電路理論/有源濾波器

有源濾波器包含運算放大器或放大器。它們通常沒有電感器，因為與電容器相比，電感器價格昂貴、重量大且尺寸大。

最小濾波器傳遞函式

每種濾波器型別都具有特徵傳遞函式

濾波器型別	傳遞函式
高通	${\frac {s^{2}}{aS^{2}+bs+c}}$
低通	${\frac {1}{aS^{2}+bs+c}}$
帶通	${\frac {s}{aS^{2}+bs+c}}$
陷波	${\frac {s^{2}+d}{aS^{2}+bs+c}}$

首先目標是根據運算放大器電路構建傳遞函式，以便繪製波特圖。這只是在端子關係中用 s 代替導數的問題。

有源濾波器元件

與其為上述每種濾波器繪製一個示例運算放大器電路，不如繪製四個與所需傳遞函式關係更密切的運算放大器電路。

電路	生成	傳遞函式
	復極點	推導 $-{\frac {R_{3}}{R_{1}+(C_{2}R_{1}R_{2}+C_{2}R_{1}R_{3}+C_{2}R_{2}R_{3})s+C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}R_{3}s^{2}}}$
	原點零點	$-sRC$
	實極點	${\frac {-{\frac {1}{R_{1}C}}}{s+{\frac {1}{R_{2}C}}}}$
	實零點	$-R_{2}C(s+{\frac {1}{R_{1}C}})$

大多數 濾波器 設計從所需的傳遞函式開始。然後構建電路。使用上述四種配置，可以建立任何傳遞函式。

更好的濾波器在其波特圖中具有更陡峭的斜率和更窄的頻帶。這用一個稱為 Q 值 的因子來衡量。這就是為什麼有如此多種不同的濾波器設計型別的原因。

欠約束設計

假設您想要此傳遞函式

${\frac {s+1}{(s+2)(s+3)(s+4)}}$

然後可以這樣構建一個有源濾波器

• 
  階段 A
  $-R_{2}C(s+{\frac {1}{R_{1}C}})$
• 
  階段 B
  ${\frac {-{\frac {1}{R_{1}C}}}{s+{\frac {1}{R_{2}C}}}}$
• 
  階段 C
  ${\frac {-{\frac {1}{R_{1}C}}}{s+{\frac {1}{R_{2}C}}}}$
• 
  階段 D
  ${\frac {-{\frac {1}{R_{1}C}}}{s+{\frac {1}{R_{2}C}}}}$

選擇與上述傳遞函式匹配的值會得到一個這樣的表格

輸入階段變數	反饋階段變數
$R_{1_{A}}C_{A}=1$	$R_{2_{A}}C_{A}=1$
$R_{1_{B}}C_{B}={\frac {1}{2}}$	$R_{2_{B}}C_{B}=1$
$R_{1_{C}}C_{C}={\frac {1}{3}}$	$R_{2_{C}}C_{C}=1$
$R_{1_{D}}C_{D}={\frac {1}{4}}$	$R_{2_{D}}C_{D}=1$

共有 12 個未知數和 8 個方程。 這被稱為欠約束問題。 這意味著可以應用其他設計規則。 例如，電容器比電阻器更貴。 批次購買更便宜。 所以... 為所有電容器選擇一個值，然後調整電阻器值。 選擇 C = 1μF 那麼所有電阻器都是 1 M&Ohm; 接受 R_1B、R_1C 和 R_1D。