電路理論/卷積積分

可以驅動電路的任意源示例

衝激響應

到目前為止，電路一直由直流源、交流源和指數源驅動。如果我們能夠找到由狄拉克δ函式或脈衝電壓源δ產生的電路電流，那麼就可以使用卷積積分來找到任何給定電壓源的電流！

衝激響應示例

透過對由於直流電壓源產生的電流求導來找到電流！假設目標是找到一個串聯LR電路的δ電流...這樣在未來就可以使用卷積積分來找到任何任意源的電流。

串聯LR電路，脈衝δ函式作為電壓源

選擇一個1伏特的直流源（然後真實的Vs可以以此為基礎進行縮放）。

串聯LR電路，單位μ階躍函式電壓源

特定的齊次解（穩態）為0。非齊次方程的齊次解具有以下形式

$i(t)=Ae^{-{\frac {t}{\frac {L}{R}}}}+C$

假設電感器中的初始電流為零。初始電壓將為1，並且將跨越電感器（因為沒有電流流動）。

$v(t)=L{di(t) \over dt}$

$v(0)=1=L*(-{\frac {AR}{L}})$

$A=-1/R$

如果電感器中的初始電流為零，那麼

$i(0)=0=A+C$

這意味著

$C=-A=1/R$

因此，在t=0時開啟到1伏特的直流電壓源的響應（稱為單位響應μ）為

$i_{\mu }(t)={\frac {1}{R}}(1-e^{-{\frac {t}{\frac {L}{R}}}})$

對它求導，得到脈衝（δ）電流為

$i_{\delta }(t)={\frac {e^{-{\frac {t}{\frac {L}{R}}}}}{L}}$

現在可以使用卷積積分找到由於任意V_S(t)引起的電流。

$i(t)=\int _{0}^{t}i_{\delta }(t-\tau )V_{s}(\tau )d\tau =\int _{0}^{t}f(t-\tau )g(\tau )d\tau +C_{1}$

不要將i_δ視為電流。它實際上是${d \over dt}{\frac {current}{1volt}}$。V_S(τ) 變成了乘數。

LRC 示例

電路理論華夏公益教科書的RLC問題

已知 I_s = cos(t + π/2)μ(t) amp，求 i_o 的時域表示式。

之前已經找到了這個問題的階躍響應。

$i_{o_{\mu }}={\frac {1}{2}}(1-e^{-t}(\cos t+\sin t))$

衝激響應將是此響應的導數。

$i_{o_{\delta }}={di_{o_{\mu }} \over dt}=0+{\frac {1}{2}}e^{-t}(\cos t+\sin t)-{\frac {1}{2}}e^{-t}(-\sin t+\cos t)$

$i_{o_{\delta }}={\frac {1}{2}}e^{-t}(\cos t+\sin t+\sin t-\cos t)=e^{-t}\sin t$

$I_{s}=1+\cos t$

$i_{o}(t)=\int _{0}^{t}i_{o_{\delta }}(t-\tau )I_{s}(\tau )d\tau +C_{1}$

$i_{o}(t)=\int _{0}^{t}e^{-(t-\tau )}\sin(t-\tau )(1+\cos \tau )d\tau +C_{1}$

$i_{o}(t)={\frac {\cos t}{5}}+{\frac {2\sin t}{5}}-{\frac {7e^{-t}\cos t}{10}}-{\frac {11e^{-t}\sin t}{10}}+{\frac {1}{2}}+C_{1}$

求解積分的Mupad程式碼（用x代替τ）為

f := exp(-(t-x)) *sin(t-x) *(1 + cos(x));
S := int(f,x = 0..t)

求解積分常數

$i_{o}(0_{+})=0={\frac {1}{5}}-{\frac {7}{10}}+{\frac {1}{2}}+C_{1}$

這意味著

$C_{1}=0$

待辦事項

$i(t)=\int _{0}^{t}i_{\delta }(t-\tau )V_{s}(\tau )d\tau =\int _{0}^{t}f(t-\tau )g(\tau )d\tau$

這是用 matlab 建立的，用 ImageMagick 轉化為 gif，用照片編輯器裁剪，然後釋出到 公共領域。

其他一些 人建立了 替代 動畫。

• 藍色符號 $f(t)$ 代表 $i_{\delta }(t)$.
• 紅色符號 $g(t)$ 代表任意 $V_{s}(t)$.
• 由於 V_S 產生的電流（在黃色上面）。
• 開啟事件發生在 t = 5 秒，而不是 0 秒。
• 電源電壓不是無限期地開啟。它在零時刻開啟，並在 5 個時間常數後關閉。