範疇論/泛構造

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範疇語言的使用使一個重要的過程成為可能，即在各種範疇中將明顯不同的概念聯絡起來。這裡給出了一個例子，但應該指出，所描述的技術具有極其廣泛的應用。

極限

在集合的範疇中，笛卡爾積的概念至關重要。然而，它的描述涉及到集合的元素：集合 X 和 Y 的笛卡爾積由有序對 (x, y) 組成，X x, y Y。在任意範疇中兩個物件的積的定義中，這種定義無法模仿，因為在範疇的定義中，不需要物件是具有元素的集合。因此，必須找到笛卡爾積 X ´ Y 的一個性質，該性質可以表徵笛卡爾積，並且可以用範疇語言表示。這樣的性質必須完全用範疇的資料表示：用物件、態射和態射的複合表示。

對於任何給定的集合 A 和函式 f: A → X, g: A → Y，存在一個唯一的函式 h: A → X ´ Y，使得包含兩個投影的等式成立（參見 355），其中 p1: X ´ Y → X, p2: X ´ Y → Y 是投影。這是推廣的線索。對於範疇中的兩個物件 X 和 Y，三元組 (Z; p1, p2) 被認為是 X 和 Y 的積，如果 p1: Z → X 和 p2: Z → Y 是的態射，並且如果普遍性質成立，即給定任何物件 A 和態射 f: A → X, g: A → Y，則存在一個唯一的態射 h: A → Z，使得某些關係成立（參見 355）。

很容易證明三元組 (Z; p1, p2) 本質上是由普遍性質唯一確定的。這意味著如果 (Z¢; p1¢, p2¢) 也是一個積，那麼存在一個唯一的同構 w: Z → Z¢，使得兩個等式成立（參見 356）。因此，允許談論 X 和 Y 在中的積。當然，X 和 Y 不一定在中有一個積。但是，如果他們在中有一個積，按照上述定義，那麼這個積是唯一的。現在可以在其他各種範疇中尋找積。例如，在阿貝爾群的範疇中，按照定義，積表徵直和；在拓撲空間的範疇中，它表徵拓撲積。在任何與預序集相對應的範疇中，積表徵最大下界。因此，特別是，在與按整除排序的自然數相對應的範疇中，積正是最大公約數。可以證明，在任何存在積的範疇中，積在以下意義上是結合的。給定三個物件 X1、X2 和 X3，那麼存在一個等價關係（參見 357）。當然，對於集合來說，這是一個完全熟悉且微不足道的結論：在考慮三個集合的笛卡爾積時，集合的關聯方式無關緊要。然而，如果給出的證明在任何範疇中都有效，那麼就可以立即推斷出，例如，最大公約數滿足結合律。也就是說，如果 a、b、c 是任意三個自然數，那麼包含最大公約數的關係成立（參見 358）。這裡有兩點需要說明。首先，這個陳述 (358) 與集合的笛卡爾積是結合的陳述之間沒有明顯的聯絡。其次，透過以足夠的普遍性證明該陳述，即在範疇級別上，可以獲得比僅僅侷限於最初進行積定義的範疇（即集合的範疇）所能獲得的更多定理例項。