電路理論/伯德圖

伯德圖

伯德圖繪製傳遞函式。由於傳遞函式是複數，因此繪製幅度和相位（在極座標中）。自變數 ω 在圍繞主要定義特徵（如時間常數或諧振頻率）的一系列值中變化。幅度圖在縱軸上繪製傳遞函式幅度的 dB 值。相點陣圖通常在縱軸上繪製度數。

File:Example45bode1.png

V_CR 與 V_S 的伯德圖，看起來像一個斜率為 -40dB/十倍頻程的無源低通濾波器，截止頻率似乎為 10⁰ = 1 弧度/秒。電阻在直流時占主導地位，而電容在非常高頻率時占主導地位。

MatLab tr 和 bode

示例 1

之前發現傳遞函式為

H(s)={\frac {\mathbb {V} _{cr}(s)}{\mathbb {V} _{s}(s)}}={\frac {1}{CLs^{2}+{\frac {Ls}{R}}+1}}={\frac {1}{s^{2}+2s+1}}

MatLab 有一種簡寫符號方法來輸入此資訊，其中係數按順序排列（高次冪到低次冪）（先分子，然後分母）。對於此示例

f = tf([1],[1 2 1])

不加冒號在末尾應該顯示傳遞函式。下一步是繪製它

grid on
bode(f)

結果是一個低通濾波器。目標不是瞭解如何建立這些圖（並非易事），而是解釋這些圖（這幾乎是一回事）。但在這一點上，目標是練習 MatLab。

File:Example14Bode.png

R3 電流與 V_s 的伯德圖，看起來像一個在 1K 弧度/秒左右的陷波濾波器

示例 2

之前發現傳遞函式為

{\frac {\mathbb {I} _{o}}{\mathbb {V} _{s}}}={\frac {1000s^{3}+5*10^{9}s}{s^{4}+5*10^{6}*s^{3}+2.000015*10^{12}*s^{2}+3.5*10^{13}*s+5*10^{13}}}

f = tf([1000 0 5*10^9 0],[1 5*10^6 2.000015*10^12 3.5*10^13 5*10^13])
grid on
bode(f)

幅度圖

伯德幅度圖使用 dB，它同時是功率和電壓以及電流的度量。縱軸的 dB 不是近似值，也不相對於任何東西。縱軸是一個準確的數字。橫軸（自變數）可以是弧度/秒或赫茲。

相點陣圖

伯德相點陣圖是將徑向頻率繪製在 X 軸上，將電路在該頻率下的相移繪製在 Y 軸上的圖。軸可以用弧度或度數表示，頻率可以用弧度/秒或赫茲表示。

極點和零點

傳遞函式具有 7 個可以在電路中實現的特徵。在檢視這些特徵之前，需要定義極點、零點和原點。從傳遞函式的以下定義開始

H(j\omega )={\frac {Z(j\omega )}{P(j\omega )}}

零點是分子中的根。
極點是分母中的根。
原點是 s = jω = 0 的地方（在伯德分析中沒有實部）。當頻率為零時，輸入為直流。這就是電容在很長時間後開啟，電感器短路的地方。

傳遞函式中可能出現的 7 種特徵是

常數
原點處的零點（分子中的 s）
原點處的極點（分母中的 s）
實零點（分子中的 s+a 因子）
實極點（分母中的 S+a 因子）
複共軛極點
複共軛零點

bode 和 bodeplot 函式在 MatLab 控制系統工具箱中可用。 BodePlotGui 做同樣的事情，這裡有討論。BodePlotGui 是透過 NSF 資助在斯沃斯莫爾開發的。這裡有一份斯沃斯莫爾伯德圖教程的摘要。

電路模擬軟體也可以繪製伯德圖也。

伯德方程格式

假設我們有一個具有極點和零點的通用傳遞函式

H(j\omega )={\frac {(\omega _{A}+j\omega )(\omega _{B}+j\omega )}{(\omega _{C}+j\omega )(\omega _{D}+j\omega )}}

方程式上下方每一項的格式都是 $(\omega _{N}+j\omega )$ 。但是，我們可以重新排列數字，使其看起來像下面這樣

\omega _{N}(1+{\frac {j\omega }{\omega _{N}}})

現在，如果我們對方程式中的每一項都這樣做，我們就會得到以下結果

H_{bode}(j\omega )={\frac {\omega _{A}\omega _{B}}{\omega _{C}\omega _{D}}}{\frac {(1+{\frac {j\omega }{\omega _{A}}})(1+{\frac {j\omega }{\omega _{B}}})}{(1+{\frac {j\omega }{\omega _{C}}})(1+{\frac {j\omega }{\omega _{D}}})}}

雖然它們只是另一種寫普通頻率響應方程的方式，但這就是我們稱之為“伯德方程”的格式。

直流增益

最前面的常數項

{\frac {\omega _{A}\omega _{B}}{\omega _{C}\omega _{D}}}

被稱為函式的“直流增益”。如果我們設定 $\omega \to 0$ ，我們可以看到方程式中的所有內容都抵消了，H 的值僅僅是我們的直流增益。因此，直流僅僅是當輸入的頻率為零時的輸出。

斷點頻率

在每一項中

(1+{\frac {j\omega }{\omega _{N}}})

量 $\omega _{N}$ 被稱為“斷點頻率”。當電路的角頻率等於斷點頻率時，該項變為 (1 + 1) = 2。當角頻率遠高於斷點頻率時，該項將遠大於 1。當角頻率遠低於斷點頻率時，該項的值將近似為 1。

近似值

Bode 圖是透過在對數紙上繪製直線（近似於實際的曲線）來構建的。以下是更精確的定義。

術語“遠”是“至少 10 倍”的同義詞。“遠大於”變為“至少 10 倍大”，而“遠小於”變為“至少 10 倍小”。我們還使用符號“<<”表示“遠小於”和“>>”表示“遠大於”。以下是一些示例

1 << 10
10 << 1000
2 << 20 正確！
2 << 10 錯誤！

由於多種原因，電氣工程師認為對一些值進行大幅近似和取整是合適的。例如，製造技術永遠無法建立完全符合數學計算的電路。當我們將這一點與“<<”和“>>”運算子結合起來時，我們可以得出一些重要的結論，幫助我們簡化工作

如果 A << B

A + B = B
A - B = -B
A / B = 0

所有其他數學運算都需要執行，但這些 3 種形式可以近似為 0。這一點對於以後處理 Bode 圖非常重要。

利用我們對 Bode 方程形式、直流增益值、分貝和“遠大於、遠小於”不等式的瞭解，我們可以快速地近似 Bode 幅度圖。此外，重要的是要記住，這些增益值不是常數，而是依賴於變化的頻率值。因此，我們找到的增益都是 Bode 圖的斜率。我們的斜率值都以“每十年分貝”或簡稱為“db/decade”為單位。