變分法/第十五章

第十五章：受限變分。施泰納定理。

• 197 沿曲線不同部分的變分。
• 198 點必須停留在固定曲線上的變分。
• 199 應用於特定情況。
• 200 曲線的一部分與固定曲線重合的變分。
• 201 包含多個變數和多個積分的推廣。
• 202 當圓（第 195 條）包圍給定面積不能內接於固定邊界時，等周問題。
• 203 施泰納提出的兩個問題的陳述。批評他對變分法不足以證明這些問題的斷言。
• 204 魏爾斯特拉斯提出的兩個比施泰納更一般的問題，以及用變分法證明。
• 205 ${\mathcal {E}}$-函式在固定邊界上的行為。
• 206 關於此函式的進一步討論。
• 207 當邊界曲線在其被自由變化的曲線逼近的點處突然改變方向時的情況。
• 208 曲線在一點處與邊界相交然後離開邊界的情況。
• 209 曲線兩部分的切線與固定曲線的切線成相等角度。
• 210 等周問題的反轉。
• 211 考慮以下問題：平面上給出三個不在同一直線上的點。要求按一定順序透過這些點畫一條線，這條線具有給定長度，幷包含儘可能大的表面積。
• 212 重疊曲線部分的表示式。
• 213 微分方程的解可以是直線或圓弧。
• 214 問題簡化為最大值和最小值理論中的問題。
• 215 問題的解決。

第 197 條.
在本章中，我們將考慮受限變分的一些特殊情況。首先假設積分路徑經過兩條軌跡 $P_{0}P_{2}$ 和 $P_{2}P_{1}$。對於積分的一階變分（第 79 條），我們有

$\delta I=\int _{t_{0}}^{t_{2}^{-}}Gw{\text{d}}t+\left[{\frac {\partial F}{\partial x'}}\xi +{\frac {\partial F}{\partial y'}}\eta \right]_{t_{0}}^{t_{2}^{-}}+\int _{t_{2}^{-}}^{t_{1}}Gw{\text{d}}t+\left[{\frac {\partial F}{\partial x'}}\xi +{\frac {\partial F}{\partial y'}}\eta \right]_{t_{2}^{-}}^{t_{1}}$

由於沿軌跡 $(C_{0})$ 和 $(C_{1})$ 的變分是自由的，因此對於它們 $G=0$，因此

$\delta I=\left[{\frac {\partial F}{\partial x'}}\xi +{\frac {\partial F}{\partial y'}}\eta \right]_{t_{2}^{+}}^{t_{2}^{-}}$

因此，為了使一階變分為零，必須有

$\left[{\frac {\partial F^{-}}{\partial x'}}-{\frac {\partial F^{+}}{\partial x'}}\right]\xi +\left[{\frac {\partial F^{-}}{\partial y'}}-{\frac {\partial F^{+}}{\partial y'}}\right]\eta$

第 198 條.
如果問題的條件允許$P_{2}$ 在任何方向上自由變化，我們必須有，因為$\xi$ 和 $\eta$ 是任意的，

${\frac {\partial F^{-}}{\partial x'}}={\frac {\partial F^{+}}{\partial x'}}$ 和 ${\frac {\partial F^{-}}{\partial y'}}={\frac {\partial F^{+}}{\partial y'}}$

或者，曲線由單個軌跡組成

其次，如果問題的條件要求$P_{2}$ 始終保持在固定曲線 $(C)$ 上，那麼由於位移方向與該曲線的切線方向一致，表示式

$\left[{\frac {\partial F}{\partial x'}}\xi +{\frac {\partial F}{\partial y'}}\eta \right]_{+}^{-}=0$

可以替換為

$\left[{\frac {\partial F}{\partial x'}}\cos \lambda +{\frac {\partial F}{\partial y'}}\sin \lambda \right]_{+}^{-}=0$

其中 $\lambda$ 是固定曲線與$X$ 軸之間的夾角

第 199 條.
我們可以將上述結果應用於函式

$F(x,y,x',y')=f(x,y){\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}$

在第一種情況下，點 $P_{2}$ 可以隨意移動，我們有

${\frac {\partial F^{+}}{\partial x'}}={\frac {\partial F^{-}}{\partial x'}}$ 或 $\left[{\frac {f(x,y)x'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}\right]^{+}=\left[{\frac {f(x,y)x'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}\right]^{-}$

${\frac {\partial F^{+}}{\partial y'}}={\frac {\partial F^{-}}{\partial y'}}$ 或 $\left[{\frac {f(x,y)y'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}\right]^{+}=\left[{\frac {f(x,y)y'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}\right]^{-}$

所以，除非 $f(x,y)$ 在 $P_{2}$ 處為零，我們必須有

$\cos \tau ^{+}=\cos \tau ^{-}\qquad \sin \tau ^{+}=\sin \tau ^{-}$

因此

$\tau ^{+}=\tau ^{-}$

其中 $\tau ^{+}$ 和 $\tau ^{-}$ 是變數曲線在點 $P_{2}$ 的切線與 $X$ 軸所成的角。由此可知，$P_{0}P_{2}$ 和 $P_{2}P_{1}$ 不是不同的軌跡，而是構成一條在點 $P_{2}$ 處有一條切線的單曲線。在第二種情況下，當 $P_{2}$ 被限制在固定曲線 $(C)$ 上（參見前文的圖），我們有

$f(x,y){\big [}\cos \tau \cos \lambda +\sin \tau \sin \lambda {\big ]}_{+}^{-}=0$

由此可知，除非 $f(x,y)=0$ 在點 $P_{2}$ 處成立，那麼

$\cos(\tau -\lambda )^{-}=\cos(\tau -\lambda )^{+}$

或者

$(\tau -\lambda )^{-}=\pm (\tau -\lambda )^{+}[{\text{mod}}~\pi ]$

可以看出，兩條軌跡的切線$P_{0}P_{2}$和$P_{2}P_{1}$在點$P_{2}$處，要麼有相同切線，且為同一條曲線的兩部分，因此這種情況與$P_{2}$不受約束的情況相同，要麼與固定曲線切線形成相等的角$T_{1}P_{1}M_{1}$和$T_{2}P_{2}M_{2}$.

一個極限情況是$\tau =\lambda$，此時$P_{0}P_{2}$和$P_{2}P_{1}$形成一條連續曲線，在點$P_{2}$處與固定曲線相切。函式${\mathcal {E}}$在這裡

${\mathcal {E}}(x,y,p,q{\bar {p}},{\bar {q}})=f(x,y)\left[1-{\frac {{\bar {x}}'}{\sqrt {{\bar {x}}'^{2}+{\bar {y}}'^{2}}}}{\frac {x'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}-{\frac {{\bar {y}}'}{\sqrt {{\bar {x}}'^{2}+{\bar {y}}'^{2}}}}{\frac {y'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}\right]$

$\qquad =f(x,y){\big [}1-\cos(\tau -\lambda ){\big ]}=0$，當 $\tau =\lambda$

第 200 條.
假設積分路徑的一部分與一條或多條固定曲線重合，例如，與曲線 $(C)$ 重合。

那麼我們不能說 $G=0$ 對於從 $P_{2}$ 到 $P_{3}$ 的積分路徑，但從表示式

$\delta I=\int _{t_{2}}^{t_{3}}Gw{\text{d}}t$

很明顯，為了實現最大值，$w$ 和 $G$ 必須具有相反的符號，而對於最小值，則必須具有相同的符號。

第 201 條.
在一般情況下，我們進行以下替換：

$x\rightarrow x+\epsilon \xi +\epsilon _{1}\xi _{1}+\epsilon _{2}\xi _{2}+\cdots +\epsilon _{\mu }\xi _{\mu }\qquad y\rightarrow y+\epsilon \eta +\epsilon _{1}\eta _{1}+\epsilon _{2}\eta _{2}+\cdots +\epsilon _{\mu }\eta _{\mu }$

假設積分路徑的某個點 $P$ 被約束在一條固定曲線上，為了簡便起見，假設

對於 $t=t'~;~\xi _{1}=\xi _{2}=\cdots =\xi _{\mu }=0$，

並且 $\eta _{1}=\eta _{2}=\cdots =\eta _{\mu }$，

但 $\xi \neq 0$ 並且 $\eta \neq 0$ 在 $t'$。

我們之前的方程（第 184 條）現在變為

$\Delta I^{(1)}=\epsilon \left[{\frac {\partial F^{(0)}}{\partial x'}}\xi +{\frac {\partial F^{(0)}}{\partial y'}}\eta \right]_{+}^{-}+\epsilon \int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(0)}w{\text{d}}t+\epsilon _{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(0)}w_{1}{\text{d}}t+\cdots +\epsilon _{\mu }\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(0)}w_{\mu }{\text{d}}t+(\epsilon ^{2})$

$0=\Delta I^{(2)}=\epsilon \left[{\frac {\partial F^{(2)}}{\partial x'}}\xi +{\frac {\partial F^{(2)}}{\partial y'}}\eta \right]_{+}^{-}+\epsilon \int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(2)}w{\text{d}}t+\epsilon _{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(2)}w_{1}{\text{d}}t+\cdots +\epsilon _{\mu }\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(2)}w_{\mu }{\text{d}}t+(\epsilon ^{2})$

.............................................

$0=\Delta I^{(\mu )}=\epsilon \left[{\frac {\partial F^{(\mu )}}{\partial x'}}\xi +{\frac {\partial F^{(\mu )}}{\partial y'}}\eta \right]_{+}^{-}+\epsilon \int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(\mu )}w{\text{d}}t+\epsilon _{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(\mu )}w_{1}{\text{d}}t+\cdots +\epsilon _{\mu }\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(\mu )}w_{\mu }{\text{d}}t+(\epsilon ^{2})$

正如我們之前討論的（第 184 條），可以得出

$\delta I^{(0)}=\left(\left[{\frac {\partial F^{(0)}}{\partial x'}}\xi +{\frac {\partial F^{(0)}}{\partial y'}}\eta \right]_{+}^{-}+\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(0)}w{\text{d}}t\right)\lambda _{0}+\left(\left[{\frac {\partial F^{(1)}}{\partial x'}}\xi +{\frac {\partial F^{(1)}}{\partial y'}}\eta \right]_{+}^{-}+\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(1)}w{\text{d}}t\right)\lambda _{1}+\cdots +\left(\left[{\frac {\partial F^{(\mu )}}{\partial x'}}\xi +{\frac {\partial F^{(\mu )}}{\partial y'}}\eta \right]_{+}^{-}+\int _{t_{0}}^{t_{1}}G^{(\mu )}w{\text{d}}t\right)\lambda _{\mu }$

進一步地，因為

$\int _{t_{0}}^{t_{1}}(\lambda _{0}G^{(0)}+\lambda _{1}G^{(1)}+\cdots +\lambda _{\mu }G^{(\mu )})w{\text{d}}t=0$

我們有

$0=[\xi ]_{t'}\left[\lambda _{0}{\frac {\partial F^{(0)}}{\partial x'}}+\lambda _{1}{\frac {\partial F^{(1)}}{\partial x'}}+\cdots +\lambda _{\mu }{\frac {\partial F^{(\mu )}}{\partial x'}}\right]_{+}^{-}+[\eta ]_{t'}\left[\lambda _{0}{\frac {\partial F^{(0)}}{\partial y'}}+\lambda _{1}{\frac {\partial F^{(1)}}{\partial y'}}+\cdots +\lambda _{\mu }{\frac {\partial F^{(\mu )}}{\partial y'}}\right]_{+}^{-}$

如果我們寫

$F=\lambda _{0}F^{(0)}+\lambda _{1}F^{(1)}+\cdots +\lambda _{\mu }F^{(\mu )}$

並用 $\tau '$ 表示固定曲線在點 $P'$ 處的切線與 $X$ 軸所成的角，上述表示式變為

$\left[{\frac {\partial F}{\partial x'}}\cos \tau '+{\frac {\partial F}{\partial y'}}\sin \tau '\right]_{+}^{-}=0$

如果點 $P'$ 不受限制，那麼 $\xi$ 和 $\eta$ 將是任意的，並且我們將在這裡有

$\left[{\frac {\partial F}{\partial x'}}\right]_{+}^{-}=0$ 以及 $\left[{\frac {\partial F}{\partial y'}}\right]_{+}^{-}=0$

這些結果與第199條的結果進行比較。

第202條.
我們在上一章看到，如果存在一條閉合曲線，它以給定的長度包圍最大的表面積，那麼這條曲線就是一個圓。我們假設該圓可以完全位於給定區域的邊界內。假設情況並非如此。那麼這條曲線必須至少在兩點處與給定的邊界相切，或者與邊界有一部分重合。因為我們看到這條曲線由半徑相等的弧組成，如果這些弧沒有與邊界相切，則變數曲線的方向必然會發生不連續的變化。然而，在這種情況下，表面積可以在不改變周長的情況下增加。

第203條.
關於曲線與邊界相切時的性質，施泰納給出了以下兩個定理：

1）如果曲線與邊界的一部分重合，那麼這條曲線的自由部分就是半徑相等的圓弧，這些圓弧在接觸點處與邊界相切。

2）如果曲線在一點處與區域邊界相切，那麼曲線的兩個部分都是半徑相等的圓弧，這兩條圓弧在與邊界接觸點處的切線與該點處邊界切線所成的角相等。

施泰納用綜合法證明了這些定理，並指出似乎有必要使用綜合幾何方法進行處理，因為變分法的原理還不夠。這種說法在一定程度上是合理的，因為到那時為止，人們只考慮了在整個範圍內滿足微分方程的曲線，因此，人們還不知道任何分析方法來處理部分與給定曲線重合的曲線。但是，說變分法沒有方法處理這類問題，這是沒有道理的。

第204條.
我們將證明變分法的原理足以建立施泰納定理，方法是證明魏爾斯特拉斯提出的兩個定理，這兩個定理比施泰納定理更一般，並且涉及曲線在與邊界相切點處的行為。施泰納的兩個定理是這些定理的特殊情況。

假設滿足微分方程的曲線在點1處接近邊界，並與它重合直到點2。在曲線到達邊界點1之前的部分，我們取一個靠近點1的點，這樣在該點和點1之間，曲線的走向不會突然變化。

曲線012的一部分將被改變，這樣我們就可以沿著另一條路徑從該點到達邊界，到達點1之前的點3，或者從該點到達點1之後的點4，然後沿著邊界到達點2。

第205條.
正如我們已經看到的那樣（第161條），由此產生的積分$I^{(0)}$ 和 $I^{(1)}$ 的變化可以表示如下：令 $p_{1},q_{1}$，1 是曲線 01 在點 1 處的方向餘弦；${\bar {p}}_{1},{\bar {q}}_{1}$ 是該點邊界的方向餘弦；$x_{1},y_{1}$ 是點 1 的座標，而 $\sigma$ 是邊界長度的微元。那麼，如果在點 1 之前接近邊界 [見公式 5) 第 161 條]，我們有

1)

$\Delta I^{(0)}={\mathcal {E}}^{(0)}(x_{1},y_{1},p_{1},q_{1},{\bar {p}}_{1},{\bar {q}}_{1})\sigma +\int _{t_{)}}^{t_{1}}G^{(0)}w{\text{d}}t+\left(\sigma ,\xi ,\eta ,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}},{\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}\right)_{2}$

$\Delta I^{(1)}={\mathcal {E}}^{(1)}(x_{1},y_{1},p_{1},q_{1},{\bar {p}}_{1},{\bar {q}}_{1})\sigma +\int _{t_{)}}^{t_{1}}G^{(1)}w{\text{d}}t+\left(\sigma ,\xi ,\eta ,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}},{\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}\right)_{2}$

並且，如果邊界是在點 1 之後接近的 [參見公式 6) 第 161 條]

2)

$\Delta I^{(1)}=-{\mathcal {E}}^{(1)}(x_{1},y_{1},p_{1},q_{1},{\bar {p}}_{1},{\bar {q}}_{1})\sigma +\int _{t_{)}}^{t_{1}}G^{(1)}w{\text{d}}t+\left(\sigma ,\xi ,\eta ,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}},{\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}\right)_{2}$

因此對於情況 1）：$\Delta I^{(0)}=\Delta I^{(0)}-\lambda \Delta I^{(1)}=({\mathcal {E}}^{(0)}-\lambda {\mathcal {E}}^{(1)})\sigma +\left(\sigma ,\xi ,\eta ,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}},{\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}\right)_{2}$,

對於情況 2：$\Delta I^{(0)}=\Delta I^{(0)}-\lambda \Delta I^{(1)}=-({\mathcal {E}}^{(0)}-\lambda {\mathcal {E}}^{(1)})\sigma +\left(\sigma ,\xi ,\eta ,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}},{\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}\right)_{2}$

如果曲線要使 $I^{(0)}$ 具有最大值或最小值，*同時 $I^{(1)}$ 保持不變*，那麼（參見第 189 條）$\Delta I^{(0)}$ 必須在上述兩種變化中具有相同的符號。因此，如果曲線滿足微分方程 $G^{(0)}-\lambda G^{(1)}=0$，並且如果我們寫

${\mathcal {E}}^{(0)}-\lambda {\mathcal {E}}^{(1)}={\mathcal {E}}(x_{1},y_{1},p_{1},q_{1},{\bar {p}}_{1},{\bar {q}}_{1})$

那麼，函式 ${\mathcal {E}}$ 必須在邊界點1處為零，因為否則我們就可以選擇 $\sigma ,\xi ,\eta ,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}},{\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}$ 非常小，使得整個表示式的符號取決於線性項的符號，在第一種情況下是正的，在第二種情況下是負的。

第206條.
我們看到（第157條）

${\mathcal {E}}(x_{1},y_{1},p_{1},q_{1},{\bar {p}}_{1},{\bar {q}}_{1})=(q_{1}{\bar {p}}_{1}-p_{1}{\bar {q}}_{1})^{2}\int _{0}^{1}F_{1}(x_{1},y_{1},p_{k},q_{k})(1-k){\text{d}}k$

如果 $\int _{0}^{1}F_{1}(x_{1},y_{1},p_{k},q_{k})(1-k){\text{d}}k$ 不等於0（這必須在每種情況下確定），那麼

$q_{1}{\bar {p}}_{1}-p_{1}{\bar {q}}_{1}=0$

因此，

$p_{1}=\pm {\bar {p}}_{1},~q_{1}=\pm {\bar {q}}_{1}$

我們寫（第157條）

$p_{k}=(1-k)p+k{\bar {p}}\qquad q_{k}=(1-k)q+k{\bar {q}}$

因此，如果我們取下符號，使得$p_{1}=-{\bar {p}}_{1},q_{1}=-{\bar {q}}_{1}$，那麼可能發生$F_{1}$ 在積分限內變得無窮大，因為對於值$k=1/2$，兩者$p_{k}$ 和 $q_{k}$ 為零（見第 157 條）。

一般來說，我們有

$p_{1}={\bar {p}}_{1},~q_{1}={\bar {q}}_{1}$（參見第 199 條）。

對於其他情況下的每個特定問題，必須進行專門研究。因此，我們有如下定理：

如果滿足微分方程的曲線在某一點處接近邊界，然後與邊界的一部分重合，則該接觸點處的方向不會發生不連續變化。

在曲線與邊界的一部分重合後離開邊界點的過程中，可以以類似的方式得出相同的結果。

第 207 條.
我們已經預設假設邊界在點 1 處沒有突然變化。但如果發生這種情況，並且${\bar {p}}_{2},{\bar {q}}_{2}$ 是人們接近點 1 的方向餘弦，而 ${\bar {p}}_{1},{\bar {q}}_{1}$ 是人們離開點 1 的方向餘弦，那麼對於$\Delta I^{(0)}$，我們有以下表達式

第一種情況：$\Delta I^{(0)}={\mathcal {E}}(x_{1},y_{1},p_{1},q_{1},{\bar {p}}_{2},{\bar {q}}_{2})\sigma +(~~)_{2}$

第二種情況：$\Delta I^{(0)}=-{\mathcal {E}}(x_{1},y_{1},p_{1},q_{1},{\bar {p}}_{2},{\bar {q}}_{2})\sigma +(~~)_{2}$

在下一章（第 221 條）中，我們將證明，如果要出現最大值或最小值，則函式 ${\mathcal {E}}(x,y,p,q,{\bar {p}},{\bar {q}})$ 必須對曲線的每個點都具有連續相同的符號，並且對曲線上的任意方向 ${\bar {p}},{\bar {q}}$ 也是如此；在第一種情況下，該符號不能為正，在第二種情況下，該符號不能為負。

由此可以得出，在最大值和最小值的情況下，我們必須再次有

${\mathcal {E}}(x_{1},y_{1},p_{1},q_{1},{\bar {p}}_{1},{\bar {q}}_{1})=0>$

而 ${\mathcal {E}}(x_{1},y_{1},p_{1},q_{1},{\bar {p}}_{2},{\bar {q}}_{2})$ 仍然是任意的。

因為，如果我們正在尋找最小值，根據剛剛引用的定理，函式 ${\mathcal {E}}(x_{1},y_{1},p_{1},q_{1},{\bar {p}}_{1},{\bar {q}}_{1})$ 不能為負；但它也不能為正，因為根據方程

$\Delta I^{(0)}=-{\mathcal {E}}(x_{1},y_{1},p_{1},q_{1},{\bar {p}}_{1},{\bar {q}}_{1})\sigma +(~~)_{2}$

$I^{(0)}$ 對於某些變化會經歷負變化。因此我們必須有

${\mathcal {E}}(x_{1},y_{1},p_{1},q_{1},{\bar {p}}_{1},{\bar {q}}_{1})=0$

曲線離開邊界時出現的點也是如此，因此我們對終點有與剛剛給出的起點相同的結論。這些結論可以表述如下

如果出現最大值或最小值的曲線與邊界相遇並遍歷其一部分，那麼當它第一次到達邊界和離開邊界時，兩條曲線必須位於這樣的位置：兩條曲線的切線相同。但是，如果在這些點上邊界曲線的走向發生不連續的變化，那麼曲線接近邊界時的方向以及邊界在接近點處的方向可能是任意的。

這是魏爾斯特拉斯定理的第一個定理。

第 208 條.
接下來我們考慮曲線在一個點與邊界相遇然後離開邊界的情況。設 01 和 12 是兩部分滿足微分方程並在點 1 與邊界相遇的曲線。取點 0 和 2 足夠靠近 1，以至於在區間 01 和 12 內沒有突然的轉向變化。我們透過從點 1 到邊界上的點 3 來改變曲線 012。點 3 透過曲線與點 0 和 2 相連，這些曲線不一定滿足微分方程，但須滿足積分 $I^{(1)}$ 在此變化下保持不變的條件。

設 $p,q$ 為 01 在 1 處的方向，

$p_{1},q_{1}$ 是點 1 上 12 方向的導數，

並讓座標 $x,y$ 屬於不同點的座標用相應的索引表示。

那麼，正如我們已經看到的那樣（第 79 和 154 條）

$I_{03}^{(0)}-I_{01}^{(0)}=F^{(1)}(x_{1},y_{1},p,q)(x_{3}-x_{1})+F^{(2)}(x_{1},y_{1},p,q)(y_{3}-y_{1})+\left(\xi ,\eta ,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}},{\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}\right)_{2}$

$I_{32}^{(0)}-I_{12}^{(0)}=F^{(1)}(x_{1},y_{1},p_{1},q_{1})(x_{3}-x_{1})-F^{(2)}(x_{1},y_{1},p_{1},q_{1})(y_{3}-y_{1})+\left(\xi ,\eta ,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}},{\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}\right)_{2}$

因此

$I_{032}^{(0)}-I_{012}^{(0)}=[F^{(1)}(x_{1},y_{1},p,q)(x_{3}-x_{1})-F^{(1)}(x_{1},y_{1},p_{1},q_{1})](x_{3}-x_{1})+[F^{(2)}(x_{1},y_{1},p,q)(x_{3}-x_{1})-F^{(2)}(x_{1},y_{1},p_{1},q_{1})](y_{3}-y_{1})+\left(\xi ,\eta ,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}},{\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}\right)_{2}$

如果我們假設 $pq_{1}-p_{1}q$ 不等於零，因此點 1 上曲線 01 和 12 的兩部分的切線不重合，那麼我們可以寫成

$x_{3}-x_{1}=p\delta +p_{1}\delta _{1}\qquad y_{3}-y_{1}=q\delta +q_{1}\delta _{1}$

如果我們考慮到上面兩個關係式，長度 13 是兩個長度 $p\delta ,q\delta$ 和 $p_{1}\delta _{1},q_{1}\delta _{1}$ 的幾何和，那麼 $\delta$ 和 $\delta _{1}$ 的幾何意義就顯而易見了，它們是直線 13 在一個斜座標系中的座標，該座標系的正軸方向為 $p,q$ 和 $p_{1},q_{1}$，因此它們可以用曲線在點 1 處的兩部分的切線的斜率來表示。如果我們將這些 $x_{3}-x_{1},y_{3}-y_{1}$ 的值代入上面的表示式，我們得到

$I_{032}^{(0)}-I_{012}^{(0)}={\mathcal {E}}(x_{1},y_{1},p_{1},q_{1},p,q)\delta -{\mathcal {E}}(x_{1},y_{1},p,q,p_{1},q_{1})\delta _{1}+\left(\xi ,\eta ,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}},{\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}\right)_{2}={\mathcal {E}}\delta -{\mathcal {E}}_{1}\delta _{1}+\left(\xi ,\eta ,{\frac {{\text{d}}\xi }{{\text{d}}t}},{\frac {{\text{d}}\eta }{{\text{d}}t}}\right)_{2}$

第 209 條.
方程為 ${\mathcal {E}}\delta -{\mathcal {E}}_{1}\delta _{1}=0$ 的直線將平面分成兩半；對於一半的點，${\mathcal {E}}\delta -{\mathcal {E}}_{1}\delta _{1}>0$，而對於另一半，${\mathcal {E}}\delta -{\mathcal {E}}_{1}\delta _{1}<0$。曲線與邊界共有的點 1 只能沿著邊界移動。如果點 1 處邊界切線的方向不同於直線 ${\mathcal {E}}\delta -{\mathcal {E}}_{1}\delta _{1}=0$（可以稱為分割線）的方向，那麼透過在相反方向滑動點 1，數量 ${\mathcal {E}}\delta -{\mathcal {E}}_{1}\delta _{1}$ 將是正的或負的；並且由於這個量（忽略一個常數因子）是到分割線的距離，所以可以看到，它隨著 $<\xi ,\eta /math>.Wemay,therefore,choose<math>\xi ,\eta$ 變為一階無窮小。

$I_{032}^{(0)}-I_{012}^{(0)}$

與 ${\mathcal {E}}\delta -{\mathcal {E}}_{1}\delta _{1}$ 符號相同，因此可以是正的或負的。因此，我們必須有

${\mathcal {E}}\delta -{\mathcal {E}}_{1}\delta _{1}=0$

因此，邊界曲線的切線方向必須與分割線的方向一致。

分界線與 $\delta$ 和 $\delta _{1}$ 軸所成的角的正弦值，即與曲線在交界點處兩部分切線的正弦值之比，為 ${\mathcal {E}}_{1}$ 與 ${\mathcal {E}}$ 之比，如果這兩個角的測量方向相反。

因此，魏爾斯特拉斯的第二定理可以表述如下：

如果滿足微分方程的曲線只在一個點與邊界相交，然後離開邊界，則曲線在該點處的兩部分切線與邊界在該點處的切線所成的角，其正弦值之比為 ${\mathcal {E}}_{1}$ 與 ${\mathcal {E}}$ 之比。

關於等周問題的施泰納第二定理只是這個定理的一個特例。在這個問題中，我們有 ${\mathcal {E}}_{1}={\mathcal {E}}$，因此，曲線兩部分切線與邊界曲線切線所成的兩個角相等。

第 210 條.
我們已經證明，曲線在每個變分自由的點上都滿足同一個微分方程，並且常數 $\lambda$ 對整條曲線都有相同的值（第 185 條）。這導致了一個悖論：如果我們反轉等周問題，尋找所有包含給定表面積的線中最短的線，我們就會得到等周問題的微分方程。

我們有 $F=F^{(1)}-\lambda F^{(0)}$ 替代之前出現的 $F=F^{(0)}-\lambda F^{(1)}$；儘管如此，微分方程的本質並沒有改變，因為只有常數發生了變化。然而，從先驗的角度來看，這兩個問題的解必須相同；因為，如果可能保持表面積不變而縮短周長，那麼很明顯，對於原始周長，我們可以包含更大的表面積。因此，從第一個問題的微分方程推匯出的曲線也滿足反問題。因此，我們得到的第二個問題的解是定理：曲線在每個變分自由的地方，都由半徑相等的圓弧組成。

第 211 條.
問題：平面上給出三個不在同一直線上的點 1、2、3，要求按照一定的順序畫一條經過這些點的線，這條線包含一個給定的表面積，同時具有最短的長度。

我們知道，一個圓，例如 $W$，滿足這些要求，如果給定的面積與由三個點 1、2、3 決定的圓所包含的面積相同。

但是，如果表面積大於或小於 $W$，那麼圓弧必須向外或向內繪製。然而，如果面積很小，我們就無法畫出圓弧來包圍這個面積，而不會互相交叉，我們不考慮在相反方向描述的面積。

這個問題可以這樣解決：曲線，儘管沒有受到進一步的限制，但並不需要在所有地方都以自由的方式變化，因此，它不一定由圓弧組成。因為，如果我們假設曲線不能與自身相交，那麼它本身就可以提供障礙，阻礙自由變化。

例如，曲線 0 1 2 3 部分重疊，使得部分 1 3 與部分 01 在點 2 處重合，那麼在所有可能的變異中，存在 01 保持不變，而只有 1 3 發生變異的那些變異；並且由於曲線不能與自身相交，部分 1 2 的變異只能發生在點 3 所在的 1 的一側，因此曲線的變異自由度本質上是有限制的。

曲線不與自身相交的要求本身並不是必要的，因為出現的積分在這個情況下也有意義。

如果曲線存在重疊部分，那麼我們可以允許這樣的變異出現，即在變異之前重合的點在變異之後也可能重合，而第二個積分的值保持不變。我們將研究為這些曲線部分生成的這種微分方程的型別。

第 212 條.
以下研究也適用於第二個積分不存在的情況。我們只需要使 $\lambda =0$.

我們引入變異

${\bar {\xi }}=\epsilon \xi +\epsilon _{1}\xi _{1}\qquad {\bar {\eta }}=\epsilon \eta +\epsilon _{1}\eta _{1}$

已經證明 $I^{(0)}$ 的一階變分與

$\delta \int (F^{(0)}-\lambda F^{(1)}){\text{d}}t$

相同，只要 $\epsilon _{1}$ 可以用 $\epsilon$ 的冪級數表示，使得第二個積分的總變分消失。

這個 $\delta I^{(0)}$ 可以寫成以下形式

$\delta I^{(0)}=\epsilon \int G(y'\xi -x'\eta ){\text{d}}t$

在以前的處理中，$\xi$ 和 $\eta$ 是完全任意的，除了在某些點和某些曲線部分它們消失。無論它們在哪裡是任意的，都有必要使 $G=0$。在我們面前的例子中，我們還具有那些與曲線多次重疊而不與之相交的曲線部分。這些曲線部分滿足的微分方程可以如下獲得

我們有，因為 ${\text{d}}t$ 是 $t$ 的一個正增量（第 68 條），

$F(x,y,x',y'){\text{d}}t=F(x,y,x'{\text{d}}t,y'{\text{d}}t)=F(x,y,{\text{d}}x,{\text{d}}y)$

設 1 2 是一個被遍歷多次的曲線部分。在從點 1 到點 2 遍歷一次之後，這個曲線部分上的積分可以寫成以下形式

$\int _{x_{1},y_{1}}^{x_{2},y_{2}}F(x,y,{\text{d}}x,{\text{d}}y)=\int _{1}^{2}F(x,y,{\text{d}}x,{\text{d}}y)$

曲線在相反方向上積分的部分為

$\int _{2}^{1}F(x,y,{\text{d}}x,{\text{d}}y)$

如果這部分曲線在第一個方向上被遍歷 $\mu$ 次，在第二個方向上被遍歷 $\nu$ 次，並且如果除了與這部分曲線相關的變化之外，所有其他變化都被設為零，那麼整個積分的變化等於積分之和的變化

$\mu \int _{1}^{2}F(x,y,{\text{d}}x,{\text{d}}y)+\nu \int _{2}^{1}F(x,y,{\text{d}}x,{\text{d}}y)$

但是由於

$\int _{1}^{2}F(x,y,{\text{d}}x,{\text{d}}y)=\int _{2}^{1}F(x,y,-{\text{d}}x,-{\text{d}}y)$

上述和式等於

$\mu \int _{1}^{2}F(x,y,{\text{d}}x,{\text{d}}y)+\nu \int _{1}^{2}F(x,y,-{\text{d}}x,-{\text{d}}y)$

或者，如果我們令

$\mu F(x,y,{\text{d}}x,{\text{d}}y)+\nu F(x,y,-{\text{d}}x,-{\text{d}}y)={\bar {F}}(x,y,{\text{d}}x,{\text{d}}y)$

那麼和式為

$\int _{1}^{2}{\bar {F}}(x,y,{\text{d}}x,{\text{d}}y)$

對於這個積分，曲線 1 2 只被遍歷一次，因此變化是完全自由的。因此，區間 1 2 必須滿足為函式 ${\bar {F}}(x,y,x',y')$ 推導的微分方程，就像之前研究中考慮的函式 $F(x,y,x',y')$ 一樣。

第 213 條.
例如，如果問題是確定具有給定表面積的最短周長的曲線，那麼

$F(x,y,{\text{d}}x,{\text{d}}y)={\sqrt {{\text{d}}x^{2}-{\text{d}}y^{2}}}-\lambda y{\text{d}}x$

當 $\mu =\nu$時，

${\bar {F}}(x,y,{\text{d}}x,{\text{d}}y)=\mu [{\sqrt {{\text{d}}x^{2}-{\text{d}}y^{2}}}-\lambda y{\text{d}}x+{\sqrt {{\text{d}}x^{2}+{\text{d}}y^{2}}}-\lambda y{\text{d}}x]=2\mu {\sqrt {{\text{d}}x^{2}+{\text{d}}y^{2}}}$

因此，微分方程得到一條直線。

但如果 $\mu {\overset {<}{>}}\nu$，則有

${\bar {F}}(x,y,{\text{d}}x,{\text{d}}y)=(\mu +\nu ){\sqrt {{\text{d}}x^{2}+{\text{d}}y^{2}}}-\lambda (\mu -\nu )y{\text{d}}x$

相應的微分方程形式為

$G^{(1)}-\lambda _{1}G^{(0)}=0$

其中 $\lambda _{1}=\lambda {\frac {\mu -\nu }{\mu +\nu }}$；因此，它得到一個圓弧，該圓弧的半徑與曲線變化自由的部分的圓弧半徑不同。

然而，這種情況下，除非進行一些修改，否則實際上不會出現；因為，如果我們在相反的方向上遍歷該圓弧兩次，則由此獲得的表面積部分為零。然而，我們可以透過用連線其端點的弦代替圓弧來縮短周長，這是上面第一個解。此外，如果同一個圓弧被遍歷多次，那麼如果沒有特殊修改，我們可以忽略圓弧被遍歷的前兩次或前 $2n$ 次（從而縮短周長）而不改變表面積，

還要考慮到 $\mu =\nu =1$的情況，當一條直線進入時，我們必須看看這些曲線部分（直線或弧）中的哪一個可以用來形成所需的曲線以及它們是如何分組的。然後，我們必須尋找所有可能的組合型別並證明它們的允許性。

我們考慮任何配置並使其變化。由於曲線的性質是已知的，只有各個部分的端點是不確定的，我們必須使它們發生變化。前面的定理足以進行此操作。因此，我們有辦法確定各個部分的這種配置是否可能。

由於各個部分滿足它們的微分方程，因此相應積分的第一次變化將僅取決於端點的變化；而且，如果我們將此應用於曲線的各個部分，我們將得到所有個體端點座標變化的線性函式。

這些端點可能會受到進一步的限制；例如，它們可能被迫位於給定的曲線上等。

根據先前已發展的定理，我們得到了確定各部分端點可能位置的方程，因此我們可以判斷是否存在一個確定的配置。

第214條.
無論如何，對於如此確定的分組，積分的第一變分消失了，但這並不意味著出現了最大值或最小值。這個確定是一個在通常的極值理論中出現的問題。因為，一旦找到曲線的各個部分，我們也可以確定它們的積分，這些積分的值只取決於已引入的常數和端點的座標。因此，我們得到了一個關於有限個變數的普通函式，問題是這個函式是否真正滿足最大值或最小值的條件。這個主題在涉及多個變數的極值理論中進行了探討。

因此，我們至少可以確定曲線的特定形成是否滿足問題。例如，要求一條曲線依次經過點1、2和3，並且在具有最小周長的同時內接一個給定的表面積。這條曲線由三部分組成，分別經過1和2、2和3、3和1。如果給定的表面積足夠大，這些部分是半徑相等的圓弧。這個半徑要根據給定的表面積的值來確定。

積分 $I^{(0)}$ 是出現在常數中的函式，可以證明，當常數被正確確定時，該積分實際上是最小值。

但是，如果表面積不夠大，那麼曲線的各個部分必須部分重疊，重疊的部分是直線。曲線不能以完全自由變化的點結束；因為如果是這種情況，我們就可以改變這個點，使表面積保持不變，而它的長度變短。這些點必須位於穿過三個給定點的直線上。

因此發現，這條曲線實際上由三個圓弧組成，它們以相同的半徑描述，相互接觸，並延伸成穿過給定點的直線，如圖所示。

第215條.
可以看出，問題的解與點1、2、3的相對位置無關；因為我們可以在直線上前後滑動點1、2、3，而不會使曲線失去長度最小的特性。只有在直線與圓弧相交的點的選擇方式才是重要的。這些點對應於點1、2、3，可以表示為1'、2'、3'。如果將部分2' 1' 1視為固定邊界，並且 3' 1' 的端點沿其變化，那麼從已經給出的定理（第206條）可以推斷出，3' 1' 必須與邊界相切，使得曲線 3' 1' 1 的方向不發生突然變化。因此，每兩個圓弧必須在它們相交的點處相切。由於圓弧的半徑相等，所以可以推斷出，三個圓弧的中心構成一個等邊三角形，因此三個圓弧的長度相等。因此，每兩條直線形成一個 $120^{\circ }$ 的角，因此問題的解是唯一確定的。上述問題是由 Todhunter 在 1865 年的數學三一考試中提出的。他對此進行了探討（變分法的研究，第 44 頁及以下）。