範疇論/範疇

這是範疇論的範疇章節。

定義

一個範疇${\mathcal {C}}$由四種資料組成，這些資料滿足三個公理，如下所示

資料

物件

${\mathcal {C}}$的物件表示為$A$, $B$, $C$,…

態射

對於每個物件的有序對 $A$，$B$ 在 ${\mathcal {C}}$ 中，存在一類從 $A$ 到 $B$ 的態射或箭頭。記號 $f:A\to B$ 表示 $f$ 是從 $A$ 到 $B$ 的一個態射。從 $A$ 到 $B$ 的所有態射的類記為 ${\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(A,B)$ 或有時簡記為 ${\mathcal {C}}(A,B)$。

複合

對於每個物件的有序三元組 $A$，$B$，$C$ 在 ${\mathcal {C}}$ 中，存在複合律：如果 $f:A\to B$ 和 $g:B\to C$，則 $f$ 和 $g$ 的複合是一個態射 $gf:A\to C$

恆等

對於每個物件 $A$，都有一個指定的$A$上的恆等態射，記為 $1_{A}$，從 $A$ 到 $A$。

公理

這些資料滿足以下三個公理，其中第一個是約定俗成的，而其餘兩個則更為重要

唯一型別

${\text{Hom}}(A_{1},B_{1})$ 和 ${\text{Hom}}(A_{2},B_{2})$ 是不相交的，除非 $A_{1}=A_{2}$，$B_{1}=B_{2}$。

結合律

$h(gf)=(hg)f$ 如果複合定義。注意，如果一個複合定義，另一個複合必然定義。

恆等態射是“中性元素”

對於每個物件 $B$ 相關的恆等態射 $1_{B}:B\to B$，對於每對物件 $A$ 和 $C$，以及每對箭頭 $f:A\to B$，$g:B\to C$

• $1_{B}\,f=f$
• $g\,1_{B}=g$

術語和細節

• 在一個範疇中，如果 $f:A\to B$，則 $A$ 被稱為 $f$ 的**定義域**或**源物件**，而 $B$ 被稱為 $f$ 的**陪域**或**目標物件**。
• ${\text{Hom}}(A,B)$ 被稱為**同態類**（如果它確實是集合，則稱為**同態集**）。通常，同態集可能是空的，但對於任何物件 $A$，${\text{Hom}}(A,A)$ 不為空，因為它包含恆等態射。
• 同態類 ${\text{Hom}}(A,B)$ 可以用 ${\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(A,B)$ 或 ${\mathcal {C}}(A,B)$ 表示，如果需要指定所指的範疇。
• 範疇中的物件不必是集合；物件不必具有稱為“元素”的東西。
• 態射也可以稱為“對映”。但這不意味著任何範疇中的每個態射都是一個集合函式（參見#簡單例子 和 #預序）。“箭頭”是一個不太容易誤解的名稱。
• 複合態射 $gf$ 可以寫成 $g\circ f$。
• 將$f:A\to B$和$g:B\to C$的合成寫成$fg$，而不是$gf$，但這裡給出的用法是迄今為止最常見的。這源於這樣一個事實：如果箭頭表示函式，並且$x\in A$，那麼$(gf)(x)=g(f(x))$。因此$gf$最好被理解為“在$f$之後執行$g$”。

大小

定義指出一個範疇“具有”物件，並且“具有”態射。這意味著，對於任何範疇${\mathcal {C}}$和任何數學物件$X$，命題“$X$是${\mathcal {C}}$的物件”要麼為真，要麼為假，對於命題“$X$是${\mathcal {C}}$的態射”也是如此。一個範疇的物件（或箭頭）不一定構成集合。如果構成集合，則該範疇被稱為**小范疇**。如果不構成集合，則該範疇被稱為**大範疇**。

要求從$A$到$B$的態射集合為一個集合，這使得一個範疇成為**區域性小范疇**。在這本書中，所有範疇都是區域性小的。

離散

如果一個範疇的每個態射都是恆等態射，則該範疇被稱為**離散範疇**。

預序

如果對於任意一對物件 $P,P'$，最多存在一個態射 $f:P\to P'$，那麼範疇 ${\mathcal {P}}$ 就是一個預序。

範疇示例

簡單示例

這些示例可能微不足道且無趣，但不要低估簡單示例的力量。一方面，它們有時是可能定理的反例。

0（空範疇）

此範疇沒有物件也沒有態射。

1

範疇 1 有一個物件和一個態射，該態射必須是該物件的恆等箭頭。

1+1

此範疇有兩個物件和兩個態射：每個物件的恆等。

2

此範疇有兩個物件和三個態射。第三個態射從一個物件指向另一個物件。

備註

• 這些簡單範疇中的物件是圖中的節點（而不是集合），態射是圖中的箭頭（而不是函式）。
• 對於這些簡單範疇，我們不必說明組合操作的作用：它總是被強制的。
• 說範疇論者認為 1 + 1 不等於 2 是不禮貌的。

集合範疇

集合範疇，記為 Set，就是這個範疇

• 物件是所有集合
• 從集合 $A$ 到集合 $B$ 的態射是一個定義域為 $A$，陪域為 $B$ 的函式。
• 組合是通常的組合：如果 $f:A\to B$ 和 $g:B\to C$，那麼 $gf:A\to C$ 由 $gf(x)=g(f(x))$ 對所有 $x\in A$ 定義。
• 集合 $A$ 上的恆等態射 $1_{A}$ 是由 $1_{A}(x)=x$ 對 $x\in A$ 定義的恆等函式。

術語和細節

• 為了保留函式定義中的獨特型別，有必要包含其陪域。例如，$1_{A}:A\to A$ 與包含函式 $i:A\to B$ 不同，後者是到某個集合 $B$ 的包含函式，該集合恰好包含 $A$ 。
• 在大多數數學基礎理論中，所有集合的集合本身不是一個集合。這使得 **Set** 成為一個大範疇。然而，它仍然是區域性小的，因為兩個集合 $A$ 和 $B$ 之間所有函式的類是它們笛卡爾積 $A\times B$ 的冪集的子類，而冪集根據定義是一個集合。

數學結構作為範疇

預序

集合 $A$ 上的 *預序* $\preccurlyeq$ 是 $A$ 上的自反和傳遞關係，這意味著對於所有 $a\in A$，$a\preccurlyeq a$ 且對於所有 $a$，$b$，$c$ 在 $A$ 中，如果 $a\preccurlyeq b$ 且 $b\preccurlyeq c$，則 $a\preccurlyeq c$.

以下意義上，預序“是”一個範疇：給定預序 ($A$，$\preccurlyeq$)，範疇結構是這樣的：

• 範疇中的物件是 $A$ 的元素。
• 當且僅當 $a\preccurlyeq b$ 時，從 $a$ 到 $b$ 只有一個態射。

單位元的存，是自反性的必然結果，而複合法則，是傳遞性的必然結果。由此可知，該範疇結構具有這樣的性質：從任何物件 $a$ 到任何物件 $b$ 至多隻有一個態射。

相反地，假設你有一個類別，其中包含一組物件 $A$，並且該類別具有這樣的性質：在任意兩個物件之間最多隻有一個態射。在 $A$ 上定義一個關係 $\preccurlyeq$，要求當且僅當從 $a$ 到 $b$ 存在一個態射時，$a\preccurlyeq b$ 成立。那麼 ($A$，$\preccurlyeq$) 是一個預序。

前兩段中的陳述描述了在類別之間的一個 類別等價，該類別包含最多在任意兩個物件之間只有一個態射的小類別以及所有這些類別之間的函子，以及預序和保持序的對映的類別。

備註：給定一個預序，根據定義，對應的類別中的態射是存在的。當且僅當 $a\preccurlyeq b$ 時，從 $a$ 到 $b$ 存在一個態射。這是一個公理化定義；在模型中，從 $a$ 到 $b$ 的態射可以是任何東西，例如，可以是 ($a$，$b$) 這對。_態射不需要是函式_。

群

每個群 $G$ 可以被視為一個範疇 ${\mathcal {G}}$，如下所示：${\mathcal {G}}$ 只有一個物件，我們將其稱為 $e$。因此它只有一個同態集 ${\text{Hom}}_{\mathcal {G}}(e,e)$，它被定義為群 $G$ 的底層集合（換句話說，箭頭是群元素）。我們採用群乘法作為合成。因此，$G$ 的單位元是 $1_{e}$。請注意，在範疇 ${\mathcal {G}}$ 中，每個態射都是一個同構（在合成下可逆）。反之，任何一個物件範疇，其中所有箭頭都是同構，都可以被視為一個群；群的元素是箭頭，乘法是範疇的合成。這描述了群和同態的範疇與只有一個物件並且每個態射都是同構的小范疇的範疇之間的等價。

這可以從兩個方面進行推廣。

如果每個態射都是一個同構，則範疇 ${\mathcal {G}}$ 被稱為群胚。因此，群胚可以被稱為“具有多個物件的群”。

么半群是一個帶有結合律二元運算的集合，它有一個單位元。與群相同的技術一樣，任何么半群“都是”一個只有一個物件的範疇，並且任何只有一個物件的範疇“都是”一個么半群。

矩陣

這是一個很好的例子，說明了一個類別，它的物件不是集合，它的箭頭不是函式。 $\mathbf {Matr} _{K}$ 是一個類別，它的物件是正整數，它的箭頭 $A:n\to m$ 是 $m\times n$ 矩陣，其中組合是矩陣乘法，對於任何交換環 $K$。對於任何物件 $n$，$1_{n}=I_{n}$，即 $n\times n$ 單位矩陣。

具有結構的集合類別

有限集和函式；記為 FinSet。

么半群和態射；記為 Mon。

群和同態；記為 Grp。

阿貝爾群和同態；記為 Ab。

環和保單位同態；記為 Rng。

交換環和保單位同態；記為 CRng。

一個環 $R$ 上的左模和線性對映；記為 $R$-Mod。

一個環 $R$ 上的右模和線性對映；記為 Mod-$R$.

一個交換環 $K$ 上的模和線性對映；記為 $K$-Mod。

三維歐幾里得空間的子集和歐幾里得運動

n維歐幾里得空間的子集和連續函式

拓撲空間和連續函式；記為 Top。

拓撲空間和函式的同倫類；記為 Toph。

備註

在描述這些類別時，沒有明確說明組合法則。當物件具有底層集合結構、態射是底層集合的函式（傳遞附加結構）且組合法則只是普通的函式組合時，這是慣例。事實上，有時甚至會省略態射的說明，只要不會造成混淆即可——因此，人們會談論群的類別。

具有結構的集合的例子，暗示了一個概念框架。例如，群的概念可以看作是對各種具體、熟悉的實現（如整數的加法群、非零有理數的乘法群、排列群、對稱群、歐幾里得運動群等等）的一種一階抽象或概括。然後，類別這個概念，構成了一種二階抽象，它的具體實現，由像群的類別、環的類別、拓撲空間的類別等等這種一階抽象組成。

物件和態射的性質

同構

在範疇論中，一個態射 $f:A\to B$ 被稱為同構，如果存在範疇中的一個態射 $g:B\to A$ 滿足 $gf=1_{A}$，$fg=1_{B}$。很容易證明，$g$ 由 $f$ 唯一確定。態射 $g$ 被稱為 f 的逆，記作 $g=f^{-1}$。因此可得 $f=g^{-1}$。如果存在從 $A$ 到 $B$ 的同構，我們說 $A$ 與 $B$同構，很容易證明“同構”是範疇物件上的等價關係。

例子

• 集合範疇中，從 $A$ 到 $B$ 的函式是同構，當且僅當它是雙射的。
• 群同態是同構，當且僅當它是雙射的。
• 拓撲空間和連續對映範疇中的同構是同胚。與前面的例子不同，從一個拓撲空間到另一個拓撲空間的雙射連續對映不一定是同胚，因為它的逆（作為集合函式）可能不連續。例如，在實數集上定義恆等對映，其中定義域具有離散拓撲，陪域具有通常的拓撲。

單態射和滿態射

在範疇 ${\mathcal {C}}$ 中，態射 $f$ 是一個單態射，當且僅當對於任意態射 $g$ 和 $h$，若 $fg$ 和 $fh$ 定義良好，且 $fg=fh$，那麼 $g=h$。

在範疇 ${\mathcal {C}}$ 中，態射 $f$ 是一個滿態射，當且僅當對於任意態射 $g$ 和 $h$，若 $gf$ 和 $hf$ 定義良好，且 $gf=hf$，那麼 $g=h$。

初始物件和終結物件

$T$ 被稱為終端物件（或最終物件），當 $X\to T$ 對任何 $X$ 在 ${\mathcal {C}}$ 中是唯一的態射。組合律確保，如果 $T$ 和 $T'$ 是 ${\mathcal {C}}$ 中的終端物件，它們是同構的，即 $T(')$ 在同構意義上是唯一的。在集合、群和拓撲空間的範疇中，終端物件分別是單元素集、平凡群和一點空間。“b” 是 2 中的終端物件，如上圖所示。

範疇上的構造

子範疇

範疇 ${\mathcal {C}}$ 的一個 *子範疇* ${\mathcal {S}}$ 是一個範疇，其中

• ${\mathcal {S}}$ 的物件類包含在 ${\mathcal {C}}$ 的物件類中。
• ${\mathcal {S}}$ 的箭頭類包含在 ${\mathcal {C}}$ 的箭頭類中。
• 對於 ${\mathcal {S}}$ 中的每個箭頭 $f$，$f$ 的定義域和陪域都在 ${\mathcal {S}}$ 中。
• 對於每個物件 $s$ 在 ${\mathcal {S}}$ 中，恆等箭頭 $1_{s}$ 屬於 ${\mathcal {S}}$。
• 對於每對箭頭 $f,g$ 在 ${\mathcal {S}}$ 中，箭頭 $g\circ f$ 屬於 ${\mathcal {S}}$，在它被定義的地方。

對偶範疇

給定一個範疇 ${\mathcal {C}}$，對偶範疇（或反範疇） ${\mathcal {C}}^{\text{op}}$ 與 ${\mathcal {C}}$ 具有相同的物件，並且對於每個箭頭 $f:a\to b$ 在 ${\mathcal {C}}$ 中，箭頭 $f^{\text{op}}:b\to a$ 屬於 ${\mathcal {C}}^{\text{op}}$。換句話說，它具有相同的物件，而箭頭被反轉。

兩個範疇的積

給定兩個範疇 ${\mathcal {B}}$ 和 ${\mathcal {C}}$，積範疇，記作 ${\mathcal {B}}\times {\mathcal {C}}$，由以下資料給出

• 的物件${\mathcal {B}}\times {\mathcal {C}}$ 是$(b,c)$，其中$b$ 是${\mathcal {B}}$ 的一個物件，並且$c$ 是${\mathcal {C}}$ 的一個物件。
• 的箭頭${\mathcal {B}}\times {\mathcal {C}}$ 是$(f,g)$，其中$f$ 是${\mathcal {B}}$ 的一個箭頭，並且$g$ 是${\mathcal {C}}$ 的一個箭頭。
• 組合由$(f',g')\circ (f,g)=(f'\circ f,g'\circ g)$ 給出。

乘積${\mathcal {C}}\times \mathbf {2}$ 被稱為圓柱範疇，記為${\text{Cyl}}({\mathcal {C}})$。

箭頭範疇

• 一個函子範疇 ${\mathcal {B}}^{\mathcal {C}}$ 是一個範疇，它的物件是函子 $T:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {B}}$，而箭頭是自然變換。
• 一個函子範疇 ${\mathcal {C}}^{\mathbf {2} }$ 被稱為箭頭範疇，記為 ${\mathcal {C}}^{\rightarrow }$。它的物件是 ${\mathcal {C}}$ 中的箭頭 $f:a'\to b'$，而它的箭頭是箭頭對 $(h,k):f\to f'$，使得 $f'\circ h=k\circ f$。

逗號範疇

• 給定範疇和函子 $T:{\mathcal {E}}\to {\mathcal {C}}$ 和 $S:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}$，逗號範疇 $(T\downarrow S)$ 的物件是 $(e,d,f)$，其中 $e$ 是 ${\mathcal {E}}$ 中的一個物件，$d$ 是 ${\mathcal {D}}$ 中的一個物件，$f:Te\to Sd$ 是 ${\mathcal {C}}$ 中的箭頭。它的箭頭是 $(k,h):(e,d,f)\to (e',d',f')$，其中 $k:e\to e'$ 是 ${\mathcal {E}}$ 中的箭頭，$h:d\to d'$ 是 ${\mathcal {D}}$ 中的箭頭，使得 $Sh\circ f=f'\circ Tk$。複合由 $(k,h)\circ (k',h')=(k\circ k',h\circ h')$ 給出。單位元是 $1_{(e,d,f)}=(1_{e},1_{d})$。

逗號範疇的特殊型別

根據上述對逗號範疇的定義，假設我們有 ${\mathcal {D}}=\mathbf {1}$，${\mathcal {E}}={\mathcal {C}}$，以及 $T=1_{\mathcal {C}}$。令 $1$ 表示 $\mathbf {1}$ 中的物件。 那麼對於 ${\mathcal {C}}$ 中的某個物件 $A$，有 $S1=A$。 在這種情況下，我們將逗號範疇寫成 $({\mathcal {C}}\downarrow A)$，並稱其為 $A$ 的 _切片範疇_（或 _在_ $A$ _上的物件範疇_）。

現在假設，我們有${\mathcal {E}}=\mathbf {1}$，${\mathcal {D}}={\mathcal {C}}$，和$S=1_{\mathcal {C}}$。令$1$ 表示 $\mathbf {1}$ 中的物件。 然後 $T1=A$ 對於 ${\mathcal {C}}$ 中的某個物件 $A$ 成立。 在這種情況下，我們將逗號範疇寫作 $(A\downarrow {\mathcal {C}})$，並稱之為 $A$ 的 *餘切片範疇*（或 *在 $A$ 下的物件的範疇*）。

最後，如果我們有${\mathcal {E}}={\mathcal {D}}={\mathcal {C}}$ 和 $T=S=1_{\mathcal {C}}$，則逗號範疇 $(1_{\mathcal {C}}\downarrow 1_{\mathcal {C}})={\mathcal {C}}^{\rightarrow }$。