變分法/第十八章

第十八章：證明前一章中假設的兩個定理。

230 本章證明的兩個定理是

1) 有可能在滿足問題微分方程的曲線的周圍構造一個空間部分，使得總是可以將此有限空間中的任何點與初始點透過一條且僅一條同樣滿足微分方程的曲線連線起來。

2) 函式

{\mathcal {E}}

不能在這樣的空間部分內的整條曲線上消失。

231 空間中曲線的方程。座標用冪級數表示。
232 透過其初始點和初始方向確定的曲線。兩條曲線透過同一個初始點且初始方向相差給定小量的條件。
233 其中一條曲線透過另一條曲線上某點的鄰域中的點的條件。由這些條件產生的行列式 $D(t_{0},t)$ 。
234 與此行列式相關的共軛點。
235 其中端點互為共軛點的情況。
236 微分方程 $G=0$ 和行列式 $D(t_{0},t)$ 。
237 行列式 $D(t_{0},t)$ 的簡化。
238,239,240,241,242 行列式 $D(t_{0},t)$ 在消失時改變符號。
241 一個例外情況。
243 與初始點共軛的點是透過初始點的鄰近曲線的交點的極限。
244 當在行列式 $D(t_{0},t)$ 中，量 $t_{0}$ 以連續的方式變化時，與 $t_{0}$ 共軛的點也以連續的方式變化。
245,246,247,248 證明定理：包括共軛點的曲線部分可以如此變化，使得其中一個積分的總變化可以是正數或負數，而另一個積分保持不變。
249,250,251,252 函式 ${\mathcal {E}}$ 不能在上述定義的空間部分內的整條曲線上消失。
253,254,255,256 等周問題情況下， ${\mathcal {E}}$ -函式。
256,257 重心最低的曲線情況下， ${\mathcal {E}}$ -函式。

第230條.
本章給出了以下定理的證明

$1^{\circ }$ . 有可能在滿足問題微分方程的曲線的周圍構造一個空間部分，使得總是可以將此有限空間中的任何點與初始點透過一條且僅一條同樣滿足微分方程的曲線連線起來。

$2^{\circ }$ . 函式 ${\mathcal {E}}$ 不能在這樣的空間部分內的整條曲線上消失。

設滿足微分方程的曲線的座標 $x,y$ 可以用一個引數 $t$ 的函式表示。這些函式包含三個任意常數：兩個積分常數 $\alpha$ 和 $\beta$ ，以及一個常數 $\lambda$ 。如果 $x,y$ 和 $z$ 是空間中對應點的座標，我們有

1)\qquad x=\phi (t,\alpha ,\beta ,\lambda )\qquad y=\psi (t,\alpha ,\beta ,\lambda )\qquad z=\int _{t_{0}}^{t_{1}}F^{(1)}(x,y,x',y'){\text{d}}t

其中 $t=t_{0}$ 對應於點 ${\bar {0}}$ 。透過改變這三個常數，我們在空間中得到了另一條曲線。要求這條新曲線的投影經過點 ${\bar {0}}$ ，這將在常數 $\alpha ,\beta ,\lambda ,t_{0}+\tau _{0}$ 的增量 $\alpha ',\beta ',\lambda ',\tau _{0}$ 之間建立兩個關係式，其中 $t_{0}+\tau _{0}$ 是新方程中對應於點 ${\bar {0}}$ 的 $t$ 值。

第 231 條.
空間中新曲線的方程是

2)

x+\xi =\phi (t+\tau ,\alpha +\alpha ',\beta +\beta ',\lambda +\lambda ')

y+\eta =\psi (t+\tau ,\alpha +\alpha ',\beta +\beta ',\lambda +\lambda ')

z+\zeta =\int _{t_{0}+\tau _{0}}^{t+\tau }F^{(1)}\left(x+\xi ,t+\eta ,x'+{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}},y'+{\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}\right){\text{d}}t

並且，如果 $x_{0},y_{0}$ 是 ${\bar {0}}$ 的座標，

3)

x_{0}=\phi (t_{0}+\tau _{0},\alpha +\alpha ',\beta +\beta ',\lambda +\lambda ')

y_{0}=\psi (t_{0}+\tau _{0},\alpha +\alpha ',\beta +\beta ',\lambda +\lambda ')

這些方程表示對於 $\tau _{0},\alpha ',\beta ',\lambda '$ 的足夠小的值，滿足最後兩個方程，所有滿足微分方程並在 $xy$ 平面上投影的初始方向上與原始曲線的投影的初始方向相差很小的空間曲線。

我們可以用 $\lambda '$ 的冪級數和兩個初始方向相互形成的角度的正切來表示 $\tau _{0},\alpha '$ 和 $\beta '$ 。如果這個正切表示為 $k$ ，我們有，如第 148 條，

[\phi '(t_{0})^{2}+\psi '(t_{0})^{2}]k

\qquad =[\psi '(t_{0})\phi ''(t_{0})-\phi '(t_{0})\psi ''(t_{0})]\tau _{0}+[\psi '(t_{0})\phi _{1}'(t_{0})-\phi '(t_{0})\psi _{1}'(t_{0})]\alpha '+[\psi '(t_{0})\phi _{2}'(t_{0})-\phi '(t_{0})\psi _{2}'(t_{0})]\beta '

$\qquad \qquad +[\psi '(t_{0})\phi _{3}'(t_{0})-\phi '(t_{0})\psi _{3}'(t_{0})]\lambda '+[\tau _{0},\alpha ',\beta ',\lambda ']_{2}$

其中 $\phi _{3}={\frac {\partial \phi }{\partial \lambda }},\psi _{3}={\frac {\partial \psi }{\partial \lambda }}$ .

第 232 條.
由於兩條曲線要經過相同的初始點，我們還有

5)

0=\phi '(t_{0})\tau _{0}+\phi _{1}(t_{0})\alpha '+\phi _{2}(t_{0})\beta '+\phi _{3}(t_{0})\lambda '+[\tau _{0},\alpha ',\beta ',\lambda ']_{2}

0=\psi '(t_{0})\tau _{0}+\psi _{1}(t_{0})\alpha '+\psi _{2}(t_{0})\beta '+\psi _{3}(t_{0})\lambda '+[\tau _{0},\alpha ',\beta ',\lambda ']_{2}

等式 4）和 5）右邊線性項的行列式為

{\begin{vmatrix}\psi '(t_{0})\phi ''(t_{0})-\phi '(t_{0})\psi ''(t_{0})&\psi '(t_{0})\phi _{1}'(t_{0})-\phi '(t_{0})\psi _{1}'(t_{0})&\psi '(t_{0})\phi _{2}'(t_{0})-\phi '(t_{0})\psi _{2}'(t_{0})\\\phi '(t_{0})&\phi _{1}(t_{0})&\phi _{2}(t_{0})\\\psi '(t_{0})&\psi _{1}(t_{0})&\psi _{2}(t_{0})\end{vmatrix}}

在這個行列式中，我們寫

6)\qquad \theta _{v}(t)=\psi '(t)\phi _{v}(t)-\phi '(t)\psi _{v}(t)\qquad (v=1,2,3)

如果我們將第二行乘以 $\psi ''(t_{0})$ ，第三行乘以 $-\phi ''(t_{0})$ ，並將兩者加到第一行，則行列式可以寫成

{\begin{vmatrix}0&\theta _{1}'(t_{0})&\theta _{2}'(t_{0})\\\phi '(t_{0})&\phi _{1}(t_{0})&\phi _{2}(t_{0})\\\psi '(t_{0})&\psi _{1}(t_{0})&\psi _{2}(t_{0})\end{vmatrix}}

或者

\theta _{2}(t_{0})\theta _{1}'(t_{0})-\theta _{1}(t_{0})\theta _{2}'(t_{0})

我們將稍後看到，這個量不為零 [參見第 237 節中方程 13) 的第三個方程]。

因此，我們可以用 $\tau _{0},\alpha ',\beta '$ 表示 $k,\lambda '$ 的冪級數，以便對於任何一對值 $k,\lambda '$ ，只要它們足夠小，都對應著空間中的一條曲線。

從微分方程可以類似於第 149 條中所示的方式得出，對於一對值 $k,\lambda '$ ，只有一條曲線與之對應，並且每條曲線都完全由初始點和初始方向決定。因此，我們得出與第 149 條相同的結論，即方程 4) 和 5) 為我們提供了所有與原始曲線相鄰的曲線，這些曲線與原始曲線具有相同的端點，並滿足微分方程。

第 233 條.
現在我們必須選擇常數，以便空間中新的曲線將透過點 $x+\xi ,y+\eta ,z+\zeta$ ，該點位於舊曲線上任何點 $x,y,z$ 的鄰域內。如果我們給 / 一個確定的值，併為 $\xi ,\eta ,\zeta$ 取足夠小的值，則以下方程必須滿足

7)

0=\qquad \phi '(t_{0})\tau _{0}+\phi _{1}(t_{0})\alpha '+\phi _{2}(t_{0})\beta '+\phi _{3}(t_{0})\lambda '+(\tau _{0},\alpha ',\beta ',\lambda ')_{2}

0=\qquad \psi '(t_{0})\tau _{0}+\psi _{1}(t_{0})\alpha '+\psi _{2}(t_{0})\beta '+\psi _{3}(t_{0})\lambda '+(\tau _{0},\alpha ',\beta ',\lambda ')_{2}

\xi =\phi '(t)\tau \qquad +\phi _{1}(t)\alpha '+\phi _{2}(t)\beta '+\phi _{3}(t)\lambda '+(\tau _{0},\alpha ',\beta ',\lambda ')_{2}

\eta =\psi '(t)\tau \qquad +\psi _{1}(t)\alpha '+\psi _{2}(t)\beta '+\psi _{3}(t)\lambda '+(\tau _{0},\alpha ',\beta ',\lambda ')_{2}

\zeta ={\frac {\partial F^{(1)}}{\partial x'}}\xi +{\frac {\partial F^{(1)}}{\partial y'}}\eta +\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(1)}(y'\xi -x'\eta ){\text{d}}t+(\tau _{0},\alpha ',\beta ',\lambda ')_{2}

但是

y'\xi -x'\eta =\theta _{1}(t)\alpha '+\theta _{2}(t)\beta '+\theta _{3}(t)\lambda '+(\tau _{0},\alpha ',\beta ',\lambda ')_{2}

因此，如果我們寫

8)\qquad \Theta _{v}(t_{0},t)=\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(1)}\theta _{v}(t){\text{d}}t\qquad (v=1,2,3)

那麼

9)\qquad \zeta ={\frac {\partial F^{(1)}}{\partial x'}}\xi +{\frac {\partial F^{(1)}}{\partial y'}}\eta +\Theta _{1}(t,t_{0})\alpha '+\Theta _{2}(t,t_{0})\beta '+\Theta _{3}(t,t_{0})\lambda '+(\tau _{0},\alpha ',\beta ',\lambda ')_{2}

如果我們用 $\xi$ 和 $\eta$ 在 $\tau ,\alpha ',\beta ',\lambda '$ 的冪級數代替方程式 9) 中的 $\xi$ 和 $\eta$ ，方程式 8) 和 9) 右側的線性項的行列式在經過微小的變換後變為

D(t_{0},t)={\begin{vmatrix}\phi '(t_{0})&0&\phi _{1}(t_{0})&\phi _{2}(t_{0})&\phi _{3}(t_{0})\\\psi '(t_{0})&0&\psi _{1}(t_{0})&\psi _{2}(t_{0})&\psi _{3}(t_{0})\\0&\phi '(t)&\phi _{1}(t)&\phi _{2}(t)&\phi _{3}(t)\\0&\psi '(t)&\psi _{1}(t)&\psi _{2}(t)&\psi _{3}(t)\\0&0&\Theta _{1}(t_{0},t)&\Theta _{2}(t_{0},t)&\Theta _{3}(t_{0},t)\end{vmatrix}}

我們假設這個行列式對於 $t$ 的任意值都不為零。這種情況下，以及由此推匯出的公式，我們將作為未來研究的例外情況。

第 234 條.
我們稱 $t_{0}$ 之後第一個使 $D(t_{0},t)$ 為零的 $t$ 為 $t_{0}$ 的 _共軛_。

因此，如果積分的上限 $t_{1}$ 在 $t_{0}$ 的共軛點之前，曲線就可以包圍具有所需性質的空間的一部分。

在這種情況下，如果 $\xi ,\eta ,\zeta$ 被選擇得足夠小，則總是可以將 $\tau ,\tau _{0},\alpha ',\beta ',\lambda '$ 表示為 $\xi ,\eta ,\zeta$ 的冪級數，因此可以構建一條且僅有一條滿足微分方程的空間曲線，該曲線經過點 ${\bar {0}}$ 和點 $x+\xi ,y+\eta ,z+\zeta$ ，並且其位置與原始曲線相差任意小。對於這些不同的空間曲線，對應著不同的函式 $D(t_{0},t)$ 。然而，如果這些曲線足夠接近原始曲線，則對應於它們的函式 $D$ 在它們上的任何點都不會消失，因此可以透過這些曲線上的任何點的足夠小的鄰域中的任何點繪製一條從 ${\bar {0}}$ 出發的曲線，該曲線滿足微分方程。

第 235 條.
剩下的問題是要證明，如果與 $t_{0}$ 共軛的點位於 $t_{0}$ 和 $t_{1}$ 之間，積分值不會出現最大值或最小值。

由於點 ${\bar {0}}$ 可以選擇得任意接近 0，並且由於與 $t$ 共軛的點隨 $t_{0}$ 連續變化，只需要證明 $t_{1}$ 不能位於 0 和與其共軛的點之間。然後我們證明了除 $t_{1}$ 與 0 的共軛點重合的情況以外的所有情況。這種情況我們必須再次進行特殊調查，因為曲線可能出現最大值或最小值，也可能不出現（參見第 132 條）。

要嚴格證明上述內容，需要對函式 $D(t_{0},t)$ 進行深入研究。

第 236 條.
透過常數變化得到的空間曲線，由其在點 ${\bar {0}}$ 處的投影的初始方向以及必須滿足的微分方程 $G^{(0)}-(\lambda -\lambda ')G^{(1)}=0$ 所確定。由此，也可以推斷函式 $D(t_{0},t)$ 的性質。

我們執行 $G^{(0)}-\lambda G^{(1)}$ 在 $\alpha ,\beta ,\lambda$ 發生變化 $\alpha ',\beta ',\lambda '$ 時所發生的改變。方程 $G^{(0)}-\lambda G^{(1)}$ 必須對於 $\alpha ',\beta ',\lambda '$ 的任意值都為零。

我們有

\Delta G=G^{(0)}(x+\xi ,y+\eta )-G^{(0)}(x,y)-\lambda [G^{(1)}(x+\xi ,y+\eta )-G^{(1)}(x,y)]-\lambda 'G^{(1)}(x,y)

與第 133 頁公式 (b) 中所述類似，我們有

G^{(0)}(x+\xi ,y+\eta )-G^{(0)}(x,y)=F_{2}^{(0)}(y'\xi -x'\eta )-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}^{(0)}{\frac {{\text{d}}(y'\xi -x'\eta )}{{\text{d}}t}}\right)+\left(\xi ,\eta ,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}},{\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}\right)_{2}

G^{(1)}(x+\xi ,y+\eta )-G^{(1)}(x,y)=F_{2}^{(1)}(y'\xi -x'\eta )-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}^{(1)}{\frac {{\text{d}}(y'\xi -x'\eta )}{{\text{d}}t}}\right)+\left(\xi ,\eta ,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}},{\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}\right)_{2}

因此

\Delta G=F_{2}(y'\xi -x'\eta )-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {{\text{d}}(y'\xi -x'\eta )}{{\text{d}}t}}\right)-\lambda 'G^{(1)}+\left(\xi ,\eta ,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}},{\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}\right)_{2}

將 $y'\xi -x'\eta$ 在 $\tau ,\alpha ',\beta ',\lambda '$ 冪級數展開後的第一維項為

\theta _{1}(t)\alpha '+\theta _{2}(t)\beta '+\theta _{3}(t)\lambda '

用 ${\bar {w}}$ 表示。那麼我們有

11)\qquad -{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {{\text{d}}{\bar {w}}}{{\text{d}}t}}\right)+F_{2}{\bar {w}}-\lambda 'G^{(1)}(x,y)+(\tau ,\alpha ',\beta ',\lambda ')_{2}

由於這個量對於 $\alpha ',\beta ',\lambda '$ 的任意值必須為零，因此該表示式在展開為冪級數時，各個項的係數必須為零。如果我們只考慮線性項，並在不產生混淆的情況下使用函式自身表示函式，則有以下三個微分方程

12)

F_{1}{\frac {{\text{d}}^{2}\theta _{1}}{{\text{d}}t^{2}}}+{\frac {{\text{d}}F_{1}}{{\text{d}}t}}{\frac {{\text{d}}\theta _{1}}{{\text{d}}t}}-F_{2}\theta _{1}=0

F_{1}{\frac {{\text{d}}^{2}\theta _{2}}{{\text{d}}t^{2}}}+{\frac {{\text{d}}F_{1}}{{\text{d}}t}}{\frac {{\text{d}}\theta _{2}}{{\text{d}}t}}-F_{2}\theta _{2}=0

F_{1}{\frac {{\text{d}}^{2}\theta _{3}}{{\text{d}}t^{2}}}+{\frac {{\text{d}}F_{1}}{{\text{d}}t}}{\frac {{\text{d}}\theta _{3}}{{\text{d}}t}}-F_{2}\theta _{3}-G^{(1)}=0

如果我們用 $\theta _{3}$ 乘第一個方程，用 $-\theta _{1}$ 乘第二個方程，並將結果相加，得到

{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left[F_{1}\left(\theta _{3}{\frac {{\text{d}}\theta _{1}}{{\text{d}}t}}-\theta _{1}{\frac {{\text{d}}\theta _{3}}{{\text{d}}t}}\right)\right]=\theta _{1}G^{(1)}

類似地，如果我們用 $\theta _{3}$ 乘第二個方程，用 $-\theta _{2}$ 乘第三個方程，然後將結果相加，得到

{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left[F_{1}\left(\theta _{3}{\frac {{\text{d}}\theta _{2}}{{\text{d}}t}}-\theta _{2}{\frac {{\text{d}}\theta _{3}}{{\text{d}}t}}\right)\right]=\theta _{2}G^{(1)}

最後，如果我們將第一個等式乘以 $\theta _{2}$ ，並將第二個等式乘以 $-\theta _{1}$ ，然後相加，我們得到：

{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left[F_{1}\left(\theta _{2}{\frac {{\text{d}}\theta _{1}}{{\text{d}}t}}-\theta _{1}{\frac {{\text{d}}\theta _{2}}{{\text{d}}t}}\right)\right]=0

第 237 條.
從這些等式可以得出：

13)

\Theta _{1}(t_{0},t)=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\theta _{1}G^{(1)}{\text{d}}t=\left[F_{1}\left(\theta _{3}{\frac {{\text{d}}\theta _{1}}{{\text{d}}t}}-\theta _{1}{\frac {{\text{d}}\theta _{3}}{{\text{d}}t}}\right)\right]_{t_{0}}^{t}

\Theta _{2}(t_{0},t)=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\theta _{2}G^{(1)}{\text{d}}t=\left[F_{1}\left(\theta _{3}{\frac {{\text{d}}\theta _{2}}{{\text{d}}t}}-\theta _{2}{\frac {{\text{d}}\theta _{3}}{{\text{d}}t}}\right)\right]_{t_{0}}^{t}

F_{1}\left(\theta _{2}{\frac {{\text{d}}\theta _{1}}{{\text{d}}t}}-\theta _{1}{\frac {{\text{d}}\theta _{2}}{{\text{d}}t}}\right)=C

常數 $C$ 不能為零；否則我們會得到

{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}{\big (}\log \theta _{1}{\big )}={\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}{\big (}\log \theta _{2}{\big )}

或 $\theta _{1}=C_{1}\theta _{2}$ .

但是，很容易看出，行列式 $D(t_{0},t)$ 可以寫成以下形式

14)\qquad D(t_{0},t)={\begin{vmatrix}\theta _{1}(t_{0})&\theta _{2}(t_{0})&\theta _{3}(t_{0})\\\theta _{1}(t)&\theta _{2}(t)&\theta _{3}(t)\\\Theta _{1}(t_{0},t)&\Theta _{2}(t_{0},t)&\Theta _{3}(t_{0},t)\end{vmatrix}}

如果 $\theta _{1}(t)=C_{1}\theta _{2}(t)$ ，那麼也應該有 $\Theta _{1}(t_{0},t)=C_{1}\Theta _{2}(t_{0},t)$ ，行列式 $D(t_{0},t)$ 將會消失，因為有兩列只差一個常數因子；而這是對於 $t$ 的任意值都成立，而這種情況已經被我們排除。因此，常數 $C$ 不能為零。

第 238 條.
接下來我們證明行列式 $D(t_{0},t)$ 在它消失時會改變符號。我們有

15)\qquad {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}D(t_{0},t)={\begin{vmatrix}\theta _{1}(t_{0})&\theta _{2}(t_{0})&\theta _{3}(t_{0})\\\theta _{1}(t)&\theta _{2}(t)&\theta _{3}(t)\\{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\Theta _{1}(t_{0},t)&{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\Theta _{2}(t_{0},t)&{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\Theta _{3}(t_{0},t)\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}\theta _{1}(t_{0})&\theta _{2}(t_{0})&\theta _{3}(t_{0})\\\theta _{1}'(t)&\theta _{2}'(t)&\theta _{3}'(t)\\\Theta _{1}(t_{0},t)&\Theta _{2}(t_{0},t)&\Theta _{3}(t_{0},t)\end{vmatrix}}

由於 8)，我們有

{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\Theta _{v}(t_{0},t)=G^{(1)}\theta _{v}(t)

因此第一個行列式消失，剩下

{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}D(t_{0},t)={\begin{vmatrix}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\Theta _{1}(t_{0},t)&{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\Theta _{2}(t_{0},t)&{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\Theta _{3}(t_{0},t)\\\theta _{1}(t_{0})&\theta _{2}(t_{0})&\theta _{3}(t_{0})\\\theta _{1}'(t)&\theta _{2}'(t)&\theta _{3}'(t)\\\end{vmatrix}}

我們引入以下符號

16)

f_{1}(t)=\theta _{2}(t_{0})\theta _{3}(t)-\theta _{3}(t_{0})\theta _{2}(t)

f_{2}(t)=\theta _{3}(t_{0})\theta _{1}(t)-\theta _{1}(t_{0})\theta _{3}(t)

f_{3}(t)=\theta _{1}(t_{0})\theta _{2}(t)-\theta _{2}(t_{0})\theta _{1}(t)

然後我們可以寫成

D(t_{0},t)=\sum _{v=1}^{v=3}f_{v}(t)\Theta _{v}(t_{0},t)

{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}D(t_{0},t)=\sum _{v=1}^{v=3}f_{v}'(t)\Theta _{v}(t_{0},t)

因此

17)\qquad f_{3}(t){\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}D(t_{0},t)-f_{3}'(t)D(t_{0},t)=[f_{3}(t)f_{1}'(t)-f_{1}(t)f_{3}'(t)]\Theta _{1}(t_{0},t)+[f_{3}(t)f_{2}'(t)-f_{2}(t)f_{3}'(t)]\Theta _{2}(t_{0},t)

或者

18)\qquad {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}{\frac {D(t_{0},t)}{f_{3}(t)}}={\frac {[f_{3}(t)f_{1}'(t)-f_{1}(t)f_{3}'(t)]\Theta _{1}(t_{0},t)+[f_{3}(t)f_{2}'(t)-f_{2}(t)f_{3}'(t)]\Theta _{2}(t_{0},t)}{[f_{3}(t)]^{2}}}

第 239 條.
上述表示式右端的分子的值等於 $F_{1}$ 乘以某個表示式的平方，我們現在將確定這個表示式。

讓我們寫出

19)\qquad E={\begin{vmatrix}\theta _{1}(t_{0})&\theta _{2}(t_{0})&\theta _{3}(t_{0})\\\theta _{1}(t)&\theta _{2}(t)&\theta _{3}(t)\\\theta _{1}'(t)&\theta _{2}'(t)&\theta _{3}'(t)\end{vmatrix}}=\theta _{1}'(t)f_{1}(t)+\theta _{2}'(t)f_{2}(t)+\theta _{3}'(t)f_{3}(t)

從 16) 立即得出

19^{a})\qquad 0=\theta _{1}(t)f_{1}(t)+\theta _{2}(t)f_{2}(t)+\theta _{3}(t)f_{3}(t)

因此

20)\theta _{2}(t_{0})E=[\theta _{1}'(t)\theta _{2}(t_{0})-\theta _{2}'(t)\theta _{1}(t_{0})]f_{1}(t)+[\theta _{3}'(t)\theta _{2}(t_{0})-\theta _{2}'(t)\theta _{3}(t_{0})]f_{3}(t)=f_{3}(t)f_{1}'(t)-f_{1}(t)f_{3}'(t)

類似地，我們有

21)-\theta _{1}(t_{0})E=f_{3}(t)f_{2}'(t)-f_{2}(t)f_{3}'(t)

因此，表示式 18) 可以寫成

22)\qquad {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}{\frac {D(t_{0},t)}{f_{3}(t)}}=E{\frac {\theta _{2}(t_{0})\Theta _{1}(t_{0},t)-\theta _{1}(t_{0})\Theta _{2}(t_{0},t)}{[f_{3}(t)]^{2}}}

但由於關係 13)

\Theta _{1}(t_{0},t)={\Big [}F_{1}\left(\theta _{3}(t)\theta _{1}'(t)-\theta _{1}(t)\theta _{3}'(t)\right){\Big ]}_{t_{0}}^{t}

\Theta _{2}(t_{0},t)={\Big [}F_{1}\left(\theta _{3}(t)\theta _{2}'(t)-\theta _{2}(t)\theta _{3}'(t)\right){\Big ]}_{t_{0}}^{t}

那麼

\theta _{2}(t_{0}\Theta _{1}(t_{0},t)-\theta _{1}(t_{0}\Theta _{2}(t_{0},t)={\Big [}F_{1}\theta _{3}(t)\left(\theta _{2}(t)\theta _{1}'(t)-\theta _{1}(t)\theta _{2}'(t)\right){\Big ]}_{t_{0}}^{t}-{\Big [}F_{1}\theta _{3}(t)\left(\theta _{2}(t)\theta _{1}'(t)-\theta _{1}(t)\theta _{2}'(t)\right){\Big ]}_{t_{0}}^{t}

第 240 條.
此外，我們有

{\Big [}F_{1}\theta _{3}(t)\left(\theta _{2}(t)\theta _{1}'(t)-\theta _{1}(t)\theta _{2}'(t)\right){\Big ]}_{t_{0}}^{t}={\Big [}F_{1}\left(\theta _{2}(t)\theta _{1}'(t)-\theta _{1}(t)\theta _{2}'(t)\right){\Big ]}_{t_{0}}^{t}\theta _{3}(t_{0})+F_{1}\theta _{3}(t)\left(\theta _{2}(t_{0})\theta _{1}'(t)-\theta _{1}(t_{0})\theta _{2}'(t)\right)-F_{1}\theta _{3}(t_{0})\left(\theta _{2}(t)\theta _{1}'(t)-\theta _{1}(t)\theta _{2}'(t)\right)

但由於 13) 中的第三個關係式，表示式 $F_{1}[\theta _{2}(t)\theta _{1}'(t)-\theta _{1}(t)\theta _{2}'(t)]$ 與 $t$ 無關，因此右手邊的第一個項為零，因此

23)\qquad \theta _{2}(t_{0})\Theta _{1}(t_{0},t)-\theta _{1}(t_{0})\Theta _{2}(t_{0},t)=F_{1}(t){\begin{vmatrix}\theta _{1}(t_{0})&\theta _{2}(t_{0})&\theta _{3}(t_{0})\\\theta _{1}(t)&\theta _{2}(t)&\theta _{3}(t)\\\theta _{1}'(t)&\theta _{2}'(t)&\theta _{3}'(t)\end{vmatrix}}=F_{1}E

因此，方程 22) 變為

{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}{\frac {D(t_{0},t)}{f_{3}(t)}}={\frac {F_{1}(t)E^{2}}{[f_{3}(t)]^{2}}}

第 241 條.
假設 $D(t_{0},t)$ 在值 $t=t'$ 時為 $k$ 階零點，因此 $D(t_{0},t)$ 的展開式以 $t-t'$ 的 $k$ 次冪開始。

如果 $f_{3}(t)$ 在 $t=t'$ 時不為零，則

f_{3}(t){\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}D(t_{0},t)-f_{3}'(t)D(t_{0},t)

的展開式以 $(k-1)$ 次冪開始。但此表示式等於 $F_{1}E^{2}$ ，並且根據我們的假設， $F_{1}$ 在區間 $t_{0}\ldots t_{1}$ 內的任何點都不會變為零或無窮大，因此可以看出 $F_{1}E^{2}$ 一定以偶數冪開始。因此， $k-1$ 是一個偶數，因此 $k$ 是一個奇數，因此 $D(t_{0},t)$ 在消失時必須改變符號。

假設 $f_{3}(t)$ 在 $t=t'$ 處消失，則 $f_{3}'(t)$ 不能消失；因為從等式[參見16)]

\theta _{1}(t_{0})\theta _{2}'(t)-\theta _{2}(t_{0})\theta _{1}'(t)=0

\theta _{1}(t_{0})\theta _{2}'(t')-\theta _{2}(t_{0})\theta _{1}'(t')=0

可以得出，如果 $\theta _{1}(t_{0})$ 和 $\theta _{2}(t_{0})$ 不同時為零，則

\theta _{1}(t')\theta _{2}'(t')-\theta _{2}(t')\theta _{1}'(t')=0

但這個等式，以及 $\theta _{1}(t)$ 和 $\theta _{2}(t)$ 在值 $t=t_{0}$ 處的同時消失，與等式13)矛盾

F_{1}[\theta _{2}(t)\theta _{1}'(t)-\theta _{1}(t)\theta _{2}'(t)]=C

因為，正如我們所見， $C$ 不同於0，而 $F_{1}$ 既不為零也不為無窮大。

因此 $f_{3}(t)$ 和 $f_{3}'(t)$ 不會同時消失。如果 $f_{3}(t)$ 在 $t=t'$ 處消失，那麼 $f_{3}(t)$ 關於 $t-t'$ 的展開式以一次項開始。

因此，我們可以寫成

D(t_{0},t)=A(t-t')^{k}+\cdots \qquad f_{3}(t)=c(t-t')+\cdots

由此可知，

f_{3}(t){\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}D(t_{0},t)-f_{3}'(t)D(t_{0},t)

以以下項開始展開：

cA(k-1)-f_{3}'(t)D(t_{0},t)

除非 $k=1$ ，在這種情況下該項的係數為零。在這種情況下，什麼也沒有證明，但請參見下一篇文章。

對於 $k=1$ ，很明顯 $D(t_{0},t)$ 在消失時改變符號。

第 242 條.
接下來我們將證明，如果 $f_{3}(t)$ 消失， $E$ 只能在同時 $f_{1}(t)=0=f_{2}(t)$ 時為零。我們在前一篇文章中看到，量 $\theta _{1}(t_{0})$ 和 $\theta _{2}(t_{0})$ 不能同時為零。如果 $\theta _{1}(t_{0}){\overset {<}{>}}0$ ，那麼根據關係式 [公式 21] 可知

f_{3}(t)f_{2}'(t)-f_{2}(t)f_{3}'(t)=-\theta _{1}(t_{0})E

當 $E=0$ 且 $f_{3}(t)=0$ 時，也有 $f_{2}(t)=0$ ，以及從

0=\theta _{1}(t_{0})f_{1}(t)+\theta _{2}(t_{0})f_{2}(t)+\theta _{3}(t_{0})f_{3}(t)

可以看出 $f_{1}(t)=0$ .

類似地，當 $\theta _{2}(t_{0}){\overset {<}{>}}0$ 時，從方程

f_{3}(t)f_{1}'(t)-f_{1}(t)f_{3}'(t)=\theta _{2}(t_{0})E

可以看出 $f_{1}(t)=0$ ，如果 $E=0=f_{3}(t)$ ，因此，也有 $f_{2}(t)=0$ .

但如果 $E$ 在 $t=t'$ 時不消失，那麼 $k=0$ ，因此， $D(t_{0},t)$ 在 $t=t'$ 時不消失。因此，我們已經證明 D(io i) 在 $D(t_{0},t)$ 時不消失。因此，D(to, /) 在消失時改變符號，除非我們同時有

f_{1}(t)=0=f_{2}(t)=f_{3}(t)

在這種情況下，尚未證明它是否改變符號。因此，我們必須分別考慮每種情況（見第 255 條）。

第 243 條.
如果我們假設 $f_{1}(t),f_{2}(t),f_{3}(t)$ 中至少一個量不等於零，我們可以給出共軛點的幾何意義。

當常數 $\alpha ,\beta ,\lambda$ 增加 $\alpha ',\beta ',\lambda '$ 時，空間中會產生新的曲線。這些曲線中的一條與原始曲線在點 $t''$ 相交的條件是[見方程式 7）和 9）] 透過以下方程式表達

25)

0=\phi '(t_{0})\tau _{0}+\phi _{1}(t_{0})\alpha '+\phi _{2}(t_{0})\beta '+\phi _{3}(t_{0})\lambda '+(\tau _{0},\alpha ',\beta ',\lambda ')_{2}

\

0=\psi '(t_{0})\tau _{0}+\psi _{1}(t_{0})\alpha '+\psi _{2}(t_{0})\beta '+\psi _{3}(t_{0})\lambda '+(\tau _{0},\alpha ',\beta ',\lambda ')_{2}

0=\phi '(t'')\tau +\phi _{1}(t'')\alpha '+\phi _{2}(t'')\beta '+\phi _{3}(t'')\lambda '+(\tau _{0},\alpha ',\beta ',\lambda ')_{2}

0=\psi '(t'')\tau +\psi _{1}(t'')\alpha '+\psi _{2}(t'')\beta '+\psi _{3}(t'')\lambda '+(\tau _{0},\alpha ',\beta ',\lambda ')_{2}

0=\qquad \Theta _{1}(t_{0},t)\alpha '+\Theta _{2}(t_{0},t)\beta '+\Theta _{3}(t_{0},t)\lambda '+(\tau _{0},\alpha ',\beta ',\lambda ')_{2}

或者，如果我們消去 $\tau _{0}$ 和 $\tau$ ，

0=\theta _{1}(t_{0})\alpha '+\theta _{2}(t_{0})\beta '+\theta _{3}(t_{0})\lambda '+(\alpha ',\beta ',\lambda ')_{2}

0=\theta _{1}(t'')\alpha '+\theta _{2}(t'')\beta '+\theta _{3}(t'')\lambda '+(\alpha ',\beta ',\lambda ')_{2}

0=\Theta _{1}(t_{0},t)\alpha '+\Theta _{2}(t_{0},t)\beta '+\Theta _{3}(t_{0},t)\lambda '+(\alpha ',\beta ',\lambda ')_{2}

消去 $\alpha '$ 和 $\beta '$ 得

26)\qquad 0=D(t_{0},t'')\lambda '+(\lambda ')_{2}

或

0=D(t_{0},t'')\lambda '+(\lambda ')

如果 $D(t_{0},t'')$ 不等於零，我們可以取 $\lambda '$ 為任意小的極限值，使得對於所有絕對值小於該極限值的 $\lambda '$ ，我們總有

|D(t_{0},t'')|>|(\lambda ')|

因此，找不到任何 $t'$ 值滿足方程 26）。

如果 $t'$ 是一個確定的 $t''$ 值，使得 $D(t_{0},t'')$ 不等於零，那麼在一定區間 $t'-\tau _{1},\ldots ,t'+\tau _{2}$ 內不會有 $t''$ 值滿足方程 26）。因此，在所有空間曲線中，對於 $\alpha ',\beta ',\lambda '$ 具有足夠小值的曲線，沒有一條曲線在 $t'$ 附近與原始曲線相交。

然而，如果我們取 $t''$ 為包含 $t'$ （與 $t_{0}$ 共軛）的區間 $t'-\tau \ldots t'+\tau$ ，那麼情況就完全不同了，因為在此區間內， $D(t_{0},t'')=0$ 。因為當 $t''=t'-\tau$ 和 $t''=t'+\tau$ 時， $D(t_{0},t'')$ 具有相反的符號。因此，在確定了任意小的值 $\tau$ 之後，我們總是可以選擇一個足夠小的 $\lambda '$ ，使得

D(t_{0},t'')+(\lambda ')

在 $t''=t'-\tau$ 和 $t''=t'+\tau$ 具有相反的符號，因此在這個區間內將會有一個 $t''$ 值滿足方程

D(t_{0},t'')+(\lambda ')=0

。

因此，如果我們以點 ${\bar {0}}$ 為中心，在其附近限制一個無限小的區間，並對 $\alpha ',\beta ',\lambda '$ 取任意小的上限，則在所有可接受的曲線中，總存在一些曲線從 ${\bar {0}}$ 出發，並在該區間內與原始曲線相交。事實上，如果 $\alpha ',\beta ',\lambda '$ 小於某個特定值，則所有空間曲線，其 $\alpha ',\beta ',\lambda '$ 的值不超過該固定值，且經過點 ${\bar {0}}$ ，都會在這個區間內與原始曲線相交。這個 $\alpha ',\beta ',\lambda '$ 的上限會隨著該區間的無限縮小而無限縮小，因此，可以將與 ${\bar {0}}$ 共軛的點定義為相鄰曲線交點趨近的點。

第244條.
類似地，我們可以證明，在一個非與 ${\bar {0}}$ 共軛的空間曲線點附近，可以取任意小的空間區域，且當 $\alpha ',\beta ',\lambda '$ 取得足夠小時，空間曲線中與 ${\bar {0}}$ 共軛的點不會位於該有限空間區域內；但是，當我們在與 ${\bar {0}}$ 共軛的點附近限制一個任意小的空間區域時，空間曲線中與 ${\bar {0}}$ 共軛的點，在 $\alpha ',\beta ',\lambda '$ 足夠小時，都會位於該區間內。

因此，如果在 $D(t_{0},t)$ 中，量 $t_{0}$ 以連續方式變化，第一個使 $D(t_{0},t)$ 消失的 $t$ 值，也以連續方式變化。這可以直接從

D(t_{0}+\tau ,t)=D(t_{0},t)+(\tau ,t)

得出，其中 $(\tau ,t)$ 隨著 $\tau$ 無限減小，對於所有 $t$ 值都成立。

對於 $t=t'-\tau$ 和 $t=t'+\tau$ ，其中 $t'$ 是點 $t_{0}$ 的共軛點，函式 $D(t_{0},t)$ 具有不同的符號，無論 $\tau$ 多麼小；如果我們取足夠小的 t，則 $D(t_{0},t)+(\tau ,t)$ 對於 $t=t'-\tau$ 和 $t=t'+\tau$ 具有不同的符號，因此必須在區間 $t'-\tau \ldots t'+\tau$ 內的某個 $t$ 值消失。因此，共軛點的變化在 $t_{0}$ 的增量足夠小時，將任意小。

第 245 條.
接下來，我們將證明一個定理：包含 $t_{0}$ 及與其共軛點的曲線段可以始終被變化，使得 $\Delta I^{(0)}$ 可以既為正數又為負數，而 $I^{(1)}$ 保持不變。

讓我們像在第180、181節中那樣寫

{\bar {\xi }}=\epsilon \xi +\epsilon _{1}\xi _{1}\qquad {\bar {\eta }}=\epsilon \eta +\epsilon _{1}\eta _{1}

因此，我們有

\Delta I^{(1)}=\epsilon \int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(1)}w{\text{d}}t+\epsilon _{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(1)}w_{1}{\text{d}}t+(\epsilon ,\epsilon _{1})_{2}

現在選擇 $w$ 使得

\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(1)}w{\text{d}}t

然後，從條件 $\Delta I^{(1)}=0$ 可以看出，我們可以將 $\epsilon _{1}$ 表示為 $\epsilon$ 的冪級數，其在 $\epsilon$ 中的最高次冪高於一次。

因此（參見第180節），可以得出

{\bar {w}}=\epsilon w+(\epsilon )_{2}

並且，從第189節可以看出

\Delta I^{(0)}={\frac {\epsilon ^{2}}{2}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(F_{1}\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)^{2}+F_{2}w^{2}\right){\text{d}}t+(\epsilon )_{3}

或者，相同的意思是

\Delta I^{(0)}={\frac {k\epsilon ^{2}}{2}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}w^{2}{\text{d}}t+{\frac {\epsilon ^{2}}{2}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(F_{1}\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)^{2}+(F_{2}-k)w^{2}\right){\text{d}}t+(\epsilon )_{3}

其中 $k$ 是一個任意小的量，我們可以選擇它。

第 246 條.
現在我們將證明，如果 $t_{1}$ 位於與 $t_{0}$ 共軛的點之外， $k$ 的絕對值可以選擇得足夠小，以至於除了滿足條件

\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(1)}w{\text{d}}t=0

量 $w$ 還將滿足條件

29)\qquad \int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(F_{1}\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)^{2}+(F_{2}-k)w^{2}\right){\text{d}}t=0

而不會處處為零。如果 $\epsilon$ 選擇得足夠小，我們總是可以做到的，那麼可以看出量 $\Delta I^{(0)}$ 與 $k\epsilon ^{2}\int _{t_{0}}^{t_{1}}w^{2}{\text{d}}t$ 有相同的符號，因此與 $k$ 有相同的符號，它可以是正的也可以是負的。

由於 $w$ 在 $t_{0}$ 和 $t_{1}$ 時消失，並且由於

{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left[F_{1}w{\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right]=F_{1}\left({\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)^{2}+w{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)

因此，我們可以用以下等式代替 29)：

\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)+(F_{2}-k)w\right)w{\text{d}}t=0

並且，我們可以用以下兩個等式代替這個等式和

\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(1)}w{\text{d}}t=0

我們也可以寫成以下兩個方程

30)

\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)+(F_{2}-k)w-e_{3}G^{(1)}\right)w{\text{d}}t=0

\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(1)}w{\text{d}}t=0

其中 $e_{3}$ 是一個與 $t$ 無關的量。

第 247 條.
現在，設 $\theta _{1}(t,k),\theta _{2}(t,k),\theta _{3}(t,k)$ 是 t 的三個函式，滿足以下三個微分方程：

31)

{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\theta _{1}(t,k)\right)-(F_{1}-k)\theta _{1}(t,k)=0

{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\theta _{2}(t,k)\right)-(F_{2}-k)\theta _{2}(t,k)=0

{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\theta _{3}(t,k)\right)-(F_{3}-k)\theta _{3}(t,k)-G^{(1)}=0

根據微分方程理論，對於一系列 $t$ 的值，當 $F_{1}$ 既不為零也不為無窮大時， $\theta _{1}(t,k),\theta _{2}(t,k),\theta _{3}(t,k)$ 與三個函式 $\theta _{1}(t),\theta _{2}(t),\theta _{3}(t)$ 之間的差值隨著k同時趨於無窮小。

再次，令 $t'$ 為與 $t_{0}$ 共軛的點，並將從 $t_{0}$ 到 $t''$ 的伸展記為，其中 $t''$ 是位於 $t'$ 點之前的點。

w=e_{1}\theta _{1}(t,k)+e_{2}\theta _{2}(t,k)+e_{3}\theta _{3}(t,k)

而對於從 $t''$ 到 $t_{1}$ 的伸展，令

w=0

很明顯，除非 $e_{1}=0=e_{2}=e_{3}$ ， $w$ 不會處處為零，因為由於微分方程 31) $\theta _{1}(t,k),\theta _{2}(t,k),\theta _{3}(t,k)$ 所滿足的， $t$ 值序列的線性關係只有在這些值上 $G^{(1)}=0$ 時才可能存在，而這種情況我們已經排除了 (第 180 條)。

第 248 條.
量 $w$ 滿足微分方程

{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(F_{1}{\frac {{\text{d}}w}{{\text{d}}t}}\right)-(F_{2}-k)w-G^{(1)}=0

它還必須滿足以下附加條件：對於 $t_{0}$ 和 $t''$ ， $w=0$ ，並且

\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(1)}w{\text{d}}t=0

但是我們有

\int _{t_{0}}^{t''}G^{(1)}w{\text{d}}t=e_{1}\int _{t_{0}}^{t''}G^{(1)}\theta _{1}(t,k){\text{d}}t+e_{2}\int _{t_{0}}^{t''}G^{(1)}\theta _{2}(t,k){\text{d}}t+e_{3}\int _{t_{0}}^{t''}G^{(1)}\theta _{3}(t,k){\text{d}}t

如果我們寫

\int _{t_{0}}^{t''}G^{(1)}\theta _{v}(t,k){\text{d}}t=\Theta _{v}(t_{0},t'',k)\qquad (v=1,2,3)

那麼從上面的內容可以看到，函式 $\Theta _{v}(t_{0},t'',k)$ 與 $\Theta _{v}(t_{0},t'')$ 之間的差值隨著 $k$ 無限減小。

需要滿足的條件是

32)

0=e_{1}\theta _{1}(t_{0},k)+e_{2}\theta _{2}(t_{0},k)+e_{3}\theta _{3}(t_{0},k)+

0=e_{1}\theta _{1}(t'',k)+e_{2}\theta _{2}(t'',k)+e_{3}\theta _{3}(t'',k)+

0=e_{1}\Theta _{1}(t_{0},t'',k)+e_{2}\Theta _{2}(t_{0},t'',k)+e_{3}\Theta _{3}(t_{0},t'',k)

這些方程的行列式與 $D(t_{0},t'')$ 之間的差值隨著 $k$ 無限減小 (第 237 條)。

對於 $t''=t'-k$ 和 $t''=t'+k$ ，量 $D(t_{0},t)$ 有不同的符號，因此我們可以取 $k$ 非常小，使得方程 32) 的行列式對於 $t''=t'-k$ 和 $t''=t'+k$ 有不同的符號，因此在位於 $t'-k$ 和 $t'+k$ 之間的 $t''$ 值時消失。

因此，我們可以在曲線 $t''$ 沿曲線之前 $t_{1}$ 取值，使得方程 32) 對 $e_{1},e_{2}$ 和 $e_{3}$ 的值成立，這些值並非全為零。

如果回到方程 28)， $\epsilon$ 足夠小，則可以得出 $\Delta I^{(0)}$ 與 $k$ 符號相同，由於這個符號是任意的，因此在曲線的可接受變化中，存在使 $I^{(0)}$ 產生負增量，以及使 $I^{(0)}$ 產生正增量的變化。

因此，曲線 01 的部分不能延伸到與 0 共軛的點之外。如果我們排除 1 恰好與與 0 共軛的點重合的情況，則 1 必須位於與 0 共軛的點之前。然後，我們可以選擇 ${\bar {0}}$ 足夠靠近 0，使 1 也位於與 ${\bar {0}}$ 共軛的點之前。在這部分曲線上，函式 $D(t_{0},t)$ 不為零，因此我們可以用具有所需性質的空間部分來包圍這部分曲線。

第 249 條.
排除特殊情況，剩下的就是證明函式 ${\mathcal {E}}(x,y,p,q,{\bar {p}},{\bar {q}})$ 在上面定義的空間部分內的整個曲線上不能為零。

如果我們排除積分

\int _{0}^{1}[F_{1}^{(0)}(x,y,p_{k},q_{k})-\lambda F_{1}^{(1)}(x,y,p_{k},q_{k})](1-k){\text{d}}k

如果曲線的一部分上的積分變為零，那麼為了使 ${\mathcal {E}}$ 為零，必須在整條曲線上滿足 ${\bar {p}}q-p{\bar {q}}=0$ ；也就是說，空間中任意曲線投影的方向必須在每個點上都與滿足微分方程的曲線的投影方向一致。

如果 $x,y,z,x_{1},y_{1},z_{1}$ 是兩條曲線表示為其弧長函式的座標 $s=t$ 和 $s'=t'$ ，那麼在所討論的點上，我們必須有

x=x_{1},~y=y_{1},~{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}x_{1}}{{\text{d}}t}},~{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}y_{1}}{{\text{d}}t}}

但是由於

z=\int _{t_{0}}^{t}F^{(1)}(x_{1},y_{1},x_{1}',y_{1}'){\text{d}}t

和

z_{1}=\int _{t_{0}'}^{t'}F^{(1)}(x_{1},y_{1},x_{1}',y_{1}'){\text{d}}t'

因此，也可以得出

{\frac {{\text{d}}z}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}z_{1}}{{\text{d}}t}}

也就是說，空間中的兩條曲線在每個點上也具有相同的方向。

數量

\phi (t_{1}+\tau ,\alpha +\alpha ',\beta +\beta ',\lambda +\lambda ')\qquad \psi (t_{1}+\tau ,\alpha +\alpha ',\beta +\beta ',\lambda +\lambda ')\qquad \int _{t_{0}}^{t_{1}+\tau }F^{(1)}(\phi ,\psi ,\phi ',\psi '){\text{d}}t

表示空間中相鄰曲線的座標，位於點 $t_{1}$ 的附近。

現在將點 $t_{1}$ 視為任意點。如果在上述表示式中，我們將 $\tau ,\alpha ',\beta ',\lambda '$ 視為量 $k$ 的函式，當 $k$ 無限小時，那麼對於 $k$ 的連續值，這些表示式就是經過點 $t_{1}$ 的某條曲線的點座標；實際上，每條經過點 $t_{1}$ 的曲線，如果對 $k$ 的函式進行適當的選擇，都可以用這種方式表示。

第 250 條.
如果現在空間中有一條曲線，沿著這條曲線 ${\mathcal {E}}=0$ ，那麼它的方向，如我們上面所見，在點 $\tau ,\alpha ',\beta ',\lambda '$ 必須與滿足由 $\alpha ',\beta ',\lambda '$ 決定的微分方程的曲線的方向在該點重合。

後者的方向餘弦與以下量成正比

$a)$

\phi '(t_{1}+\tau ,\alpha +\alpha ',\beta +\beta ',\lambda +\lambda ')\qquad \psi '(t_{1}+\tau ,\alpha +\alpha ',\beta +\beta ',\lambda +\lambda ')\qquad {\frac {\partial F^{(1)}}{\partial x'}}\phi '(t_{1}+\tau ,\alpha +\alpha ',\beta +\beta ',\lambda +\lambda ')+{\frac {\partial F^{(1)}}{\partial y'}}\psi '(t_{1}+\tau ,\alpha +\alpha ',\beta +\beta ',\lambda +\lambda ')

以及第一條曲線對

\phi '(t_{1}+\tau ,\alpha +\alpha ',\beta +\beta ',\lambda +\lambda '){\frac {{\text{d}}\tau }{{\text{d}}k}}+{\frac {{\text{d}}\phi }{{\text{d}}k}}

其中，在 ${\frac {{\text{d}}\phi }{{\text{d}}k}}$ 中，僅 $\alpha ',\beta '$ 和 $\lambda '$ 被認為是依賴於 $k$

\psi '(t_{1}+\tau ,\alpha +\alpha ',\beta +\beta ',\lambda +\lambda '){\frac {{\text{d}}\tau }{{\text{d}}k}}+{\frac {{\text{d}}\psi }{{\text{d}}k}}

$\left({\frac {\partial F^{(1)}}{\partial x'}}\phi '+{\frac {\partial F^{(1)}}{\partial y'}}\psi '\right){\frac {{\text{d}}\tau }{{\text{d}}k}}+\int _{t_{0}}^{t_{1}+\tau }\left({\frac {\partial F^{(1)}}{\partial x}}{\frac {{\text{d}}\phi }{{\text{d}}k}}+{\frac {\partial F^{(1)}}{\partial y}}{\frac {{\text{d}}\psi }{{\text{d}}k}}+{\frac {\partial F^{(1)}}{\partial x'}}{\frac {{\text{d}}\phi '}{{\text{d}}k}}+{\frac {\partial F^{(1)}}{\partial y'}}{\frac {{\text{d}}\psi '}{{\text{d}}k}}\right){\text{d}}t$

其中， ${\frac {{\text{d}}\psi }{{\text{d}}k}},{\frac {{\text{d}}\phi '}{{\text{d}}k}},{\frac {{\text{d}}\psi '}{{\text{d}}k}}$ 被認為是依賴於 $k$ 的，由於 $\tau$ 的增量已經被明確表達出來。如果我們對最後一個量中的積分符號下的表示式進行分部積分，並考慮第 233 條中的定義 8)，可以看出任意曲線的方向餘弦與以下量成比例

$b)$

\phi '{\frac {{\text{d}}\tau }{{\text{d}}k}}+{\frac {{\text{d}}\phi }{{\text{d}}k}}

\psi '{\frac {{\text{d}}\tau }{{\text{d}}k}}+{\frac {{\text{d}}\psi }{{\text{d}}k}}

\left({\frac {\partial F^{(1)}}{\partial x'}}\phi '+{\frac {\partial F^{(1)}}{\partial y'}}\psi '\right){\frac {{\text{d}}\tau }{{\text{d}}k}}+\Theta _{1}(t_{0},t_{1}+\tau ){\frac {{\text{d}}\alpha '}{{\text{d}}k}}+\Theta _{2}(t_{0},t_{1}+\tau ){\frac {{\text{d}}\beta '}{{\text{d}}k}}+\Theta _{3}(t_{0},t_{1}+\tau ){\frac {{\text{d}}\lambda '}{{\text{d}}k}}+{\frac {\partial F^{(1)}}{\partial x'}}{\frac {{\text{d}}\phi }{{\text{d}}k}}+{\frac {\partial F^{(1)}}{\partial y'}}{\frac {{\text{d}}\psi }{{\text{d}}k}}

第 251 條.
如果這兩條曲線的切線方向在該點處一致，那麼由 $a)$ 和 $b)$ 構成的三個子式必須為零。但這些子式與由以下量構成的子式相同：

\phi '\qquad \psi '\qquad {\frac {\partial F^{(1)}}{\partial x'}}\phi '+{\frac {\partial F^{(1)}}{\partial y'}}\psi '

{\frac {{\text{d}}\phi }{{\text{d}}k}}\qquad {\frac {{\text{d}}\psi }{{\text{d}}k}}\qquad {\frac {\partial F^{(1)}}{\partial x'}}{\frac {{\text{d}}\phi }{{\text{d}}k}}+{\frac {\partial F^{(1)}}{\partial y'}}{\frac {{\text{d}}\psi }{{\text{d}}k}}+\Theta _{1}{\frac {{\text{d}}\alpha '}{{\text{d}}k}}+\Theta _{2}{\frac {{\text{d}}\beta '}{{\text{d}}k}}+\Theta _{3}{\frac {{\text{d}}\lambda '}{{\text{d}}k}}

因此，第一行的三個量與第二行的對應量成比例。

如果我們令 $k=0$ ，上述數量將變為

\phi '(t_{1},\alpha ,\beta ,\lambda )\qquad \psi '(t_{1},\alpha ,\beta ,\lambda )\qquad {\frac {\partial F^{(1)}}{\partial x'}}\phi '(t_{1},\alpha ,\beta ,\lambda )+{\frac {\partial F^{(1)}}{\partial y'}}\psi '(t_{1},\alpha ,\beta ,\lambda )

$\phi _{1}(t_{1},\alpha ,\beta ,\lambda )\left({\frac {{\text{d}}\alpha '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}+\phi _{2}(t_{1},\alpha ,\beta ,\lambda )\left({\frac {{\text{d}}\beta '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}+\phi _{3}(t_{1},\alpha ,\beta ,\lambda )\left({\frac {{\text{d}}\lambda '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}\qquad \psi _{1}(t_{1},\alpha ,\beta ,\lambda )\left({\frac {{\text{d}}\alpha '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}+\psi _{2}(t_{1},\alpha ,\beta ,\lambda )\left({\frac {{\text{d}}\beta '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}+\psi _{3}(t_{1},\alpha ,\beta ,\lambda )\left({\frac {{\text{d}}\lambda '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}$

{\frac {\partial F^{(1)}}{\partial x'}}\left[\phi _{1}\left({\frac {{\text{d}}\alpha '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}+\phi _{2}\left({\frac {{\text{d}}\beta '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}+\phi _{3}\left({\frac {{\text{d}}\lambda '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}\right]+{\frac {\partial F^{(1)}}{\partial y'}}\left[\psi _{1}\left({\frac {{\text{d}}\alpha '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}+\psi _{2}\left({\frac {{\text{d}}\beta '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}+\psi _{3}\left({\frac {{\text{d}}\lambda '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}\right]

\qquad \qquad +\Theta _{1}(t_{0},t)\left({\frac {{\text{d}}\alpha '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}+\Theta _{2}(t_{0},t)\left({\frac {{\text{d}}\beta '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}+\Theta _{3}(t_{0},t)\left({\frac {{\text{d}}\lambda '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}

因此，如果我們用 $\rho$ 表示比例因子，我們有

33)

0=\phi _{1}\left({\frac {{\text{d}}\alpha '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}+\phi _{2}\left({\frac {{\text{d}}\beta '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}+\phi _{3}\left({\frac {{\text{d}}\lambda '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}+\rho \phi '

0=\psi _{1}\left({\frac {{\text{d}}\alpha '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}+\psi _{2}\left({\frac {{\text{d}}\beta '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}+\psi _{3}\left({\frac {{\text{d}}\lambda '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}+\rho \psi '

0=\Theta _{1}(t_{0},t)\left({\frac {{\text{d}}\alpha '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}+\Theta _{2}(t_{0},t)\left({\frac {{\text{d}}\beta '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}+\Theta _{3}(t_{0},t)\left({\frac {{\text{d}}\lambda '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}+\rho \phi '

其中第三個方程透過 b) 應用另外兩個方程簡化為這種形式。

第 252 條.
由於滿足微分方程的曲線必須經過點 4，根據方程 5) 和 6)，我們必須有以下關係

0=\theta _{1}(t_{0})\alpha '+\theta _{2}(t_{0})\beta '+\theta _{3}(t_{0})\lambda '

由此可知

34)0=\theta _{1}(t_{0})\left({\frac {{\text{d}}\alpha '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}+\theta _{2}(t_{0})\left({\frac {{\text{d}}\beta '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}+\theta _{3}(t_{0})\left({\frac {{\text{d}}\lambda '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}

從式33）的前兩個方程中消去 $\rho$ ，並將出現的差值用關係式6）定義的 $\theta$ 來表示。

所得方程的行列式、式33）的最後一個方程以及式34）的行列式與 $D(t_{0},t_{1})$ 相同 [參見公式14），第237條]。因此，如果 $D(t_{0},t_{1})$ 不為零，這些方程除了以下解之外沒有其他解

\left({\frac {{\text{d}}\alpha '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}=\left({\frac {{\text{d}}\beta '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}=\left({\frac {{\text{d}}\lambda '}{{\text{d}}k}}\right)_{0}=0

同樣的結論也可以從 $k$ 的任何小的值中得出，對應於這些值 $\tau ,\alpha ',\beta ',\lambda '$ ；這裡代替數量 $D(t_{0},t_{1})$ 是數量

D(t_{0},t_{1}+\tau ,\alpha +\alpha ',\beta +\beta ',\lambda +\lambda ')

由於對於 $\tau ,\alpha ',\beta ',\lambda '$ 的足夠小的值，這個行列式不等於零，因此可以得出以下結論

{\frac {{\text{d}}\alpha '}{{\text{d}}k}}={\frac {{\text{d}}\beta '}{{\text{d}}k}}={\frac {{\text{d}}\lambda '}{{\text{d}}k}}=0

但數量 $\alpha ',\beta ',\lambda '$ 不隨 $k$ 而變化，因此為零，因為它們在 $k=0$ 時為零；這意味著函式 ${\mathcal {E}}$ 為零的曲線必須與滿足微分方程的原始曲線重合。因此，這條曲線的變化以及數量 ${\bar {p}},{\bar {q}}$ 的任意性，這對函式 ${\mathcal {E}}$ 的含義至關重要，完全喪失了。

如果 $D(t_{0},t_{1})=0$ ，那麼 $t_{1}$ 將是 $t_{0}$ 的共軛點；由於這對任意曲線上的每個點 $t_{1}$ 都成立，由此可知，任意曲線是由初始點的共軛點形成的，因此將位於所考慮的空間部分的邊界之外或至少位於邊界上。

可以看出，在我們假設的空間部分內，不存在函式 ${\mathcal {E}}(x,y,p,q,{\bar {p}},{\bar {q}})$ 處處為零的曲線。因此，本章的目的是完成的。同時還證明了，在相對極大值和極小值的理論中，存在極大值或極小值的必要條件和充分條件是第 174 條中列出的條件的類似物。

第 253 條.
現在我們將完成對已經考慮的兩個問題的極大值和極小值性質的證明，即：等周問題和求重心最低的曲線問題。

在等周問題的情況下，我們有

F=-yx'-\lambda {\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}

{\frac {\partial F}{\partial x'}}=-y-{\frac {\lambda x'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}=-y-\lambda p

{\frac {\partial F}{\partial y'}}=-\lambda {\frac {y'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}=-\lambda q

F_{1}={\frac {-\lambda }{({\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}})^{3}}}

x=a+\lambda \cos t\qquad y=b+\lambda \sin t

{\mathcal {E}}(x,y,p,q,{\bar {p}},{\bar {q}})=\lambda (p{\bar {p}}+q{\bar {q}}-1)

在這些表示式中， $\lambda$ 是一個正常數；此外， $x'$ 和 $y'$ 在曲線的任何點都不會同時消失，因此不存在需要特別研究的特殊情況。表示式 $p{\bar {p}}+q{\bar {q}}$ 是兩個方向 $p,q$ 和 ${\bar {p}},{\bar {q}}$ 之間夾角的餘弦，因此 ${\mathcal {E}}$ 對任何點和任何方向都沒有正值。正如我們已經看到的那樣，這是最大值的其中一個要求。

第 254 條.
設兩點 0 和 1 由一條給定長度的圓弧連線，該圓弧與連線這兩點的固定曲線一起包圍了一個表面區域。在整個周長上取的積分由 (見第 191 條) 表示

\int _{t_{0}}^{t_{1}}-yx'{\text{d}}t

需要證明，我們不能用同等長度的曲線連線這兩點，該曲線與固定曲線一起包圍更大的面積。證明是直接的，只要證明了以下內容。如果在兩點之間畫出一條任意長度的曲線，那麼我們就可以在這條曲線的任何點 2 處畫出一條圓弧，該圓弧也經過 0，並且其長度與任意曲線位於 0 和 2 之間的部分相同。

如果我們讓點 2 穿越任意曲線，則連續的圓弧是彼此的變化，並且它們的長度彼此無限小。如果點 2 足夠接近起點，則相應的圓弧將變成圓弧，對於該圓弧，需要證明最大性質。

只要我們規定每個圓弧只被穿越一次，並且按照第 229 條中指示的方式構造，這一切就都完成了。確實，在點 0 和 2 之間只能放置一條給定長度的圓弧。對應於連續長度的圓弧彼此變化，並且它們在對應點的長度彼此無限小，因此，如果點 2 與 $t_{1}$ 重合，圓弧將以 連續的方式 變成在 0 和 1 之間繪製的原始圓弧。

第 255 條.
關於行列式 $D(t_{0},t)$ 我們這裡有

x=a+\lambda \cos t\qquad y=b+\lambda \sin t

\theta _{1}(t)=\lambda \cos t\qquad \theta _{2}(t)=\lambda \sin t\qquad \theta _{3}(t)=\lambda \qquad G^{(1)}={\frac {1}{\lambda }}

\Theta _{1}(t_{0},t)=\sin t-\sin t_{0}\qquad \Theta _{2}(t_{0},t)=\cos t_{0}-\cos t\qquad \Theta _{3}(t_{0},t)=t-t_{0}

f_{1}(t)=\lambda ^{2}(\sin t_{0}-\sin t)\qquad f_{2}(t)=\lambda ^{2}(\cos t-\cos t_{0})\qquad f_{3}(t)=\lambda ^{2}\sin(t-t_{0})

從這些表示式我們有

D(t_{0},t)={\begin{vmatrix}\lambda \cos t_{0}&\lambda \sin t_{0}&\lambda \\\lambda \cos t&\lambda \sin t&\lambda \\\sin t-\sin t_{0}&\cos t_{0}-\cos t&t-t_{0}\end{vmatrix}}=\lambda ^{2}{\Big (}(t-t_{0})\sin(t-t_{0})+2\cos(t-t_{0})-2{\Big )}=4\lambda ^{2}\sin {\frac {t-t_{0}}{2}}\left({\frac {t-t_{0}}{2}}\cos {\frac {t-t_{0}}{2}}-\sin {\frac {t-t_{0}}{2}}\right)

由此可見，在 $t_{0}$ 之後 $D(t_{0},t)$ 首次變為零，是在值 $t=t_{0}+2\pi$ ；因此， $t=t_{0}+2\pi$ 是與初始點共軛的點。

實際上，如果我們考慮初始點和終點重合，使得滿足微分方程的曲線是一個完整的圓，那麼這條曲線就不再提供最大值，至少，在這個意義上，對於曲線的任何任意小的變化，變化都會更小；因為我們可以隨意滑動與自身全等的曲線，因此可以改變曲線而不改變周長或表面積。

有趣的是，在這個問題中出現了在一般處理中無法決定的情況；即，其中 $f_{1}(t),f_{2}(t),f_{3}(t)$ 同時消去，且 $D(t_{0},t)$ （參見第 242 條）。

實際上，對於 $t=t_{0}+2\pi$ ，我們有

D(t_{0},t)=0\qquad f_{1}(t)=f_{2}(t)=f_{3}(t)=0

然而， $D(t_{0},t)$ 在經過零時改變符號；因為 $D(t_{0},t)$ 的消失是由因子 $\sin {\frac {t-t_{0}}{2}}$ 變為零而實現的。但這個因子改變符號，而第二個因子在 $t=t_{0}+2\pi$ 保持其符號。

第 256 條.
在尋找重心最低的曲線的問題中，我們有（第 216 條）

F=(y-\lambda ){\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}

{\frac {\partial F}{\partial x'}}=(y-\lambda ){\frac {x'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}=(y-\lambda )p\qquad {\frac {\partial F}{\partial y'}}=(y-\lambda ){\frac {y'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}=(y-\lambda )q

F_{1}={\frac {y-\lambda }{({\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}})^{3}}}

x=\alpha +\beta t\qquad y=\lambda +{\frac {\beta }{2}}(e^{t}+e^{-t})

{\mathcal {E}}x,y,p,q,{\bar {p}},{\bar {q}})=(y-\lambda )[1-(p{\bar {p}}+q{\bar {q}})]

我們看到 $y-\lambda >0$ ，並且進一步 $x'$ 和 $y'$ 在任何點上都不會同時消失。因此 $F_{1}$ 處處不等於 0 和 $\infty$ 。因為 $p{\bar {p}}+q{\bar {q}}$ 表示兩個方向 $p,q$ 和 ${\bar {p}},{\bar {q}}$ 之間的角度的餘弦，其絕對值不能超過 1，通常小於 1，因此函式 ${\mathcal {E}}$ 處處非負，正如最小值情況所要求的那樣。我們已經在第 219 條中看到，如果弧長足夠大，那麼在兩個任意給定的點之間，可以畫出一條且只有一條曲線，滿足微分方程。因此，不可能存在共軛點，因此懸鏈線在其整個軌跡上都具有所需的最小性質。