電路理論/單電源激勵/例7

例7的RL串聯電路

已知

$V_{s}(t)=120{\sqrt {2}}cos(377t+120^{\circ })$

先前工作計算穩態/特解

已經找到了穩態/特解

$i(t)=I_{m}cos(\omega t+\alpha )$

其中

$I_{m}={\frac {V_{m}}{\sqrt {R^{2}+(L\omega )^{2}}}}$

$\alpha =\phi -\angle arctan({\frac {L\omega }{R}})$

或者數值表示

$i(t)_{s_{P}}=15.9cos(377t+1.73)$

計算瞬態/齊次解

需要找到以下方程的瞬態/齊次解：

$R*i(t)+L*{d \over dt}i(t)=0$

沒有V_S... 這使得齊次解變得很簡單！

猜測

$i(t)_{s_{H}}=A*e^{\frac {-t}{\tau }}$

尋找時間常數

$R*A*e^{\frac {-t}{\tau }}+{\frac {LA}{-\tau }}e^{\frac {-t}{\tau }}=0$

$R-{\frac {L}{\tau }}=0$

$\tau =L/R=.001$

現在看看它是否有效

$RAe^{\frac {-t}{L/R}}+LA(-{\frac {R}{L}})*e^{\frac {-t}{L/R}}{\overset {\underset {\mathrm {???} }{}}{=}}0$

用A除，消去L

$Re^{\frac {-t}{L/R}}-Re^{\frac {-t}{L/R}}{\overset {\underset {\mathrm {???} }{}}{=}}0$

它有效，因此它一定是解

$i(t)=i(t)_{s_{P}}+i(t)_{s_{H}}=599\cos(377t+3.30)+Ae^{\frac {-t}{0.0001}}$

現在必須找到初始條件。

確定常數

有兩個常數。 $A$ 和 $C$ 來自非齊次微分方程的任何齊次解。 這些在早期的穩態相量解中沒有被忽略，事實上，它們沒有被計算出來，這一點已經被指出。

$i(t)_{s}=i(t)_{s_{P}}+i(t)_{s_{H}}$

$i(t)_{s}=15.9cos(377t+1.73)+A*e^{\frac {-t}{.001}}+C$

有兩個初始條件必須為真

1. 初始電源電壓在 t=0 時有一個值: $120*{\sqrt {2}}\cos({\frac {2\pi }{3}})$
2. 電感器中的初始電流在 t=0 時必須為 0，因此整個串聯電路中的電流在 t=0 時為 0。

尋找兩個初始條件

mupad 和 matlab 程式碼用於查詢常數 A 和 C .. code

需要兩個方程來找到 A 和 C。

最初，電感器和整個電路中的電流將為零

$i(0_{-})=0$，因此 $i(0_{+})=0$.

這意味著將 t 設定為 0，有一個方程

$i(t)_{s}=15.9cos(377t+1.73)+A*e^{\frac {-t}{.001}}+C=0$

在 t=0 處評估此值

$A+C-2.58=0$

第二個方程來自迴圈

$v_{r}(t)+v_{L}(t)-V_{s}=0$

$R*i(t)_{s}+L*{di(t)_{s} \over dt}-V_{s}=0$

用 i(t)_S 和 V(t)_S 替換，求微分，然後在 t=0 處評估，得到

$1.86*10^{-9}-10.0*C=0$

所以解得

$C=0$

$A=2.5781$

總結

$i(t)=15.9cos(377t+1.73)+2.58*e^{\frac {-t}{.001}}$

這與拉普拉斯解和模擬一致。