範疇論/自然變換

定義 (自然變換):

令 ${\mathcal {A}},{\mathcal {B}}$ 是範疇，令 $F,G:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}$ 是兩個函子。這兩個函子之間的 **自然變換** 是一個 ${\mathcal {B}}$ 的態射集合，對 ${\mathcal {A}}$ 的每個物件 $A$ 都有一個態射，即 $f_{A}:F(A)\to G(A)$，使得對 ${\mathcal {A}}$ 的所有態射 $g:A\to A'$，下面的圖是可交換的

圖佔位符

舊內容

範疇論中另一個基本概念，或者也可以說，範疇語言中的一個基本元素，現在將被介紹。這就是從一個範疇到另一個範疇的函子的自然變換的概念。事實上，範疇和函子的整個語言和工具最初是由美國數學家 Samuel Eilenberg 和 Saunders MacLane 開發的，以便精確地表達自然性的直觀概念。首先將給出示例，可以認為該示例是該定義的動機。

示例

Let $\mathbb {V}$ be a vector space over some field $F$, and let $\mathbb {V} ^{*}$ be the dual space of $\mathbb {V}$; that is, the space of linear functionals on $\mathbb {V}$. There is then a linear transformation $T:\mathbb {V} \to \mathbb {V} ^{**}$ that is given. There is an intuitive feeling that the linear transformation $T$ is natural because its description only involves the terms u and f. Now if $\mathbb {V}$ is finite-dimensional, then it is known that $T$ is an isomorphism in the category of vector spaces over $F$ and linear transformations. One way of proving that $T$ is then an isomorphism is to show that $\mathbb {V}$ and $\mathbb {V} ^{**}$ are isomorphic and then to observe that $T$ is one–one. The usual proof that $\mathbb {V}$ and $\mathbb {V} ^{**}$ are isomorphic would be to proceed by establishing an isomorphism between $\mathbb {V}$ and $\mathbb {V} ^{*}$, in the case when $\mathbb {V}$ is finite-dimensional. Now if a base $(e_{1},\dots ,e_{N})$ for $\mathbb {V}$ is given, then a basis for $\mathbb {V} ^{*}$ may be set up, called the dual basis, by defining $e_{i}^{*}$ to be that linear functional on $\mathbb {V}$ given by certain rules (see 350). Then the correspondence $e_{i}\leftrightarrow e_{i}^{*}$ sets up an isomorphism between $\mathbb {V}$ and $\mathbb {V} ^{*}$.

另一方面，這種同構看起來並不自然，因為它依賴於基的選擇。當然，上面的論證可以推廣到從 $\mathbb {V}$ 到 $\mathbb {V}$* 建立線性變換，即使 $\mathbb {V}$ 在 $F$ 上不是有限維的，但是，同樣地，這種變換看起來並不自然。需要的是對這種感覺的正式和精確表達，對於在域 $F$ 上的有限維向量空間 $\mathbb {V}$，$\mathbb {V} ^{**}$ 自然同構，而 $\mathbb {V}$ 和 $\mathbb {V} ^{*}$ 以某種非自然的方式同構。Eilenberg 和 MacLane 在他們 1945 年發表的開創性文章“自然等價的概論”中解決了這個問題，該文章奠定了範疇論的基礎。

對偶性

For any category $C$ a new category $C^{op}$ can be formed by interchanging the domains and codomains of the morphisms of $C$. More precisely, in the category $C^{op}$ the objects are simply those of $C$ and the effect of interchange of domains is expressed in an equation (see 359). Moreover, the composition in $C^{op}$ is simply that of $C$, suitably interpreted. $C^{op}$ is called the category opposite to $C$; notice that $C^{op^{op}}$ = $C$. This apparently trivial operation leads to highly significant results when specific categories are used. In the general setting it enables any concept in the language of categories to be dualized. For example, the coproduct in $C$ is simply the product in $C^{op}$. Any theorem that holds in an arbitrary category has a dual form. For example, the theorem asserting that the product in an arbitrary category is associative may be effectively restated as asserting that the coproduct in an arbitrary category is associative. In the special cases, however, the second statement looks very different from the first. For example, in the category of sets, the coproduct becomes the disjoint union; in the category of groups it is the free product; and in a pre-ordered set regarded as a category, the coproduct is the least upper bound. In particular, for the set of natural numbers, ordered by divisibility, the coproduct is the LCM. Thus, the same universal argument that led to the deduction that the GCD is associative also indicates that the LCM is associative. The duality principle has very wide ramifications indeed. Here it is merely noted that the important concept of a contravariant functor $F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ may be most simply defined as a functor $F:{\mathcal {C}}^{op}\to {\mathcal {D}}$. Thus the association of the dual vector space $\mathbb {V} ^{*}$ with $\mathbb {V}$ yields a contravariant functor from $\mathbb {V}$ to $\mathbb {V}$ itself.

自然變換的定義

假設 $\Phi$，$\Psi$ 是兩個函子，都從範疇 ${\mathcal {C}}$ 到範疇 ${\mathcal {D}}$。

那麼一個自然變換 $\eta :\Phi \to \Psi$ 是一個規則，它為範疇 ${\mathcal {C}}$ 的每個物件 *A* 分配一個態射 $\eta _{A}:\Phi (A)\to _{\mathcal {D}}\Psi (A)$。

所涉及的態射 $\eta _{A}$ 必須滿足以下條件，即圖

對於每個 $f:A\to _{\mathcal {C}}B$ 應該滿足交換律（注意 $f$ 是範疇 ${\mathcal {C}}$ 中的態射）；也就是說，$\Psi (f)\circ \eta _{A}=\eta _{B}\circ \Phi (f)$（注意該交換圖繪製在範疇 ${\mathcal {D}}$ 中）。

自然同構

此外，如果對於每個 A，$\eta _{A}$ 是可逆的，那麼 $\eta$ 被稱為自然同構（或自然等價）。很明顯，如果 $\eta$ 是從函子 $\Phi$ 到 $\Psi$ 的自然等價，那麼 $\eta ^{-1}$，由方程式（見 352）給出，是從函子 $\Psi$ 到 $\Phi$ 的自然等價。因此，這裡使用的術語等價是完全合理的。事實上，從 ${\mathcal {C}}$ 到 ${\mathcal {D}}$ 的函子可以根據它們之間是否存在自然等價來收集到等價類中。

示例

這個定義可以用示例來檢驗。考慮兩個從 K-Vect 到 K-Vect 的函子，其中 K-Vect 是域 K 上的向量空間和線性變換的範疇。一個函子是恆等函子。另一個函子是雙對偶函子 **，它將每個向量空間 V 關聯到它的雙對偶 V** 以及每個線性變換 f : U → V 關聯到線性變換 f**: U** → V**（見 353）。線性變換 T: V → V** 在上面已經描述過了。很容易驗證 T 是從恆等函子到函子 ** 的自然變換。如果考慮了 K-Vect 的子範疇 f，它由 K 上的有限維向量空間及其線性變換組成，那麼事實證明函子 ** 將 f 變換為自身；並且自然變換 T，限制在 f 上， then is a natural equivalence. 還可以給出函子自然變換的其他示例

• 考慮阿貝爾群和同態的範疇。對於每個阿貝爾群，可以關聯它的扭子群。阿貝爾群 A 的扭子群 AT 由 A 中所有有限階元素組成。從 A 到 B 的同態必須將 AT 傳送到 BT。因此，透過將每個阿貝爾群 A 關聯到阿貝爾群 FA = AT，可以從 到（或到 T，即扭阿貝爾群及其同態的範疇）獲得函子 f。現在 AT 是 A 的子群。因此，AT 在 A 中始終存在一個嵌入 iA。很容易看出 i 是從扭函子 f 到恆等函子的自然變換。此外，可以考慮商群 Afr = A/AT。它是一個無扭阿貝爾群。這透過將阿貝爾群 A 關聯到阿貝爾群 GA = Afr 給出了一個從 到（或從 到 fr，即無扭阿貝爾群的範疇）的函子 g。然後，將 A 投影到 Afr 會產生從恆等函子到無扭函子 g 的自然變換。
• 每個群都可以與它的交換子群相關聯。然後不難看出，交換子群嵌入群中是交換子群函子到恆等函子的自然變換。另一方面，每個群的中心都可以與群相關聯。但是，這裡不存在一個函子，因為從一個群到另一個群的同態不一定將第一個群的中心對映到第二個群的中心。另一方面，如果考慮群和滿同態的範疇（滿同態是指影像與陪域重合的同態），那麼在這個範疇中，中心就是一個函子。但是，它是一個從群和滿同態的範疇到群和所有同態的範疇的函子，因為滿同態不一定將中心滿射。然後，群的中心嵌入群中可以看作是從中心函子到包含函子的自然變換，這兩個函子都是從群和滿同態的範疇到群和同態的範疇的函子。
• 在代數拓撲中，考慮一個尖點拓撲空間 (X, x) 的奇異同調群和同倫群。存在一個從同倫群到同調群的 Hurewicz 同態（見 354）。然後，pn 和 hn，n ≥ 2，是從尖點空間和尖點連續函式的範疇到阿貝爾群的範疇的函子，而 Hurewicz 同態是函子的自然變換。

Yoneda 引理

設 ${\mathcal {C}}$ 是一個區域性小范疇，設 $X$ 是 ${\mathcal {C}}$ 中的一個物件，設 $K:{\mathcal {C}}\to \mathbf {Set}$，設 $h^{X}$ 表示協變 Hom 函子，設 ${\text{Nat}}(F,G)$ 表示從 $F$ 到 $G$ 的自然變換。然後 ${\text{Nat}}(h^{X},K)\cong KX$。此外，如果 $K$ 是另一個 Hom 函子 $h^{W}$，那麼 ${\text{Nat}}(h^{X},h^{W})\cong {\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(W,X)$.