定義 (伴隨函子):
令 A , B {\displaystyle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}} 為範疇。一對**伴隨函子**由兩個函子組成 L : A → B {\displaystyle L:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}} 和 R : B → A {\displaystyle R:{\mathcal {B}}\to {\mathcal {A}}} （其中 L {\displaystyle L} 是**左伴隨**， R {\displaystyle R} 是**右伴隨**），使得兩個雙函子
從 ( A , B ) {\displaystyle ({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})} 到 Set {\displaystyle \operatorname {Set} } 是自然同構的。
命題 (左伴隨函子保持滿射):
令 A , B {\displaystyle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}} 為範疇，並令 L : A → B {\displaystyle L:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}} 和 R : B → A {\displaystyle R:{\mathcal {B}}\to {\mathcal {A}}} 是一對伴隨函子。假設 x , y ∈ A {\displaystyle x,y\in A} 且 f ∈ Hom A ( X , Y ) {\displaystyle f\in \operatorname {Hom} _{\mathcal {A}}(X,Y)} 是一個滿射。則 L f : L X → L Y {\displaystyle Lf:LX\to LY} 也是一個滿射。
證明： 令 g , h : L Y → Z {\displaystyle g,h:LY\to Z} 為 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 中的箭頭，使得 g ∘ L f = h ∘ L f {\displaystyle g\circ Lf=h\circ Lf} 。 ◻ {\displaystyle \Box }
命題（右伴隨函子保持單射）:
為 
中的箭頭，使得 
。 
和 
