電路理論/1初始與電源/示例30

RC電路，目標是找到電容C2電流隨時間變化的方程…最初開關SW1閉合，SW2斷開，然後SW1斷開的同時SW2閉合。

目標是找到透過C₂的電流表達式。

從充電電路分析開始。

充電電路

假設經過了很長時間。電容是開路的，電阻分壓Vo，C₂與R₂並聯，因此R₂兩端的電壓與C₂兩端的電壓相同。

$V_{C_{2}}=V_{o}{\frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}$

這變成了放電電路的初始電壓。

放電電路

C₂由R₂和R₃的並聯組合放電。

$R_{eq}={\frac {R_{2}R_{3}}{R_{2}+R_{3}}}$

所以時間常數是

$\tau =R_{eq}C_{2}$

特殊的穩態解為0，因為沒有強迫函式。

標記了等效放電RC電路

$V_{c2}=Ae^{-{\frac {t}{\tau }}}+C$

matlab 程式碼數值解

放電分析是電容性的。將透過R₂和R₃的並聯組合放電，初始電壓為V_C2。

有兩個初始條件，一個是電容兩端的初始電壓，另一個是迴路方程。

電容兩端的初始電壓

$V_{c2}(0)=V_{o}{\frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}=A+C$

迴路方程

$-C_{2}{dV_{c2} \over dt}-{\frac {V_{c2}}{R_{eq}}}=0$

電容端電壓為負，因為它根據正號約定，在放電電路的標記方式下充當電源。

${\frac {AC_{2}}{\tau }}e^{-{\frac {t}{\tau }}}-{\frac {Ae^{-{\frac {t}{\tau }}}+C}{R_{eq}}}=0$

${\frac {AC_{2}}{R_{eq}C_{2}}}e^{-{\frac {t}{\tau }}}-{\frac {Ae^{-{\frac {t}{\tau }}}+C}{R_{eq}}}=0$

${\frac {A}{R_{eq}}}e^{-{\frac {t}{\tau }}}-{\frac {A}{R_{eq}}}e^{-{\frac {t}{\tau }}}+{\frac {C}{R_{eq}}}=0$

${\frac {C}{R_{eq}}}=0$

$C=0$

需要解以上兩個方程求解A和C，然後才能計算i(t)。這在符號計算上會比較複雜。

如果V_o = 20V，R₁= 6KΩ，R₂ = 2KΩ，R₃ = 10.01Ω，C₂ = 470μF，求i_C2(t)

初始條件方程

$5-C-A=0$

迴路方程

$-0.201*A-0.1*C=0$

求解

$A=5$ 和 $C=0$

電流將為

$i_{c2}(t)=0.502e^{-{\frac {t}{.00468}}}$

所有電流都必須在5τ後消失，並且在上式中確實如此。但這並不總是正確的，這就是為什麼需要詳細計算的原因。

通常，微分方程數學（非齊次方程的齊次解和特解）表明存在更多A、C解對。這意味著電路的所有真實事實都需要轉化為計算A和C的方程。電路可能存在冗餘的真實事實。它們可以用來檢查工作結果。

然後，初始值方程將確定A的值

$V_{c2}(0)=V_{o}{\frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}=A*e^{-{\frac {0}{\tau }}}=A$

$A=V_{o}{\frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}=5$

這意味著電流為

$i_{c2}={\frac {v_{c2}}{R_{eq}}}=.502e^{-{\frac {t}{.00468}}}$

結論

不能依賴數學來得到唯一解。可能存在其他解。起點是物理電路。關於電路，哪些是必須成立的？數學應該描述一條通往真理的路徑，但不能依賴數學來引導我們找到它。這意味著觀察電路並寫下關於它的所有必須成立的事實

• 每個電容和電感都有初始電壓和電流
• 電容或電感的初始條件之一將與迴路或節點方程相關聯
• 最終值... 儲存能量（電容電壓或電感電流）可能為零、某個有限值，或者電路可能發生故障。