範疇論
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本華夏公益教科書是範疇論的導論。它寫給那些對抽象數學的一個或多個分支有所瞭解的人，例如群論、分析或拓撲學。本書包含許多來自數學各個分支的例子。如果你不熟悉提到的某些型別的數學，不要擔心。如果所有的例子都不熟悉，最好在繼續之前研究幾個。
範疇是一種數學結構，就像群或向量空間一樣，由公理抽象地定義。群的這種定義是為了研究對稱性（物理物件和方程的對稱性，以及其他東西）。向量空間是向量微積分的抽象。
範疇論與其他結構研究的不同之處在於，從某種意義上說，範疇的概念是對一種數學型別的抽象。（這不能被轉換成精確的數學定義！）這使得範疇論具有非同尋常的自指性，並且能夠處理與數學邏輯處理的許多相同問題。特別是，它提供了一種語言，可以統一數學不同部分的許多概念。
更詳細地說，範疇具有物件和態射或箭頭。（最好將態射視為箭頭：詞“態射”會讓你認為它們是集合對映，而它們並非總是集合對映。範疇的正式定義在關於範疇的章節中給出。）
- 群範疇以群作為物件，以同態作為箭頭。
- 向量空間範疇以向量空間作為物件，以線性對映作為箭頭。
保留結構的範疇之間的對映稱為函子。
- 群的底層集合決定了一個從群範疇到集合範疇的函子。
- 尖空間的基本群決定了一個從尖拓撲空間範疇到群範疇的函子。它是一個函子意味著，從尖空間 S 到尖空間 T 的連續點保持對映誘導了一個從 S 的基本群到 T 的基本群的群同態。
範疇也形成一個範疇，以函子作為箭頭。最重要的是，特定範疇之間的函子形成一個範疇：它的態射稱為自然變換。範疇論具有自然變換的事實可以說是使範疇論如此重要的單一特徵。
範疇論由塞繆爾·艾倫伯格和桑德斯·麥克萊恩在 1940 年代發明，作為一種表達代數拓撲中某些結構的方法。在隨後的幾十年中，範疇論得到了迅速發展。它已成為數學的一個自治部分，人們出於自身目的研究它，也廣泛用作一種統一語言，用於表達將不同領域聯絡起來的數學思想。
例如，代數拓撲將幾何中的興趣領域與代數中的興趣領域聯絡起來。另一方面，代數幾何則朝著相反的方向發展，例如，將每個交換環與其素理想譜聯絡起來。這些領域是最早使用範疇論工具研究的領域。後來的應用包括抽象代數、邏輯、計算機科學和物理學等領域。
由於範疇的概念非常普遍，因此可以預期對所有範疇都可證明的定理通常不會很深刻。因此，範疇論的許多定理都是針對特定類別的範疇而陳述和證明的。
- 同調代數關注阿貝爾範疇，阿貝爾範疇展示了由阿貝爾群範疇所暗示的特徵。
- 邏輯使用 topos 理論來研究：topos 是一個與集合範疇具有某些共同特徵的範疇，但允許 topos 的邏輯比經典邏輯更弱。topos 最初是為了研究代數幾何而開發的，這體現了範疇論的可塑性。
範疇推理可以識別特定論證或結果作為更一般理論的結果。例如，在 GCD 理論的研究中，GCD 本質上唯一的事實僅僅是由於任何範疇中乘積的唯一性，因此它僅僅是一個更一般結果的一個例子。另一方面，整數 A 和 B 的 GCD 可以表示為 A 和 B 的線性組合，係數為整數——GCD(a, b) = ma + nb，對於某些整數 m 和 n——這是一個更深層的現實，它專門針對更受限制的情況。
大多數術語變化都在定義術語的地方進行討論。這裡重要的是指出一個令人討厭的術語問題：“範疇”對應的形容詞是“範疇的”。由於邏輯中的“範疇的”意味著只有一個模型（同構除外），這會導致認知失調；無論如何，本書中“範疇的”的使用與只有一個模型的想法無關。
一些作者使用“categorial”來代替。不幸的是，在語言學中，這個詞有不同的意思。本書遵循大多數人的使用，即“範疇的”。