電路理論/雙電源激勵/例46

電路理論華夏公益教科書中的RLC問題

已知I_s = 1μ(t)安培，求解i_o的時間域表示式。

穩態特解

經過很長時間後，電容開啟，電感短路，使兩個電阻並聯，電流被分成兩部分，i_o為1/2安培。

瞬態特解

開始編寫節點方程

$I_{s}=i_{c}+i_{r}+i_{o}$

代入電壓端關係

$I_{s}=C{dV \over dt}+{\frac {V}{R}}+i_{o}$

用i_o來表示LR支路的電壓V

$V=L{di_{o} \over dt}+Ri_{o}$

代入以獲得i_o表示的I_s

$I_{s}=C{d(L{di_{o} \over dt}+Ri_{o}) \over dt}+{\frac {L{di_{o} \over dt}+Ri_{o}}{R}}+i_{o}$

$I_{s}=CL{d^{2}i_{o} \over dt^{2}}+CR{di_{o} \over dt}+{\frac {L}{R}}{di_{o} \over dt}+i_{o}+i_{o}$

代入題中的數值

$I_{s}={d^{2}i_{o} \over dt^{2}}+2{di_{o} \over dt}+2i_{o}$

時間常數

猜測：$i_{o}(t)=Ae^{st}$ 代入

$I_{s}={d^{2}Ae^{-st} \over dt^{2}}+2{dAe^{-st} \over dt}+2Ae^{-st}$

$I_{s}=s^{2}Ae^{-st}+2sAe^{-st}+2Ae^{-st}$

這等於零嗎？

$s^{2}Ae^{st}-2sAe^{st}+2Ae^{st}=0$

$s^{2}+2s+2=0$

不行。我們需要評估上述二次方程才能猜測另一個解。

$s_{1,2}=-1-j,-1+j=\sigma \pm j\omega$

$\sigma =-1$

$\omega =1$

所以下一個猜測是

$i_{o}=e^{-t}(A_{1}\cos t+A_{2}\sin t)+C_{1}$

求解常數

經過很長一段時間後，電容器將斷開，電感器將短路。這將留下兩個並聯的等效電阻，它們將使電流分成兩半。

$i_{o}(\infty )={\frac {1}{2}}=C_{1}$

所以現在i_o的表示式是

$i_{o}=e^{-t}(A_{1}\cos t+A_{2}\sin t)+{\frac {1}{2}}$

最初導體中的電流為0，所以i_o(0₊) = 0

$i_{o}(o_{+})={\frac {1}{2}}+A_{1}=0$

這意味著

$A_{1}=-{\frac {1}{2}}$

影響i_o的另一個初始條件是電感器兩端的電壓……為零。我們可以找到V_L的表示式

$V_{L}=L{di_{0}(t) \over dt}=L(-e^{-t}(A_{1}\cos t+A_{2}\sin t)+e^{-t}(-A_{1}\sin t+A_{2}\cos t))$

將所有這些在t=0時設定為0得到

$0=-A_{1}+A_{2}$

所以

$A_{2}=A_{1}=-{\frac {1}{2}}$

因此i_o為

$i_{o}={\frac {1}{2}}+e^{-t}(-{\frac {1}{2}}\cos t-{\frac {1}{2}}\sin t)={\frac {1}{2}}(1-e^{-t}(\cos t+\sin t))$

該解用於使用卷積積分找到複雜源的i_o。