範疇論/子範疇

定義（子範疇）:

令${\mathcal {C}}$ 為一個範疇。那麼子範疇${\mathcal {D}}=(\operatorname {Ob} ({\mathcal {D}}),\operatorname {Mor} ({\mathcal {D}}))$ 的${\mathcal {C}}$ 是一個範疇，使得$\operatorname {Ob} ({\mathcal {D}})\subseteq \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})$ 且$\operatorname {Mor} ({\mathcal {D}})\subseteq \operatorname {Mor} ({\mathcal {C}})$。

定義（滿）:

範疇${\mathcal {C}}$ 的一個子範疇${\mathcal {D}}$ 稱為滿 當且僅當對所有的$a,b\in {\mathcal {D}}$，我們有

$\operatorname {Hom} _{\mathcal {D}}(a,b)=\operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(a,b)$.

命題（限制到滿子範疇時極限保持）:

令 ${\mathcal {C}}$ 為一個範疇，令 $J:{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}$ 為 ${\mathcal {C}}$ 中的一個圖式，令 ${\mathcal {D}}$ 為 ${\mathcal {C}}$ 的一個滿子範疇。假設 $(L,(\phi _{\alpha })_{\alpha \in A})$ 是 $J$ 在 ${\mathcal {C}}$ 中的一個極限，使得 $L$ 和所有 $\phi _{\alpha }$ 的目標都在 ${\mathcal {D}}$ 中。那麼 $(L,(\phi _{\alpha })_{\alpha \in A})$ 是 $J$ 在 ${\mathcal {D}}$ 中的一個極限。

證明： 當然，$(L,(\phi _{\alpha })_{\alpha \in A})$ 的底錐包含在 ${\mathcal {D}}$ 中，因為子範疇是滿的。現在令另一個錐 $(Q,(\psi _{\alpha })_{\alpha \in A})$ 在 ${\mathcal {D}}$ 中在圖 $J$ 上（它類似於 ${\mathcal {D}}$ 中的一個圖）被給出。根據 $(L,(\phi _{\alpha })_{\alpha \in A})$ 在 ${\mathcal {C}}$ 中的泛性質，存在一個唯一的態射 $f:Q\to L$ 滿足對於所有的 $\alpha \in A$ 有 $\psi _{\alpha }=\phi _{\alpha }\circ f$。由於 ${\mathcal {D}}$ 是滿的，$f$ 在 ${\mathcal {D}}$ 中。 $\Box$

類似地，我們有

命題（限制到滿子範疇時，協限保持不變）:

設 ${\mathcal {C}}$ 為一個範疇，設 $J:{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}$ 為 ${\mathcal {C}}$ 中的一個圖，設 ${\mathcal {D}}$ 是 ${\mathcal {C}}$ 的一個滿子範疇。 假設 $(C,(\phi _{\alpha })_{\alpha \in A})$ 是 ${\mathcal {C}}$ 中關於 $J$ 的一個餘極限，使得 $C$ 和所有 $\phi _{\alpha }$ 的定義域都在 ${\mathcal {D}}$ 中。 那麼 $(C,(\phi _{\alpha })_{\alpha \in A})$ 是 ${\mathcal {D}}$ 中關於 $J$ 的一個餘極限。

證明： 這從 其“對偶”命題 中得出，除了圖函子的方向外，將其陳述和證明中的所有箭頭反轉。 $\Box$