範疇論/定義，示例

定義（範疇）:

一個範疇 ${\mathcal {C}}$ 是一類物件，以及一類稱為態射的物件，每個態射都有一個定義域和一個目標，以及態射的複合，使得以下公理整合立，如果對於任意兩個物件 $A$ 和 $B$ 的 ${\mathcal {C}}$，定義域為 $A$ 且目標為 $B$ 的態射子類用 $\operatorname {Hom} (A,B)$ 表示

1. 只要 $A\neq A'$ 或 $B\neq B'$，$\operatorname {Hom} (A,B)$ 和 $\operatorname {Hom} (A',B')$ 是不相交的
2. 對於任何物件 $A,B,C$ 的 ${\mathcal {C}}$ 以及任何態射 $f:A\to B$ 和 $g:B\to C$，存在一個態射 $h=g\circ f\in \operatorname {Hom} (A,C)$，稱為 $f$ 和 $g$ 的複合
3. 組合是結合的，即 $f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h$
4. 無論何時 $A$ 是 ${\mathcal {C}}$ 中的一個物件，那麼存在一個唯一的態射 $1_{A}\in \operatorname {Hom} (A,A)$，它在態射的組合中充當左側和右側的恆等式。

練習

1. 如果 $f$ 和 $g$ 都是集合對映，使得 $f\circ g$ 是單射，證明 $g$ 是單射。