範疇論/阿貝爾範疇

命題（阿貝爾範疇中的物件透過子物件分解成和）:

設${\mathcal {C}}$ 為一個阿貝爾範疇，並設$X\in {\mathcal {C}}$ 為一個物件。設$f:Y\to X$ 為一個子物件，並設$Z=\operatorname {Coker} f$ 為相應的商物件。此外，記$g=\operatorname {coker} f$。那麼存在唯一同構$\theta :X\to Y\oplus Z$ 使得

$\pi _{Z}\circ \theta =g$ 以及 $\theta ^{-1}\circ \iota _{Y}=f$.

證明：$Y\oplus Z$ 是一個雙積。首先，我們應用積的泛性質來得到一個態射

$\phi :X\to Y\oplus Z$ 使得 $\pi _{Z}\circ \phi =g$ 以及 $\pi _{Y}\circ \phi =0$.

然後，我們應用餘積的泛性質來得到一個態射

$\chi :Y\oplus Z\to X$ 使得 $\chi \circ \iota _{Y}=f$ 以及 $\chi \circ \iota _{Y}=0$.

此外，我們得到了一個態射 $Y\otimes X\to Y\otimes 0$，它來自到 $Y$ 的投影，以及一個態射 $0\otimes Z\to Y\oplus Z$，它來自 $Z$ 的包含。後一個態射是 ${\tilde {f}}:Y\oplus Z\to X$ 的核，而該核的餘核是 $\Box$