類別論/加法範疇

定義（雙積）:

設${\mathcal {C}}$為一個範疇，並設$(X_{\alpha })_{\alpha \in A}$為${\mathcal {C}}$中的一族物件。 $(X_{\alpha })_{\alpha \in A}$的雙積是${\mathcal {C}}$中的一個物件，通常記為

$\bigoplus _{\alpha \in A}X_{\alpha }$

並且存在箭頭

$\iota _{\alpha }:X_{\alpha }\to \bigoplus _{\alpha \in A}X_{\alpha }$ 和 $\pi _{\alpha }:\bigoplus _{\alpha \in A}X_{\alpha }\to X_{\alpha }$

對於所有$\alpha \in A$，它們具有以下性質

1. $\alpha \neq \beta \Rightarrow \pi _{\alpha }\circ \iota _{\beta }=0$ 和 $\forall \alpha \in A:\pi _{\alpha }\circ \iota _{\alpha }=\operatorname {Id} _{X_{\alpha }}$
2. $\bigoplus _{\alpha \in A}X_{\alpha }$，連同態射$(\iota _{\alpha })_{\alpha \in A}$，構成了範疇${\mathcal {C}}$中的一個餘積。
3. $\bigoplus _{\alpha \in A}X_{\alpha }$，連同態射$(\pi _{\alpha })_{\alpha \in A}$，構成了範疇${\mathcal {C}}$中的一個積。

定義（加法範疇）

:

一個加法範疇是一個範疇${\mathcal {C}}$，滿足以下所有條件

1. ${\mathcal {C}}$中的每個態射都具有核和餘核。
2. 對於${\mathcal {C}}$的任意兩個物件$X,Y$，都存在一個雙積$X\oplus Y$。
3. 對於${\mathcal {C}}$的任意兩個物件$X,Y$，賦值$(f,g)\mapsto h$，其中$h:X\to Y$ 是由將態射$X{\overset {\Delta }{\to }}X\oplus X{\overset {f\times g}{\to }}Y\oplus Y$（其中$\Delta$表示對角) 與反對角$\nabla :Y\oplus Y\to Y$複合得到的態射，將$\operatorname {Hom} (X,Y)$變為一個阿貝爾群。