範疇論/函子

這是 範疇論 的函子章節。

定義

函子 是範疇之間的態射。給定範疇 ${\mathcal {B}}$ 和 ${\mathcal {C}}$，一個函子 $T:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {B}}$ 的定義域為 ${\mathcal {C}}$，陪域為 ${\mathcal {B}}$，由兩個適當相關的函式組成：

• 物件函式 $T$，它將 ${\mathcal {C}}$ 中的每個物件 $c$ 對映到 ${\mathcal {B}}$ 中的一個物件 $Tc$。
• 箭頭函式（也稱為 $T$），它將 ${\mathcal {C}}$ 中的每個箭頭 $f:c\to c'$ 對映到 ${\mathcal {B}}$ 中的一個箭頭 $Tf:Tc\to Tc'$，它滿足 $T(1_{c})=1_{Tc}$ 和 $T(g\circ f)=Tg\circ Tf$，其中 $g\circ f$ 已定義。

示例

• 冪集函子 是一個函子 ${\mathcal {P}}:{\textbf {Set}}\to \mathbf {Set}$. 它的物件函式將每個集合 $X$ 對映到它的冪集 ${\mathcal {P}}X$，它的箭頭函式將每個對映 $f:X\to Y$ 對映到對映 ${\mathcal {P}}f:{\mathcal {P}}X\to {\mathcal {P}}Y$.
• 包含函子 ${\mathcal {I}}:{\mathcal {S}}\to {\mathcal {C}}$ 將子範疇 ${\mathcal {S}}$ 中的每個物件對映到自身（在 ${\mathcal {C}}$ 中）。
• 一般線性群 ${\text{GL}}_{n}:\mathbf {CRng} \to \mathbf {Grp}$ 將交換環 $R$ 對映到 ${\text{GL}}_{n}(R)$.
• 在同倫論中，路徑連通分量是一個函子 $\pi _{0}:\mathbf {Top} \to \mathbf {Set}$，基本群是一個函子 $\pi _{1}:\mathbf {Top} \to \mathbf {Grp}$，而高階同倫是一個函子 $\pi _{n}:\mathbf {Top} \to \mathbf {Ab}$.
• 在群論中，一個群 $G$ 可以被看作是一個只有一個物件 $g$ 的範疇，其箭頭是 $G$ 的元素。箭頭的合成是群運算。設 ${\mathcal {C}}_{G}$ 表示這個範疇。群作用函子 $\mathbf {Act} :{\mathcal {C}}_{G}\to \mathbf {Set}$ 給出 $\mathbf {Act} (g)=X$ 對於某個集合 $X$，集合 ${\mathcal {C}}_{G}(g,g)$ 被對映到 $\mathbf {Set} (X,X)={\text{Aut}}(X)$.

函子的型別

• 一個函子 $T:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {B}}$ 是範疇同構，如果它在物件和箭頭上的對映都是雙射。
• 如果對任何一對物件 $c,c'$ 在 ${\mathcal {C}}$ 以及任何 ${\mathcal {B}}$ 中的箭頭 $g:Tc\to Tc'$ ，存在一個箭頭 $f:c\to c'$ 在 ${\mathcal {C}}$ 中，滿足 $g=Tf$ ，則稱函子 $T:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {B}}$ 為 *滿函子* 。換句話說，給定物件 $c,c'$ ， $T$ 在箭頭上的對映是滿射。
• 如果對於 ${\mathcal {C}}$ 中的任意一對物件 $c,c'$ 和 ${\mathcal {C}}$ 中的任意一對平行箭頭 $f_{1},f_{2}:c\to c'$，等式 $Tf_{1}=Tf_{2}:Tc\to Tc'$ 意味著 $f_{1}=f_{2}$，則稱函子 $T:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {B}}$ 為 忠實 函子。換句話說，給定物件 $c,c'$ 時，$T$ 在箭頭上的作用是單射的。包含函子是忠實的。
• 如果函子 $T:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {B}}$ “遺忘”了 ${\mathcal {C}}$ 結構中的部分或全部方面，則稱該函子為 遺忘 函子。
• 定義域為乘積範疇的函子稱為 雙函子。

子範疇的型別

${\mathcal {S}}$ 是 ${\mathcal {C}}$ 的 滿子範疇 當且僅當包含函子 ${\mathcal {I}}:{\mathcal {S}}\to {\mathcal {C}}$ 為滿函子。換句話說，對於 ${\mathcal {S}}$ 中的任意一對物件 $X,Y$，都有 ${\mathcal {S}}(X,Y)={\mathcal {C}}(X,Y)$。

${\mathcal {S}}$ 是 ${\mathcal {C}}$ 的一個 lluf 子類別 當且僅當 ${\text{ob}}({\mathcal {S}})={\text{ob}}({\mathcal {C}})$.