變分法/第十三章

第十三章：問題的陳述。必要條件的推導。

• 179 問題的陳述。
• 180 存在一種替換方法，使得一個積分保持不變，而另一個積分發生變化。一個特殊情況。
• 181 兩個變數的情況。出現的級數的收斂性。
• 182 引入的替換方法的本質。
• 183 形成一些只依賴於曲線性質的商。
• 184 泛化，其中多個積分需要保持固定值。
• 185 兩個定積分的商用 $\lambda$ 表示，它表明 $\lambda$ 對整條曲線具有相同的常數值。
• 186 微分方程 $G^{(0)}-\lambda G^{(1)}=0$.
• 187 第 97 條定理的推廣。
• 188 不連續性等。
• 189 二階變分：第 135 條中提出的三個條件在這裡也是必要的。

第 179 條.
在變分法中出現的許多問題的性質，呈現出限制了我們在分析結構的無限小變化中所使用的任意性的輔助條件。這類問題是其中最困難，同時也是最有趣的問題。這些最後進入最大值或最小值要求的條件，一般來說具有雙重性質。一方面，可以提出在變數之間存在條件方程，如第 176 條和第 177 條所述。另一方面，我們可以要求所討論的最大值或最小值滿足進一步的條件，即它必須使另一個給定積分具有規定的值。此類情況通常被稱為 *相對極值*。

如果我們將討論限制在兩個變數的區域，那麼我們要考慮的問題可以表述如下（參見第 17 條）：

設 $F^{(0)}(x,y,x',y')$ 和 $F^{(1)}(x,y,x',y')$ 是與函式 $F(x,y,x',y')$ 同樣的性質，迄今為止已經討論過了。變數 $x$ 和 $y$ 應該被確定為 $t$ 的單值函式，使得透過方程 $x=x(t),y=y(t)$ 定義的曲線將積分

$1)\qquad I^{(0)}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F^{(0)}(x,y,x',y'){\text{d}}t$

達到最大值或最小值，同時對於相同的方程，積分

$2)\qquad I^{(1)}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F^{(1)}(x,y,x',y'){\text{d}}t$

將具有規定值；也就是說，對於曲線的每一個無限小的變化，其中第二個積分保持其符號不變，第一個積分，根據最大值或最小值要進入，必須連續小於或連續大於它對於曲線$x=x(t),y=y(t)$.

第 180 條.
我們必須首先證明，可以解析地表示曲線的變化，對於這些變化，積分$I^{(1)}$ 保持恆定值。

在變數$x,y$ 的位置，讓我們進行替換$x+{\bar {\xi }},y+{\bar {\eta }}$。因此，第二個積分的變化為

$3)\qquad \Delta I^{(1)}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(1)}{\bar {w}}{\text{d}}t+\int _{t_{0}}^{t_{1}}({\bar {\xi }},{\bar {\eta }},{\bar {\xi }}',{\bar {\eta }}')_{2}{\text{d}}t$

其中$({\bar {\xi }},{\bar {\eta }},{\bar {\xi }}',{\bar {\eta }}')_{2}$ 表示括號內的項是關於${\bar {\xi }},{\bar {\eta }},{\bar {\xi }}',{\bar {\eta }}'$ 的二階和更高階。

我們必須這樣確定${\bar {\xi }}$ 和 ${\bar {\eta }}$；即$\Delta I^{(1)}=0$。為此，我們寫

$4)\qquad {\bar {\xi }}=\epsilon \xi +\epsilon _{1}\xi _{1}+\epsilon _{2}\xi _{2}+cdots\qquad {\bar {\eta }}=\epsilon \eta +\epsilon _{1}\eta _{1}+\epsilon _{2}\eta _{2}$

其中 $\epsilon ,\epsilon _{1},\ldots$ 是任意常數，函式 $\xi ,\xi _{1},\ldots ,\eta ,\eta _{1},\ldots$ 是類似於前面各章中量 ${\displaystyle }$ 的函式，並且在 $t=t_{0}$ 和 $t=t_{1}$ 時為零。現在寫

$w_{i}=y'\xi _{i}-x'\eta _{i}$

和

${\bar {w}}=y'{\bar {\xi }}-x'{\bar {\eta }}=\epsilon w+\epsilon _{1}w_{1}+\epsilon _{2}w_{2}+\cdots$

因此，從 3) 我們有

$\Delta I^{(1)}=\epsilon \int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(1)}w{\text{d}}t+\epsilon _{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(1)}w_{1}{\text{d}}t+\cdots +(\epsilon ,\epsilon _{1},\cdots )_{2}$

如果我們寫

$5)\qquad W_{i}^{(1)}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(1)}w_{i}{\text{d}}t$

則可以得到

$\Delta I^{(1)}=\epsilon W^{(1)}+\epsilon _{1}W_{1}^{(1)}+\epsilon _{2}W_{2}^{(1)}+\cdots +(\epsilon ,\epsilon _{1},\epsilon _{2},\ldots )_{2}$

函式 $W_{i}^{(i)}$ 一旦對 $\xi ,\xi _{1},\ldots$ 給出確定值後，就被完全確定了；為了讓 $\Delta I^{(1)}=0$，有必要滿足以下條件。

$(A)\qquad \epsilon W^{(1)}+\epsilon _{1}W_{1}^{(1)}+\epsilon _{2}W_{2}^{(1)}+\cdots +(\epsilon ,\epsilon _{1},\epsilon _{2},\ldots )_{2}=0$

如果其中任何一個量 $W_{i}^{(1)}$，例如 $W_{\lambda }^{(1)}$，不等於零，我們能夠用剩餘的 $\epsilon$ 的冪級數來表示 $\epsilon _{\lambda }$，當這些量被選擇得足夠小時。 因此，方程 $\Delta I^{(1)}=0$ 對於足夠小的 $\epsilon$ 值的系統可以得到滿足。

將這些值系統中的一個代入 4) 中，可以看出，曲線 $x=x(t),y=y(t)$ 存在無限小的變動，使得積分 $I^{(1)}$ 保持不變。這些變動可以用解析式表示（見下一節）。

當所有量 $W^{(1)},W_{1}^{(1)},\ldots$ 對所有 $\xi _{i},\eta _{i}$ 值為零時，此證明存在缺陷，然而 $\xi _{i},\eta _{i}$ 可能已經被選擇。在這種情況下，$G^{(1)}$ 必須沿著整個曲線為零。但這正是積分 $I^{(1)}$ 具有最大值或最小值的必要條件之一。

因此，如果透過求解微分方程 $G^{(0)}=0$ 獲得的曲線也包含積分 $I^{(1)}$ 的最大值或最小值，從而導致 $G^{(1)}=0$，一般來說，不可能使曲線發生變化，使第二個積分保持不變。

這種情況從本次討論中排除，並留待在每個具體問題中進行特殊研究。

第 181 條.
讓我們目前僅限於最簡單的情況，其中

${\bar {\xi }}=\epsilon \xi +\epsilon _{1}\xi _{1}\qquad {\bar {\eta }}=\epsilon \eta +\epsilon _{1}\eta _{1}$

如果我們將 $\Delta I^{(1)}$ 展開中與係數 $e^{i}e_{1}^{j}$ 相關的積分記為 $W_{ij}^{(1)}$，則對應於上一篇文章中的 (A) 的方程為

$(A^{a})\qquad 0=W_{10}^{(1)}+\epsilon _{1}W_{01}^{(1)}+\epsilon ^{2}W_{20}^{(1)}+\epsilon \epsilon _{1}W_{11}^{(1)}+\epsilon _{1}^{2}W_{02}^{(1)}+\cdots$

對於足夠小的 $\epsilon$ 和 $\epsilon _{1}$，我們假定哪個級數收斂。

接下來，我們用級數表示 $\epsilon _{1}$ 作為 $\epsilon$ 的函式:

$\epsilon _{1}=h_{1}\epsilon +h_{2}\epsilon ^{2}+h_{3}\epsilon ^{3}+\cdots$

然後，當我們將此 $\epsilon _{1}$ 的值代入 $A^{a}$ 後，透過將 $\epsilon$ 的不同冪次的係數設為零，我們得到

$W_{10}^{(1)}+h_{1}W_{01}^{(1)}=0$

$W_{20}^{(1)}+h_{1}W_{11}^{(1)}+h_{1}^{2}W_{02}^{(1)}+h_{2}W_{01}^{(1)}=0$

.....................................

因此，將商 $-{\frac {W_{ij}^{(1)}}{W_{01}^{(1)}}}$ 記為 $V_{ij}$，其中 $W_{01}^{(1)}\neq 0$，我們有

$h_{1}=V_{10}$

$h_{2}=V_{20}+h_{1}V_{11}+h_{1}^{2}V_{02}$

.............................

此外，等式 $(A^{a})$ 可以寫成

$(A^{b})\qquad \epsilon _{1}=\epsilon V_{10}+\epsilon ^{2}V_{20}+\epsilon \epsilon _{1}V_{11}+\epsilon _{1}^{2}V_{02}+\cdots$

讓我們將這個級數與級數

$(C)\qquad \epsilon _{1}={\frac {g}{1-\left({\frac {\epsilon }{r}}+{\frac {\epsilon _{1}}{r_{1}}}\right)}}-g-g{\frac {\epsilon _{1}}{r_{1}}}$

$\qquad =g\left[{\frac {\epsilon }{r}}+\left({\frac {\epsilon }{r}}+{\frac {\epsilon _{1}}{r_{1}}}\right)^{2}+\left({\frac {\epsilon }{r}}+{\frac {\epsilon _{1}}{r_{1}}}\right)^{3}+\cdots \right]$

假設從這個級數中，我們得到了用 $\epsilon$ 表示的 $\epsilon _{1}$，形式為

$(B^{b})\qquad \epsilon _{1}=h_{1}'\epsilon +h_{2}'\epsilon ^{2}+h_{3}'\epsilon ^{3}+\cdots$

其中，$h'$ 是從 $\epsilon$ 和 $\epsilon _{1}$ 冪的係數中推匯出來的，$h$ 在 $(B)$ 中是從 $(A^{b})$ 中的係數 $V$ 形成的。

級數 $(B^{b})$ 在以下情況下是收斂的

$\left|{\frac {\epsilon }{r}}\right|+\left|{\frac {\epsilon _{1}}{r_{1}}}\right|<1$

因此，如果 $(A^{b})$ 中的係數 $V$ 的絕對值小於 $(C)$ 中的對應係數，那麼 $(B)$ 中的係數 $h$ 的絕對值小於 $(B^{b})$ 中的係數 $h'$，因此級數 $(B)$ 是收斂的。

現在，$(A^{b})$ 和 $(C)$ 中 $\epsilon ^{k}\epsilon _{1}^{\mu }$ 的係數分別為

$V_{k,\mu }$ 和 ${\binom {k+\mu }{k}}{\frac {g}{r^{k}r_{1}^{\mu }}}$

其中符號 ${\binom {m}{n}}$ 表示 ${\frac {m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}}$。因此，對於足夠小的 $r$ 和 $r_{1}$ 的值，如果

$\left|{\frac {\epsilon }{r}}\right|+\left|{\frac {\epsilon _{1}}{r_{1}}}\right|<1$

和

$V_{k,\mu }<{\binom {k+\mu }{k}}{\frac {g}{r^{k}r_{1}^{\mu }}}$

級數 $(B)$ 是收斂的，當將其代入 $\Delta I^{(1)}$ 的表示式時，會使該表示式消失。

第 182 條.
$\epsilon _{1}$ 作為 $\epsilon$ 的函式的表示式可以從以下關係式中得到

$\epsilon _{1}={\frac {g}{1-\left({\frac {\epsilon }{r}}+{\frac {\epsilon _{1}}{r_{1}}}\right)}}-g-g{\frac {\epsilon _{1}}{r_{1}}}$

因此，可以得出

$\left({\frac {\epsilon _{1}}{r_{1}}}\right)^{2}+\left({\frac {\epsilon }{r}}-{\frac {r_{1}}{r_{1}+g}}\right){\frac {\epsilon _{1}}{r_{1}}}+{\frac {g\epsilon }{r(r_{1}+g)}}=0$

或者

${\frac {\epsilon _{1}}{r_{1}}}={\frac {1}{2}}\left[{\frac {r_{1}}{r_{1}+g}}-{\frac {\epsilon }{r}}\pm {\sqrt {\left({\frac {\epsilon }{r}}-{\frac {r_{1}}{r_{1}+g}}\right)^{2}-{\frac {4g\epsilon }{r(r_{1}+g)}}}}\right]$

在兩個根中，我們選擇符號較低的那個，以便$\epsilon _{1}$ 當$\epsilon$ 等於零時等於零。這個根可以寫成

${\frac {\epsilon _{1}}{r_{1}}}={\frac {1}{2}}\left[{\frac {r_{1}}{r_{1}+g}}-{\frac {\epsilon }{r}}-\left({\frac {r_{1}}{r_{1}+g}}-{\frac {\epsilon }{r}}\right){\sqrt {1-\left({\frac {4g\epsilon }{r(r_{1}+g)}}\right)\left({\frac {r_{1}}{r_{1}+g}}-{\frac {\epsilon }{r}}\right)^{-2}}}\right]$

可以看到，根式下的表示式對於$\epsilon$ 的值是有限的、連續的和單值的，滿足

${\frac {\epsilon }{r}}<{\frac {r_{1}}{r_{1}+g}}$ 並且 ${\frac {rg\epsilon }{r(r_{1}+g)}}<\left({\frac {r_{1}}{r_{1}+g}}-{\frac {\epsilon }{r}}\right)^{2}$

第 183 條.
回到替換

${\bar {\xi }}=\epsilon \xi +\epsilon _{1}\xi _{1}\qquad {\bar {\eta }}=\epsilon \eta +\epsilon _{1}\eta _{1}$

我們假設函式$\xi ,\xi _{1},\eta ,\eta _{1}$ 在曲線的端點（或極限）處變為零，並且被選擇使得$W_{01}^{(1)}$ 在積分範圍內不消失。我們有，從$(A^{a})$ 中立即得到冪級數

$\epsilon _{1}=-{\frac {W_{10}^{(1)}}{W_{01}^{(1)}}}\epsilon +\epsilon P(\epsilon )$

其中，冪級數 $P(\epsilon )$ 隨 $\epsilon$ 消失。

由此可得

$6)\qquad {\bar {\xi }}=\epsilon \left(\xi -{\frac {W_{10}^{(1)}}{W_{01}^{(1)}}}\xi _{1}\right)+\epsilon \xi _{1}P(\epsilon )\qquad {\bar {\eta }}=\epsilon \left(\eta -{\frac {W_{10}^{(1)}}{W_{01}^{(1)}}}\eta _{1}\right)+\epsilon \eta _{1}P(\epsilon )$

如果我們將積分 $I^{(0)}$ 施以相同的變分，我們有 [參見公式 $(A^{a})$]

$\Delta I^{(0)}=\epsilon W_{10}^{(0)}+\epsilon _{1}W_{01}^{(0)}+(\epsilon ,\epsilon _{1})_{2}$

因此

$\Delta I^{(0)}=\epsilon \left(W_{10}^{(0)}-{\frac {W_{10}^{(1)}}{W_{01}^{(1)}}}W_{01}^{(0)}\right)+(\epsilon )_{2}$

因此，如果積分 $I^{(0)}$ 要取得最大值或最小值，則必須

$W_{10}^{(0)}-{\frac {W_{10}^{(1)}}{W_{01}^{(1)}}}W_{01}^{(0)}$

等於零。

因此，我們得到了必要的條件

${\frac {W_{10}^{(0)}}{W_{10}^{(1)}}}={\frac {W_{01}^{(0)}}{W_{01}^{(1)}}}$

由此可見，商${\frac {W_{10}^{(0)}}{W_{10}^{(1)}}}$與任意函式$\xi ,\eta$無關，因為它在我們將$\xi ,\eta$寫成$t$的其它函式$\xi _{1},\eta _{1}$時不會改變。因此，可以得出結論：**上述商的值僅取決於曲線$x=x(t),y=y(t)$的性質。**

第 184 條.
我們可能會透過**要求曲線$x=x(t),y=y(t)$使積分**

$I^{(0)}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F^{(0)}(x,y,x',y'){\text{d}}t$

**最小或最大化，同時以下積分具有規定值**

$I^{(1)}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F^{(1)}(x,y,x',y'){\text{d}}t$

$I^{(2)}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F^{(2)}(x,y,x',y'){\text{d}}t$

...............................................

$I^{(\mu )}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F^{(\mu )}(x,y,x',y'){\text{d}}t$

**函式$F^{(0)},F^{(1)},\ldots ,F^{(\mu )},$與第一章中定義的函式${\displaystyle }$具有相同的性質。**

現在我們必須考慮由變分引起的曲線的變形

${\bar {\xi }}=\epsilon \xi +\epsilon _{1}\xi _{1}+\epsilon _{2}\xi _{2}+\cdots +\epsilon _{\mu }\xi _{\mu }\qquad {\bar {\eta }}=\epsilon \eta +\epsilon _{1}\eta _{1}+\epsilon _{2}\eta _{2}+\cdots +\epsilon _{\mu }\eta _{\mu }$

那麼，如果我們寫 $w_{i}=y'\xi _{i}-x'\eta _{i}~~(i=1,2,\ldots ,\mu )$，並假設 $\xi$ 和 $\eta$ 在 $\Delta I^{(0)}=\epsilon \int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(0)}w{\text{d}}t+\epsilon _{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(0)}w_{1}{\text{d}}t+\cdots +\epsilon _{\mu }\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(0)}w_{\mu }{\text{d}}t+(\epsilon ,\epsilon _{1},\cdots ,\epsilon _{\mu })_{2}$

$\Delta I^{(1)}=0=\epsilon \int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(1)}w{\text{d}}t+\epsilon _{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(1)}w_{1}{\text{d}}t+\cdots +\epsilon _{\mu }\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(1)}w_{\mu }{\text{d}}t+(\epsilon ,\epsilon _{1},\cdots ,\epsilon _{\mu })_{2}$

$\Delta I^{(2)}=0=\epsilon \int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(2)}w{\text{d}}t+\epsilon _{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(2)}w_{1}{\text{d}}t+\cdots +\epsilon _{\mu }\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(2)}w_{\mu }{\text{d}}t+(\epsilon ,\epsilon _{1},\cdots ,\epsilon _{\mu })_{2}$

.................................................

$\Delta I^{(\mu )}=0=\epsilon \int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(\mu )}w{\text{d}}t+\epsilon _{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(\mu )}w_{1}{\text{d}}t+\cdots +\epsilon _{\mu }\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(\mu )}w_{\mu }{\text{d}}t+(\epsilon ,\epsilon _{1},\cdots ,\epsilon _{\mu })_{2}$

利用最後 $\mu$ 個方程，如果行列式

$\left|\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(i)}w_{j}{\text{d}}t\right|_{i,j=1,2,\cdots ,\mu }$

不等於零，那麼對於足夠小的 $\epsilon _{1},\epsilon _{2},\ldots ,\epsilon _{\mu }$，我們可以將這些量表示為 $\epsilon$ 的收斂冪級數。

將這些冪級數代入 $\Delta I^{(0)}$ 後，使其具有以下形式

$\Delta I^{(0)}=\epsilon D+(\epsilon )_{2}$

其中

$D=\left|\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(i)}w_{j}{\text{d}}t\right|_{i,j=0,1,\cdots ,\mu ~{\text{and}}~w_{0}=w}$

為了使積分 $I^{(1)}$ 具有最大值或最小值，因此有必要

$D=$

此行列式展開後，可以寫成以下形式

$\int _{t_{0}}^{t_{1}}[\lambda _{0}G^{(0)}+\lambda _{1}G^{(1)}+\cdots +\lambda _{\mu }G^{(\mu )}]w{\text{d}}t=0$

其中 $\lambda _{i}$ 是 $\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(i)}w{\text{d}}t$ 在行列式 $D$ 中的第一子式。

因此，如同之前（參見第 79 條，那裡我們有 $G=0$），我們這裡有

$\lambda _{0}G^{(0)}+\lambda _{1}G^{(1)}+\cdots +\lambda _{\mu }G^{(\mu )}=0$

第 185 條.
類似地，如果在第 183 條中，我們將商 ${\frac {W_{10}^{(0)}}{W_{10}^{(1)}}}$ 表示為 $\lambda$，然後將 $W_{01}^{(0)}$ 和 $W_{01}^{(1)}$ 賦予其值，我們有

$\int _{t_{0}}^{t_{1}}(G^{(0)}-\lambda G^{(1)})w{\text{d}}t=0$

由此得出

$G^{(0)}-\lambda G^{(1)}$

我們可以證明一個關於常數 $\lambda$ 的非常重要的定理，即：- 它在整個曲線中具有相同的值；也就是說，我們始終具有相同的值 $\lambda$，無論我們可能改變曲線的哪一部分 $x=x(t),y=y(t)$。 考慮在一條直線上標出的 $t$ 的值，並假設常數 $\lambda$ 對於例如區間 $t_{2}\ldots t_{3}$ 具有確定的值，該區間也對應於曲線的某一部分。此值（見第 183 條）與曲線部分 $t_{2}\ldots t_{3}$ 變化的方式無關。接下來考慮一個包含區間 $t_{2}\ldots t_{3}$ 的區間 $t'\ldots t''$；那麼，對於區間 $t'\ldots t''$ 所有可能的變動，也包括使 $t'\ldots t_{2}$ 和 $t_{3}\ldots t''$ 保持不變，而只有 $t_{2}\ldots t_{3}$ 發生變化。由於 $\lambda$ 對於此區間具有確定的值，並且與曲線變化的方式無關，因此它必須在 $t'\ldots t''$ 具有相同的值。

第 186 條.
微分方程 $G^{(0)}-\lambda G^{(1)}=0$ 與我們要求積分

$\int _{t_{0}}^{t_{1}}f(x,y,x',y'){\text{d}}t$

具有最大值或最小值時相同，其中用 $F$ 表示函式

$F^{(0)}-\lambda F^{(1)}$

透過該微分方程 (參見第 90 條) ;$x$ 和 $y$ 可以用 $t$ 和 $\lambda$ 以及兩個積分常數 $\alpha$ 和 $\beta$ 表示，形式如下

$x=\phi (t,\alpha ,\beta ,\lambda )\qquad y=\psi (t,\alpha ,\beta ,\lambda )$

當解確實存在時，由這些方程表示的曲線就是該問題的解。

第 187 條.
接下來，我們證明一個非常重要的定理，該定理通常可以作為判斷在一個變化不受限制的範圍內是否會發生方向突然變化的判據 (參見第 97 條)。假設在一個位置 $t=t'$，其中變化不受限制，發生了方向的突然變化。在 $t'$ 兩側取兩個點 $t_{1}$ 和 $t_{2}$，它們與 $t'$ 足夠接近，以至於在區間 $t_{1}\ldots t'$ 和 $t'\ldots t_{2}$ 中沒有類似的方向變化的不連續性。在所有可能的變化中，有一種變化使得整個曲線保持不變，除了區間 $t_{1}\ldots t_{2}$，當然，該區間以這樣一種方式變化，使得積分 $I^{(1)}$ 保持其值。積分 $I^{(0)}$ 的變化僅取決於積分和的變化

$\int _{t_{1}}^{t'}F^{(0)}(x,y,x',y'){\text{d}}t+\int _{t_{'}}^{t_{2}}F^{(0)}(x,y,x',y'){\text{d}}t$

我們透過編寫來改變拉伸 $t_{1}\ldots t_{2}$ 的變化

${\bar {\xi }}=\epsilon \xi +\epsilon _{1}\xi _{1}\qquad {\bar {\eta }}=\epsilon \eta +\epsilon _{1}\eta _{1}$

我們假設

(A)

$\xi ,\xi _{1},\eta ,\eta _{1}$ 當 $t=t_{1}$ 和 $t=t_{2}$ 時均為零

$\xi ,\xi _{1},\eta _{1}$ 當 $t=t_{1}$ 時為零

$\eta \neq 0$ 當 $t=t_{1}$

然後我們總是可以確定 $\epsilon _{1}$ 作為 $\epsilon$ 的冪級數，使得 $\Delta I^{(1)}=0$.

如果用 $\phi$ 表示形式為 $\phi ^{(0)}-\lambda \phi ^{(1)}$ 的表示式，則有 (Art. 79)

$\Delta I^{(0)}=\epsilon \int _{t_{1}}^{t'}Gw{\text{d}}t+epsilon\int _{t'}^{t_{2}}Gw{\text{d}}t+\epsilon \left[(\xi -\lambda \xi _{1}){\frac {\partial F}{\partial x'}}+(\eta -\lambda \eta _{1}){\frac {\partial F}{\partial y'}}\right]_{t_{1}}^{t'}+\epsilon \left[(\xi -\lambda \xi _{1}){\frac {\partial F}{\partial x'}}+(\eta -\lambda \eta _{1}){\frac {\partial F}{\partial y'}}\right]_{t'}^{t_{2}}+\epsilon (\epsilon )$

如果曲線 $x=x(t),y=y(t)$ 使積分 $I^{(0)}$ 最小化或最大化，則上述表示式右側 $\epsilon$ 的係數必須為零。由於 $G=0$ 對於無約束變分，從假設 (A) 可得出

$\eta _{t'}\left[\left({\frac {\partial F}{\partial y'}}\right)_{t'}^{-}-\left({\frac {\partial F}{\partial y'}}\right)_{t'}^{+}\right]=0$

如果在假設 (A) 中，我們假設對於 $t=t_{1}$，$\eta =0$ 且 $\xi \neq 0$，對於 $x'$，我們有類似的方程。

因此可得（參見第 97 條）

$\left[{\frac {\partial (F^{(0)}-\lambda F^{(1)})}{\partial x'}}\right]_{t'}^{-}=\left[{\frac {\partial (F^{(0)}-\lambda F^{(1)})}{\partial x'}}\right]_{t'}^{+}$

$\left[{\frac {\partial (F^{(0)}-\lambda F^{(1)})}{\partial y'}}\right]_{t'}^{-}=\left[{\frac {\partial (F^{(0)}-\lambda F^{(1)})}{\partial y'}}\right]_{t'}^{+}$

因此，我們有以下定理： *沿著滿足微分方程 $G=0$ 的曲線的自由變化位置，量 ${\frac {\partial F}{\partial x'}}$ 和 ${\frac {\partial F}{\partial y'}}$ 在任何地方以連續的方式變化，即使是在曲線的方向發生突然變化的位置也是如此。*

第 188 條.
顯然，如果我們假設 $\xi ,\eta ,\xi _{1},\eta _{1}$ 在這些點處消失，就可以避免所有這些不連續性。我們可以假設已經這樣做了。我們還可以對曲線施加許多其他限制；例如，曲線必須透過某些固定點，或者它必須包含某些給定的曲線部分，或者它必須穿過某個有限區域。在所有這些情況下，曲線上都存在一些點無法自由變化。但是，無論對曲線施加什麼條件，以下定理都是成立的。

所有可以自由變化的點，並且這樣的點總是存在的，必須滿足微分方程 $G^{(0)}-\lambda G^{(1)}=0$，並且對於所有這些點，常數 $\lambda$ 具有相同的值。

第 189 條.
*第二次變分。* 我們假設在極限和曲線上方向發生不連續的所有點的變分都消失。我們還假設變分 ${\bar {\xi }},{\bar {\eta }}$ 已被如此選擇，以使 $\Delta I^{(1)}=0$。

那麼我們有（參見第 115 條）

$\Delta I^{(0)}=\epsilon \delta I^{(0)}+{\frac {\epsilon ^{2}}{2}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left[F_{1}^{(0)}\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)^{2}+F_{2}^{(0)}w^{2}\right]{\text{d}}t+(\epsilon )_{3}$

$0=\epsilon \delta I^{(1)}+{\frac {\epsilon ^{2}}{2}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left[F_{1}^{(1)}\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)^{2}+F_{2}^{(1)}w^{2}\right]{\text{d}}t+(\epsilon )_{3}$

因此

$\Delta I^{(0)}=\epsilon [\delta I^{(0)}-\lambda \delta I^{(1)}]+{\frac {\epsilon ^{2}}{2}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left[F_{1}\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)^{2}+F_{2}w^{2}\right]{\text{d}}t+(\epsilon )_{3}$

由於

$\delta I^{(0)}-\lambda \delta I^{(1)}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}(G^{(0)}-\lambda G^{(1)})w{\text{d}}t=0$

則可以得到

$\Delta I^{(0)}={\frac {\epsilon ^{2}}{2}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left[F_{1}\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)^{2}+F_{2}w^{2}\right]{\text{d}}t+(\epsilon )_{3}$

最後一個積分可以立即寫成以下形式（第 119 節）

$\Delta I^{(0)}={\frac {\epsilon ^{2}}{2}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}F_{1}\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}-{\frac {w}{u}}{\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}\right)^{2}{\text{d}}t$

其中 $u$ 由微分方程（第 118 節）確定

$J=F_{1}{\frac {{\text{d}}^{2}u}{{\text{d}}t^{2}}}+{\frac {{\text{d}}F_{1}}{{\text{d}}t}}{\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}-F_{2}u=0$

以下是一個最大值或最小值存在的必要條件：對於曲線中所有自由變化的部分，$F_{1}$ 在第一種情況下必須處處為負，在第二種情況下必須處處為正，並且必須不同於 0 和 $\infty$。為了使積分的這種變換成為可能，方程 $J=0$ 必須能夠以一種方式積分，使得 $u$ 在所有自由變化的曲線部分上都不為零（第 128 條）。

在第十七章中，我們將確定這些三個必要條件是否也足以使積分 $I^{(1)}$ 具有最大值或最小值。透過下一章中的例子，我們還將證明，如果存在一條曲線，使得第一個積分具有最大值或最小值，而第二個積分保持一個給定的值，那麼這條曲線將透過三個條件來確定，這些條件與第 135 條中所述的條件相同。然後，${\mathcal {E}}$-函式的行為對於判斷實際上是否存在最大值或最小值至關重要。