範疇論/（共）錐和（共）極限

定義（錐）:

設${\mathcal {C}}$ 為一個範疇，並設$G=(V,A)$ 為${\mathcal {C}}$ 中的一個圖。$G$ 上的一個錐是一個${\mathcal {C}}$ 的物件$a$，以及對於每個$b\in V$ 的態射$\phi _{a,b}:a\to b$，使得對於每個$\psi :b\to b'\in A$（因此$b,b'\in V$）我們有

$\phi _{a,b'}=\psi \circ \phi _{a,b}$.

定義（極限）:

設${\mathcal {C}}$ 為一個範疇，並設$G=(V,A)$ 為${\mathcal {C}}$ 中的一個圖，並設

定義（對角線）

:

設${\mathcal {C}}$ 為一個範疇，並設$X$ 為${\mathcal {C}}$ 中的一個物件。此外，假設物件$X\times X$ 和態射$\pi _{1}:X\times X\to X$ 和$\pi _{2}:X\times X\to X$ 構成了$X$ 在${\mathcal {C}}$ 中自身的積。則**對角線**（也稱為“對角線態射”）是唯一的態射

$\Delta :X\to X\times X$

使得$\pi _{1}\circ \Delta =\pi _{2}\circ \Delta =\operatorname {Id} _{X}$。

定義（反對角線）:

設${\mathcal {C}}$ 為一個範疇，並設$X$ 為${\mathcal {C}}$ 中的一個物件。此外，假設物件$X\sqcup X$ 和態射$\iota _{1}:X\to X\sqcup X$ 和$\iota _{2}:X\to X\sqcup X$ 構成了$X$ 在${\mathcal {C}}$ 中自身的餘積。則**反對角線**（也稱為“反對角線態射”）是唯一的態射

$\nabla :X\sqcup X\to X$

使得$\nabla \circ \iota _{1}=\nabla \circ \iota _{2}=\operatorname {Id} _{X}$。

練習

1. 1. 設${\mathcal {D}}$ 為一個範疇，使得${\mathcal {D}}$ 中的任意兩個物件都存在積。進一步假設${\mathcal {C}}$ 是另一個範疇，並且$T:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ 是一個函子。設$Y$ 為${\mathcal {D}}$ 中的一個物件。利用積的泛性質，證明存在一個函子$S_{Y}:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$，它將${\mathcal {C}}$ 中的物件$X$ 對映到${\mathcal {D}}$ 中的物件$T(X)\times Y$。
   2. 證明${\mathcal {D}}$ 中的任何態射$g:Y\to Z$ 都會產生一個自然變換$S_{Y}\to S_{Z}$。
   3. 我們能否削弱${\mathcal {D}}$ 中的任意兩個物件都存在積的假設？（提示：考慮與函子$T$ 相關的物件類函式的像。）