的函式

$({\text{C}})\qquad x+\epsilon \xi _{1}+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\xi _{2}+\cdots$, $\qquad y+\epsilon \eta _{1}+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\eta _{2}+\cdots$

使得當 $t=t_{0}$ 和 $t=t_{1}$ 時，表示式 (C) 與 (A) 和 (B) 相同。

例如，這可以透過編寫以下內容來完成

$\xi _{1}=t^{2}+\alpha _{1}t+\alpha _{2}$,

$\eta _{1}=t^{2}+\beta _{1}t+\beta _{2}$,

然後確定$\alpha _{1}$，$\alpha _{2}$，$\beta _{1}$，$\beta _{2}$，以使

$t_{0}^{2}+\alpha _{1}t_{0}+\alpha _{2}=a_{0}^{(1)}$；$\qquad t_{0}^{2}+\beta _{1}t_{0}+\beta _{2}=b_{0}^{(1)}$

$t_{1}^{2}+\alpha _{1}t_{1}+\alpha _{2}=a_{1}^{(1)}$；$\qquad t_{1}^{2}+\beta _{1}t_{1}+\beta _{2}=b_{1}^{(1)}$

由此可見

$\alpha _{1}=-(t_{1}+t_{0})+{\frac {a_{1}^{(1)}-a_{0}^{(1)}}{t_{1}-t_{0}}}$，等等。

同樣地，我們可以確定$t$的二次表示式，用於$\xi _{2}$，$\eta _{2}$，等等。

因此獲得的替換與我們假設存在的替換性質相同，並且顯然可以以無限多種不同的方式構造。

第 112 條.
在積分中進行上述替換

$I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F(x,y,x',y')~{\text{d}}t$,

可以看出

$\Delta I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left[F\left(x+\epsilon \xi _{1}+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\xi _{2}+\cdots ,y+\epsilon \eta _{1}+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\eta _{2}+\cdots ,x'+\epsilon \xi _{1}'+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\xi _{2}'+\cdots ,y'+\epsilon \eta _{1}'+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\eta _{2}'+\cdots \right)-F(x,y,x',y')\right]~{\text{d}}t$

$=\epsilon \delta I+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\delta ^{2}I+{\frac {\epsilon ^{3}}{3!}}\delta ^{3}I+\cdots$.

根據泰勒定理，我們有

$F\left(x+\epsilon \xi _{1}+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\xi _{2}+\cdots ,y+\epsilon \eta _{1}+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\eta _{2}+\cdots ,x'+\epsilon \xi _{1}'+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\xi _{2}'+\cdots ,y'+\epsilon \eta _{1}'+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\eta _{2}'+\cdots \right)-F(x,y,x',y')$

$=\left[\left(\epsilon \xi _{1}+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\xi _{2}+\cdots \right){\frac {\partial }{\partial x}}+\left(\epsilon \eta _{1}+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\eta _{2}+\cdots \right){\frac {\partial }{\partial y}}+\left(\epsilon \xi _{1}'+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\xi _{2}'+\cdots \right){\frac {\partial }{\partial x'}}+\left(\epsilon \eta _{1}'+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\eta _{2}'+\cdots \right){\frac {\partial }{\partial y'}}\right]F$

$+{\frac {1}{2!}}\left[\left(\epsilon \xi _{1}+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\xi _{2}+\cdots \right){\frac {\partial }{\partial x}}+\left(\epsilon \eta _{1}+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\eta _{2}+\cdots \right){\frac {\partial }{\partial y}}+\left(\epsilon \xi _{1}'+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\xi _{2}'+\cdots \right){\frac {\partial }{\partial x'}}+\left(\epsilon \eta _{1}'+{\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\eta _{2}'+\cdots \right){\frac {\partial }{\partial y'}}\right]^{2}F$

$+{\frac {1}{3!}}\left[\cdots \right]^{3}F+\cdots$.

表示式中 $\epsilon$ 的係數是 $\delta I$ 的被積函式，為零；而 ${\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}$ 的係數包含了 $F$ 的一階偏導數項，以及 $F$ 的二階偏導數項。

屬於該係數的 $F$ 的一階偏導數項，在積分符號下可以寫成如下形式：

$\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left[{\frac {\partial F}{\partial x}}\xi _{2}+{\frac {\partial F}{\partial x'}}\xi _{2}'+{\frac {\partial F}{\partial y}}\eta _{2}+{\frac {\partial F}{\partial y}}\eta _{2}'\right]~{\text{d}}t=\int _{t_{0}}^{t_{1}}G(y'\xi _{2}-x'\eta _{2})~{\text{d}}t+\left[\right]_{t_{0}}^{t_{1}}$

(參見第 79 條)，如果假設端點保持固定，則該表示式也為零。

第 113 條.
在前面用泰勒定理對 $\epsilon ^{2}$ 展開 $F$ 中，忽略因子 ${\frac {1}{2!}}$，由 $\delta ^{2}F$ 表示。

然後我們有

$1)\qquad \delta ^{2}F={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}\xi _{1}^{2}+2{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}\xi _{1}\eta _{1}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}}\eta _{1}^{2}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x'^{2}}}\xi _{1}'^{2}+2{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x'\partial y'}}\xi _{1}'\eta _{1}'+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y'^{2}}}\eta _{1}'^{2}+2\left({\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial x'}}\xi _{1}\xi _{1}'+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y\partial y'}}\eta _{1}\eta _{1}'+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y'}}\xi _{1}\eta _{1}'+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y\partial x'}}\eta _{1}\xi _{1}'\right)$.

現在可以省略下標，並透過引入函式 $F_{1}$ 來簡化公式，該函式（第 73 條）由以下關係定義：

$2)\qquad {\frac {\partial ^{2}F}{\partial x'^{2}}}=y'^{2}F_{1}$, $\qquad {\frac {\partial ^{2}F}{\partial x'\partial y'}}=-x'y'F_{1}$, $\qquad {\frac {\partial ^{2}F}{\partial y'^{2}}}=x'^{2}F_{1}$;

並引入新的記號

$3)\qquad L={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial x'}}-y'y''F_{1}$, $\qquad M={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y'}}+x'y''F_{1}={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x'\partial y}}+y'x''F_{1}$ （由於方程 $G=0$），$\qquad N={\frac {\partial ^{2}F}{\partial y\partial y'}}-x'x''F_{1}$;

其中 $x''$, $y''$ 分別表示 ${\frac {{\text{d}}^{2}x}{{\text{d}}t^{2}}}$,${\frac {{\text{d}}^{2}y}{{\text{d}}t^{2}}}$.

然後我們有

$\delta ^{2}F={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}\xi ^{2}+2{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}\xi \eta +{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}}\eta ^{2}+F_{1}(y'^{2}\xi '^{2}-2x'y'\xi '\eta '+x'^{2}\eta '^{2})+2F_{1}(y'y''\xi \xi '+x'x''\eta \eta '-x'y''\xi \eta '-y'x''\eta \xi ')+2(L\xi \xi '+M(\xi \eta '+\eta \xi ')+N\eta \eta ')$.

為了使此公式的右邊成員的一部分成為精確微分，我們寫

$4)\qquad R=L\xi ^{2}+2M\xi \eta +N\eta ^{2}$,

這個表示式關於 $t$ 微分後變為

$2[L\xi \xi '+M(\xi \eta '+\eta \xi ')+N\eta \eta ']={\frac {{\text{d}}R}{{\text{d}}t}}-{\frac {{\text{d}}L}{{\text{d}}t}}\xi ^{2}-2{\frac {{\text{d}}M}{{\text{d}}t}}\xi \eta -{\frac {{\text{d}}N}{{\text{d}}t}}\eta ^{2}$.

我們進一步寫

$5)\qquad w=y'\xi -\eta x'$,

其中 (見第 81 條) $w$ 是，忽略因子 ${\frac {1}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}$，曲線上的一個點沿法線方向的滑動量。

關於 $t$ 微分，我們有

${\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}=y''\xi -x''\eta +y'\xi '-x'\eta '$,

由此可知

$c=(y''\xi -x''\eta )^{2}+(y'\xi '-x'\eta ')^{2}+2(y'y''\xi \xi '+x'x''\eta \eta '-x'y''\xi \eta '-y'x''\eta \xi ')$.

那麼，二階變分的表示式變為

$\delta ^{2}F={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}\xi ^{2}+2{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}\xi \eta +{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}}\eta ^{2}+F_{1}\left[\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)^{2}-(y''\xi -x''\eta )^{2}\right]+{\frac {{\text{d}}R}{{\text{d}}t}}-\left({\frac {{\text{d}}L}{{\text{d}}t}}\xi ^{2}+2{\frac {{\text{d}}M}{{\text{d}}t}}\xi \eta +{\frac {{\text{d}}N}{{\text{d}}t}}\eta ^{2}\right)$.

如果我們進一步在這個表示式中寫

$6)\qquad L_{1}={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}-F_{1}y''^{2}-{\frac {{\text{d}}L}{{\text{d}}t}}$, $\qquad M_{1}={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}+F_{1}x''y''-{\frac {{\text{d}}M}{{\text{d}}t}}$, $\qquad N_{1}={\frac {\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}}-F_{1}x''^{2}-{\frac {{\text{d}}N}{{\text{d}}t}}$,

我們最終得到

$\delta ^{2}F=F_{1}\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)^{2}+L_{1}\xi ^{2}+2M_{1}\xi \eta +N_{1}\eta ^{2}+{\frac {{\text{d}}R}{{\text{d}}t}}$.

第 114 條.
由 3) 可知

$Lx'+My'=x'{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial x'}}+y'{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y'}}$.

由於函式 $F$ （第 IV 章）的同質性，從尤拉定理可以看出

$F=x'{\frac {\partial F}{\partial x'}}+y'{\frac {\partial F}{\partial y'}}$,

因此，

${\frac {\partial F}{\partial x}}=x'{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial x'}}+y'{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y'}}$;

因此

${\frac {\partial F}{\partial x}}=Lx'+My'$.

類似地，我們有

${\frac {\partial F}{\partial y}}=Mx'+Ny'$.

對 $t$ 微分，上面的表示式變為

${\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\right)={\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}x'+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}y'+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial x'}}x''+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y'}}y''={\frac {{\text{d}}L}{{\text{d}}t}}x'+{\frac {{\text{d}}M}{{\text{d}}t}}y'+Lx''+My''$,

由於 3)，它為

$x'\left({\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}-F_{1}y''^{2}-{\frac {{\text{d}}L}{{\text{d}}t}}\right)+y'\left({\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}+F_{1}y''x''-{\frac {{\text{d}}M}{{\text{d}}t}}\right)=0$;

或從 6)

$x'L_{1}+y'M_{2}=0$.

以類似的方式，可以證明

$x'M_{1}+y'N_{1}=0$.

從這些表示式中，我們立刻得到

${\frac {L_{1}}{y'^{2}}}=-{\frac {M_{1}}{x'y'}}={\frac {N_{1}}{x'^{2}}}=F_{2}$,

其中 $F_{2}$ 是比例因子。

由此可知

$7)L_{1}=y'^{2}F_{2},\qquad M_{1}=-x'y'F_{2},\qquad N_{1}=x'^{2}F_{2}$.

量 $F_{2}$ 由這三個等式定義，在第二變分的處理中起著至關重要的作用。

由於關係式7)，

$L_{1}\xi ^{2}+2M_{1}\xi \eta +N_{!}\eta ^{2}$ 變為 $F_{2}w^{2}$，

因此，

$\delta ^{2}F=F_{1}\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)+F_{2}w^{2}+{\frac {{\text{d}}R}{{\text{d}}t}}$.

第115條.
因此，積分的第二變分形式為

$8)\qquad \delta ^{2}I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(F_{1}\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)+F_{2}w^{2}\right)~{\text{d}}t+\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\frac {{\text{d}}R}{{\text{d}}t}}~{\text{d}}t$.

我們假設端點是固定的，因此在這些點上 $\xi =0=\eta$，並且我們進一步假設所變分的曲線包含一條正則軌跡，沿著這條軌跡則

$R=L\xi ^{2}+2M\xi \eta +N\eta ^{2}$

在任何地方都是連續的，因此

${\Big [}R{\Big ]}_{t_{0}}^{t_{1}}=0$.

因此，上面的積分可以寫成

$8^{*})\qquad \int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(F_{1}\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)+F_{2}w^{2}\right)~{\text{d}}t$.

如果積分 $I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F(x,y,x',y')~{\text{d}}t$ 對於曲線 $G=0$ 來說要取最大值或最小值，則當曲線經受無限小的變化時，由此產生的變化 $\Delta I$ 必須始終具有相同的符號，無論以何種方式選擇 $\xi$，$eta$；因此，二階變分 $\delta ^{2}I$ 必須連續地與 $\Delta I$ 具有相同的符號。

我們已經多次看到

$\Delta I={\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\delta ^{2}I+{\frac {\epsilon ^{3}}{3!}}\delta ^{3}I+\cdots$,

以及對於任何其他值 $\epsilon _{1}$，例如 $\epsilon _{1}$

$\Delta _{1}I={\frac {\epsilon _{1}^{2}}{2!}}\delta ^{2}I+{\frac {\epsilon _{1}^{3}}{3!}}\delta ^{3}I+\cdots$.

此外，如果 $\delta ^{2}I$ 為負數，而 $\Delta I$ 為正數，則我們可以取 $\epsilon _{1}$ 足夠小，使 $\Delta _{1}I$ 的符號僅取決於上述展開式中右側的第一項，因此為負數。因此，積分 $I$ 不能取得最大值或最小值，因為它的變化先是正數，然後是負數。

因此，暫且不考慮 $\delta ^{2}I=0$ 的情況，我們有以下定理：

如果積分 $I$ 要取最大值或最小值，則它的二階變分必須連續為負數或連續為正數。

當 $\delta ^{2}I$ 對 $\xi$ 和 $\eta$ 的所有可能值都消失時，也必須 $\delta ^{2}I$ 消失，因為積分 $I$ 應該是一個最大值或最小值，並且像在極值理論中一樣，我們必須研究第四階變分。在這種情況下，需要滿足的條件非常多，以至於數學處理非常複雜和困難。

因此，可以看出，在條件 $\delta I=0$ 滿足後，它得出：

對於最大值的可能性，$\delta ^{2}I$ 必須是負的，並且

對於最小值的可能性，$\delta ^{2}I$ 必須是正的。

這些條件是必要的，但不是充分的。

第 116 條.
在第 75 條中，我們假設 $\xi$，$\eta$，$\xi '$，$\eta '$ 是 $t$ 在 $t_{0}\ldots t_{1}$ 限制內的連續函式。由於假設 $\xi '$，$\eta '$ 存在，我們必須預先假設 $x$ 和 $y$ 關於 $t$ 的二階導數（參見第 23 條）。由此也推出曲率半徑必須以連續的方式變化。在上一篇文章中推導方程 8) 時，已經默契地做出了這些假設。現在，我們將從 $\xi '$ 和 $\eta '$ 是 $t$ 的連續函式的限制中解放出來，但保留關於 $x,y,\xi ,\eta ,x',y',x'',y''$ 的連續性的假設。

定理表明，${\frac {\partial F}{\partial x'}}$ 和 ${\frac {\partial F}{\partial y'}}$ 在整個曲線（第97條）上以連續的方式變化，在大多數情況下提供了一種方便的方法來確定關於 $x'$ 和 $y'$ 連續性的假設的可接受性。如果在曲線 $G=0$ 的某些點，$x'$ 和 $y'$ 不連續，則始終可以將曲線劃分為這樣的部分，使得 $x'$ 和 $y'$ 在每個部分中都是連續的。然而，我們甚至不能說 $x''$ 和 $y''$ 在這樣的部分內是連續的，正如上面發展中假設的那樣。然而，如果 $x''$ 和 $y''$ 在這樣的曲線部分內是不連續的，我們只需要將曲線劃分為其他部分，以便在這些新部分內 $x''$ 和 $y''$ 不再發生任何突然的跳躍。在這些曲線部分中的每一個，都可以得出與整個曲線相同的結論，因此，關於 $x''$，$y''$ 在整個曲線上的連續變化的假設是不必要的。但是，如果我們侷限於考慮曲線的一部分，其中 $x,y,x',y',x'',y''$ 以連續的方式變化，那麼 $\xi '$，$\eta '$ 在積分的積分中是連續的。

$\int {\frac {{\text{d}}R}{{\text{d}}t}}~{\text{d}}t$

會被假設。這些假設不一定需要滿足，因為曲線的變化是任意的，並且很可能引入這樣的變化，其中$\xi '$，$\eta '$ 變成不連續的，只要我們願意就可以。然而，如果只有第一個命名條件得到滿足，我們可以放棄這些假設而不會改變最終結果。由於量$L$，$M$，$N$ 僅依賴於$x,y,x',y',x'',y''$，並且由於這些量是連續的，所以引入積分$\int {\frac {{\text{d}}R}{{\text{d}}t}}~{\text{d}}t$ 以上給出的形式始終是允許的。因為如果$\xi '$，$\eta '$ 在曲線的整個軌跡中不連續，曲線已經經歷了變化，我們可以假設這條曲線被分成幾部分，在這些部分內，上述導數以連續的方式變化，然後積分將變成形式為

$\int _{t_{\beta }}^{t_{\beta +1}}{\frac {{\text{d}}R}{{\text{d}}t}}~{\text{d}}t=\left[L\xi ^{2}+2M\xi \eta +N\eta ^{2}\right]_{t_{\beta }}^{t_{\beta +1}}$,

其中$t_{\beta },t_{\beta +1},\ldots$ 是對應$t$ 值的分割點的座標。但由於$\xi$，$\eta$ 以連續的方式變化，我們透過對這些量的求和得到了完全相同的表示式

$\left[L\xi ^{2}+2M\xi \eta +N\eta ^{2}\right]_{t_{0}}^{t_{1}}$

與之前一樣。數量 $\xi '$，$\eta '$ 也在 8) 右側積分符號下找到；但由於定積分的概念，即使這些量以不連續的方式變化，我們仍然可以以這種形式寫它；然而，在進行積分時，我們必須將對應於不連續性進入部分積分的位置的積分進行劃分。因此，我們看到 $\xi '$，$\eta '$ 的可能不連續性對結果沒有影響，只要 $x,y,x',y',x'',y'',\xi ,\eta$ 是連續的。因此，關於 $\xi '$，$\eta '$ 連續性的任何假設都是多餘的；然而，在曲線被變化的任意小部分中，數量 $\xi '$ 和 $\eta '$ 不能在無限次內變得不連續，因為這種曲線的變化必然已經全部排除。

第 117 條.
遵循勒讓德、雅可比等早期數學家的方法，我們可以將第二變分賦予一種形式，其中積分符號下出現的所有項都具有相同的符號（正號或負號）。

為了實現這一點，我們在 8) 的積分符號下新增一個精確微分 ${\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}(w^{2}v)$，並從 $R$ 中減去它，積分變為

$\delta ^{2}I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(F_{1}\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)^{2}+2vw{\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}+\left(F_{2}+{\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}\right)w^{2}\right)~{\text{d}}t+{\Big [}R-vw^{2}{\Big ]}_{t_{0}}^{t_{!}}$.

積分符號下的表示式是關於 $w$ 和 ${\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}$ 的一個齊次二次型。我們選擇量 $v$ 使得這個表示式成為一個完全平方，即：

$9)\qquad v^{2}-F_{1}\left(F_{2}+{\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}\right)=0$,

${\displaystyle }$

因此，

$10)\qquad \delta ^{2}I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F_{1}\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}+w{\frac {v}{F_{1}}}\right)^{2}~{\text{d}}t+{\Big [}R-vw^{2}{\Big ]}_{t_{0}}^{t_{1}}$.

我們將看到，可以確定一個函式 $v$，它在區間 $t_{0}\ldots t_{1}$ 內是有限單值且連續的，並且滿足方程 9）。如果端點保持固定，則積分 10）相應地變為：

$10^{a}\qquad \delta ^{2}I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F_{1}\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}+w{\frac {v}{F_{1}}}\right)^{2}~{\text{d}}t$

因此，第二變分與 $F_{1}$ 有相同的符號，很明顯，*為了存在最大值，$F_{1}$ 必須為負，而對於最小值，這個函式在區間 $t_{0}\ldots t_{1}$ 內必須為正，如果存在最大值或最小值，$F_{1}$ 不能在這個區間內改變符號。*

這個條件是由雅可比提出的。勒讓德之前得出結論，當一個與 $F_{1}$ 相對應的表示式為負時，我們有一個最大值，而當它為正時，我們有一個最小值。關於 $v$ 的微分方程是否總是可積的，這是一個值得探討的問題。在雅可比之後，我們將證明情況確實如此。

第 118 條.
在我們繼續之前，我們還沒有證明我們所介紹的變換是允許的。儘管方程式 9）很簡單，但我們無法對函式 v 的連續性做出結論，而這對於上述變換是必要的。¢ 因此，必須證明方程式 9）可以簡化為兩個線性微分方程組，該方程組可以還原為二階線性微分方程，因為對於該方程，我們有明確的標準來確定滿足該方程的函式是否保持有限且連續。

寫

$v={\frac {u_{1}}{u}}$,

其中 $u_{1}$ 和 $u$ 是 $t$ 的連續函式，並且 $u\neq 0$ 在區間 $t_{0}\ldots t_{1}$ 內。

方程式 9）然後變為

$<{\frac {u_{1}^{2}}{u^{2}}}-F_{1}\left(F_{2}+{\frac {u{\frac {{\text{d}}u_{1}}{{\text{d}}t}}-u_{1}{\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}}{u^{2}}}\right)=0/math>,or:<math>F_{1}u\left({\frac {{\text{d}}u_{1}}{{\text{d}}t}}+F_{2}u\right)-u_{1}\left(F_{1}{\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}+u_{1}\right)=0$.

由於函式 $u$，$u_{1}$ 之一可以任意選擇，我們取 $u$ 使得

$11)\qquad F_{1}{\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}+u_{1}=0$;

那麼，由於 $u\neq 0$，我們有

$12)\qquad {\frac {{\text{d}}u_{1}}{{\text{d}}t}}+F_{2}u=0$.

從 11）和 12）可以看出

$12^{a})\qquad {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}\right)-F_{2}u=0$,

或者

$13)\qquad F_{1}{\frac {{\text{d}}^{2}u}{{\text{d}}t^{2}}}+{\frac {{\text{d}}F_{1}}{{\text{d}}t}}{\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}-F_{2}u=0$,

其中 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 被認為是 $t$ 的已知函式。我們將此微分方程記為 $J=0$。在 $u$ 由此方程確定後， $u_{1}$ 可以由 11）確定，並且由 ${\frac {u_{1}}{u}}=v$ 我們得到 $v$ 作為 $t$ 的一個確定函式。

第 119 條.
為 $v$ 推匯出的表示式似乎包含兩個任意常數，而方程 9）只有一個。然而，兩種情況下，兩個常數可以被一個常數替換，因為 13）的一般解為

$u=c_{1}\phi _{1}(t)+c_{2}\phi _{2}(t)$,

因此，由 11）

$v={\frac {u_{1}}{u}}=-F_{1}{\frac {c_{1}\phi _{1}'(t)+c_{2}\phi _{2}'(t)}{c_{1}\phi _{1}(t)+c_{2}\phi _{2}(t)}}$,

此表示式僅依賴於兩個常數的比率。

從上述變換可以得出，

$14)\qquad \delta ^{2}I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F_{1}\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}-{\frac {w}{u}}{\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}\right)~{\text{d}}t$;

但這種變換隻有在區間 $t_{0}\ldots t_{1}$ 內找到一個非零函式 $u$ 才能有意義，這個函式需要滿足微分方程 $J=0$ 時才成立。

第 120 條.
如果我們有一個二階線性微分方程

${\frac {{\text{d}}^{2}y}{{\text{d}}x^{2}}}=P(x){\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}x}}+Q(x)y=0$,

如果 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 是這個方程的基本積分系統，那麼根據阿貝爾的關係（見福賽斯《微分方程》第 99 頁），我們有：

$y_{1}{\frac {{\text{d}}y_{2}}{{\text{d}}x}}-y_{2}{\frac {{\text{d}}y_{1}}{{\text{d}}x}}=Ce^{-\int P(x){\text{d}}x}$,

或者

$\Delta ={\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}\\{\frac {{\text{d}}y_{1}}{{\text{d}}x}}&{\frac {{\text{d}}y_{2}}{{\text{d}}x}}\end{vmatrix}}=Ce^{-\int P(x){\text{d}}x}$.

如果 $\Delta =0$，那麼我們將有 $y_{1}=cy_{2}$，系統不再是基本積分系統。這個行列式只有在 $P(x)$ 變成無窮大時才會變成零；或者這個行列式的符號變化只能在 $P(x)$ 變成無窮大時才會發生。

在微分方程 y $J=0$ 中，我們有 $P={\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\ln(F_{1})$，如果 $u_{1}$，$u_{2}$ 構成該微分方程的基本積分體系，那麼

$\Delta =u_{1}{\frac {{\text{d}}u_{2}}{{\text{d}}t}}-u_{2}{\frac {{\text{d}}u_{1}}{{\text{d}}t}}={\frac {C}{F_{1}}}$.

由此得出，$F_{1}$ 在所考慮的區間內或該區間的邊界上不能變成無窮大或零。因此，我們再次看到，$F_{1}$ 在區間 $t_{0}\ldots t_{1}$ 內不能改變符號。

如果 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 在區間 $t_{0}\ldots t_{1}$ 內連續，那麼透過對等式 $J=0$ 進行微分，我們可以用 $u$ 和 ${\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}$ 來表示 $u$ 的所有高階導數。因此，如果對於一個確定的 $t$ 值，例如 $t'$，給出了 $u$ 和 ${\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}$ 的值，那麼我們得到了 $u$ 的冪級數 $P(t-t')$（參見第 79 條），它滿足等式 $J=0$。

第 121 條.
假設 $F_{1}$ 在 $t$ 的某個特定值 $t'$ 有一個確定的正值或負值，這個特定值 $t'$ 位於區間 $t_{0}\ldots t_{1}$ 內，那麼由於它的連續性，它在 $t'$ 的某個鄰域內也將會是正值或負值，比如 $t'-\tau _{1}\ldots t'+\tau _{2}$ 。我們可以改變曲線的形狀，使它在區間 $t'-\tau _{1}\ldots t'+\tau _{2}$ 內取任何形狀，而在該區域之外保持不變。

因此，$I$ 的總變分，因此也 $I$ 的二階變分，僅取決於上述區域內的變分，根據上面的結論，我們可以找到一個關於變數 $t$ 的函式 $u$ ，它在給定區域內是連續的，滿足微分方程 $J=0$ ，並且 $u$ 和 ${\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}$ 在 $t=t'$ 處有給定的值，由此可知引入的變換是可接受的，我們有

$\delta ^{2}I=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F_{1}\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}-{\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}{\frac {w}{u}}\right)^{2}~{\text{d}}t$.

當 $F_{1}$ 為正值時，這個值顯然是正值；當 $F_{1}$ 為負值時，這個值是負值，只要

${\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}-{\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}{\frac {w}{u}}\neq 0\qquad$ (第 132 條).

然後，我們得到總變化

$\Delta I={\frac {\epsilon ^{2}}{2!}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}F_{1}\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}-{\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}{\frac {w}{u}}\right)^{2}~{\text{d}}t+{\frac {\epsilon ^{3}}{3!}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}(\xi ,\eta ,\xi ',\eta ')~{\text{d}}t$,

其中 $(\xi ,\eta ,\xi ',\eta ')$ 表示括號中包含的量的三維表示式。

對於 $\epsilon$ 的小值，可以看出 $\Delta I$ 與上述等式右側第一項具有相同的符號。因此，我們得到以下定理：

積分 $I$ 的總變化 $\Delta I$ 當 $F_{1}$ 為正時為正，當 $F_{1}$ 在整個區間 $t_{0}\ldots t_{1}$ 內為負時為負。

如果 $F_{1}$ 在區間 $t_{0}\ldots t_{1}$ 內的任意位置都可能改變符號，那麼就會存在曲線變化，使得 $\Delta I$ 為正，而其他變化則使得 $\Delta I$ 為負。因此，為了使 $I$ 存在最大值或最小值，我們有以下必要條件：

為了使在區間 $t_{0}\ldots t_{1}$ 內的曲線 $G=0$ 上存在積分 $I$ 的最大值或最小值，有必要 $F_{1}$ 在該區間內始終保持相同的符號；在最大值的情況下，$F_{1}$ 必須持續為負，而在最小值的情況下，該函式必須持續為正。

在這方面，值得注意的是，W. F. Osgood 教授在美國數學會刊（第二卷，第 273 頁）上發表了一篇論文，題目為：

"變分法的最小值的基本性質以及對魏爾斯特拉斯定理的證明"

這篇論文非常重要，可以大大簡化。