電路理論/2初始激勵

具有充電部分、放電部分和兩個開關的完整電路

充電電路（sw1閉合，sw2開啟）

放電電路（sw1開啟，sw閉合）

充電

電源電壓可以是直流電。在這種情況下，初始電容器電壓將為 V_s，電壓的導數將為零。

電源電壓可以是交流電，在這種情況下，開關切換的確切時間或更精確的相位角將決定 V_s 和電壓值的導數。

放電

初始電感器電流將為零，導數將為零。

經過很長時間後，將不再有任何活動。穩態特解將為零。

電流將貫穿始終保持一致。目標應該是找到電流的表示式。然而，任何電壓也可以被找到，然後是電流。無關緊要。

總之，放電電路中將沒有初始電流，電容器兩端將有電壓。電感器將在 t=0₊ 時表現得像開路，因此整個電壓將出現在電感器兩端，並立即（在 t=0_- 和 t=0₊ 之間）引起電感器電流導數的變化。

一階電路電流方程為

$V_{c}(t)=Ae^{-{\frac {t}{\tau }}}$

然而，這是一個二階電路（同時包含電容器和電感器），因此

$V_{c}(t)=Ae^{-st}$

複頻率 s 替換了 tau。時間常數的概念消失了。s 的直觀解釋存在，但更復雜。記住

$s=\sigma +j\omega$

微分方程

回到複頻率域以找到時間常數。從迴路方程開始

$V_{c}+V_{r}+V_{L}=0$

將 V_r 和 V_L 的端子方程代入，但不要代入 V_c，因為想要避免積分

$V_{c}+i(t)R+L{di(t) \over dt}=0$

從電容器的端子關係可知

$i(t)=C{dV_{c} \over dt}$

因此代入後，得到 V_c 的微分方程

$V_{c}+RC{dV_{c} \over dt}+LC{d^{2}V_{c} \over dt^{2}}=0$

現在可以看到二階了。

尋找時間常數或零點

零點就像時間常數，但可能存在多個零點。它們可能對電路的影響各不相同。

需要找到 V_c。特解（穩態）將為零。（零點的名稱來源）。

齊次解將具有以下形式

$V_{c}(t)=Ae^{st}$

代入微分方程

$Ae^{st}+RCAse^{st}+LCAs^{2}e^{st}=0$

除以 Ae^st 得到

$1+RCs+LCs^{2}=0$

$s^{2}+{\frac {Rs}{L}}+{\frac {1}{LC}}=0$

該方程的零點為

$s_{1,2}=-{\frac {R}{2L}}\pm {\sqrt {({\frac {R}{2L}})^{2}-{\frac {1}{LC}}}}=-(\sigma \pm j\omega )$

根據您對二次方程的經驗，您知道_1,2有三種類型的配對

配對型別	Vc的修正方程	解釋
實數，不相等	$A_{1}e^{s_{1}t}+A_{2}e^{s_{2}t}$	過阻尼
相等	$A_{1}e^{st}+A_{2}te^{st}$	臨界阻尼
複數	$e^{-\sigma t}(A_{1}\cos \omega t+A_{2}\sin \omega t$)	欠阻尼

修正方程（猜測）來自數學證明，一些課程從拉普拉斯變換推匯出這些方程。只需記住這張表。

有兩個儲能元件，每個元件有兩個初始條件，因此可能有四個方程和四個常數。A₁和A₂是其中的兩個。

無阻尼（藍色）、欠阻尼（綠色）、臨界阻尼（紅色）和過阻尼（青色）情況

要理解阻尼，想象一輛汽車駛過路邊石。無阻尼意味著汽車會永遠上下彈跳。欠阻尼是指當減震器開始漏油時發生的情況（汽車會上下彈跳一段時間……就像乘船一樣）。臨界阻尼是為什麼人們討厭跑車（會震動他們的屁股）。汽車的過阻尼響應會給駕駛員反饋。上面這樣的電路已被用來模擬減震器。這些電路被稱為模擬計算機.

幾乎共振（欠阻尼）

R和L對共振的影響

以上三種中最有趣的是欠阻尼。會發生類似共振的現象。

衛星會根據哪一面朝向太陽或2.7開爾文的太空而膨脹和收縮。重複的膨脹和收縮會產生振盪，需要透過一個電機來抑制，該電機會旋轉一個重量來抑制振動。否則，任何可以擺動的東西都會越來越劇烈地擺動，直到部件開始脫落。（地球上的汽車也不例外）。

大多數控制電路輸入都是不平衡的。輸出模擬所需的行為。校正（反饋控制）電路（此處未討論）會介入以確保實際行為與所需行為匹配。最常的做法是設計一個臨界阻尼電路，而不是僅僅預測將要發生的事情。

當s₁和s₂是純虛數時，會發生共振（或接近共振）。

$s_{1,2}=-{\frac {R}{2L}}\pm {\sqrt {({\frac {R}{2L}})^{2}-{\frac {1}{LC}}}}=-(\sigma \pm j\omega )$

因此

$\sigma ={\frac {R}{2L}}$

有趣的是根號項。它決定了二階響應的性質。

當二次方程解的實部為零時，就會發生純共振，這隻會發生在R<<L時。

晶體用一個電容並聯一個串聯RLC網路來建模

根號項的內容不必為零，只要實部為零，就可以是過阻尼的

$j\omega ={\sqrt {({\frac {R}{2L}})^{2}-{\frac {1}{LC}}}}$

$j\omega =j{\sqrt {{\frac {1}{LC}}-({\frac {R}{2L}})^{2}}}$

j抵消了，我們已經假設了R<<L，所以

$\omega ={\sqrt {{\frac {1}{LC}}-({\frac {R}{2L}})^{2}}}$

稱為阻尼頻率、振鈴頻率或無阻尼頻率。

當R<<L時，它會變成共振頻率

$\omega ={\sqrt {\frac {1}{LC}}}$

機械工程師試圖預測給定結構和材料的 ω。它可以是建築物或電機支架。數學證明了 ω 的存在。找到精確的 ω 通常需要測試。機械工程師用彈簧和阻尼器來模擬所有東西，而不是電容和電感。找到 ω 可能很困難。這就是為什麼存在整個行業的 振動臺。

結構中的彈簧和阻尼器值決定了共振的寬度或衰減程度。在設計建築物時，機械工程師希望外殼儘可能寬而平坦（衰減）。在設計陷波濾波器時，電子工程師的設計目標恰恰相反：高而窄的外殼。電子工程師稱之為 品質因數。

如今，大多數振盪器都是用 晶體 製成的。