電路理論/複頻

複頻為什麼？

相量概念可以擴充套件到使用指數來涵蓋電路的開啟和關閉。例如

$V_{s}(t)=(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}})\cdot f(t)$ 開啟

$V_{s}(t)=(e^{-{\frac {t}{\tau }}})\cdot f(t)$ 關閉

$\tau$（或時間常數）的值決定了電路開啟和關閉的速度。新增一些常數可以確定電路何時開啟和關閉。

為什麼不使用拉普拉斯變換？拉普拉斯變換可以為電路的開啟和關閉建模無限斜率。在本課程中，我們不會這樣做。現實世界可以用 $\tau$ 建模。拉普拉斯變換簡單、美觀，並且真正令人驚奇的是，它們可以處理無窮大和無窮小。科學家和數學家總是對有助於他們處理無窮大和無窮小障礙的工具感興趣。到目前為止，本課程一直在處理理想電感器、電阻器、導線、電源等。如果我們要處理理想的開啟和關閉，我們不能使用相量。我們將不得不使用拉普拉斯。因此，在這一點上，已經做出了例外。

或者，人們可以簡單地將“複頻”視為以類似於相量的方式探索更復雜的函式。

複頻推導

之前 $V(t)=V_{m}cos(\omega t+\phi )$ 對穩態電路進行建模（從不關閉和開啟）。

現在讓我們考慮 $V(t)=V_{m}e^{\sigma t}cos(\omega t+\phi )$。西格瑪或 $\sigma$ 通常為負數，否則電路會爆炸。將充電問題分成兩個問題，並在最後新增結果，稱為“疊加”，通常有效。因此，我們可以將兩種情況都簡化為探索此方程的相量數學。

用尤拉方程代入 $cos(\omega t+\phi )=\operatorname {Re} (e^{j(\omega t+\phi )})$，我們可以開始一個推導，它表明相量域幾乎沒有變化！

表示式	筆記
$V(t)=\operatorname {Re} (V_{m}e^{\sigma t}e^{j(\omega t+\phi }))$	代入
$V(t)=\operatorname {Re} (V_{m}e^{j\phi }e^{(\sigma +j\omega )t})$	重新排列指數
$s=\sigma +j\omega$	定義複頻域變數 $s$
$V(t)=\operatorname {Re} (V_{m}e^{j\phi }e^{st})$	代入後沒有區別
$\mathbb {V} =V_{m}e^{j\phi }$	定義相量... 沒有區別... $s$ 而不是 $j\omega$ 來自導數和積分
$V(t)=\operatorname {Re} (\mathbb {V} e^{st})$	我們是否可以假設 $\omega$（角頻率）和 $s$（複頻率）可以被同等對待？是的... 幾乎。

時域到複頻域

上述過程表明，將 v(t) 和 i(t) 轉換為相量是完全相同的過程。完全不需要考慮 $s$。

端點方程	相量域	複頻域
$V=RI$	$\mathbb {V} =R\mathbb {I}$	$\mathbb {V} =R\mathbb {I}$
$V=L{\frac {d}{dt}}I$	$\mathbb {V} =jwL\mathbb {I}$	$\mathbb {V} =sL\mathbb {I}$
$I=C{\frac {d}{dt}}V$	$\mathbb {I} =jwC\mathbb {V}$	$\mathbb {I} =sC\mathbb {V}$

有趣的是，複頻域運算元與拉普拉斯變換運算元相同。這就是為什麼它們都使用“複頻率”來描述 s。

拉普拉斯變換運算元之所以複雜，是因為它們對函式的變換方式不同！

然而，正如我們將在後面（在傳遞函式中）看到，當把電路變成一個黑箱，連線一個驅動源到它，然後描述輸出時，驅動函式的變換並不重要。只有導數和積分運算元的變換才重要。

複頻域中的數學

複頻域中的數學運算，即使包含符號，也不需要跟蹤${\sqrt {-1}}$。符號 $s$ 包含複數。所有數學程式都在內部以矩形形式執行。用複數數值替換 $s$ 很簡單。

$s=\sigma +j\omega$.

複頻域到時域

未知函式將類似於：$V(t)=\operatorname {Re} (\mathbb {V} e^{st})$ 或 $I(t)=\operatorname {Re} (\mathbb {I} e^{st})$。在時域中用s替換，意味著需要對指數進行一些運算。回到時域並不像將未知函式轉換為極座標那樣簡單。

總結

在建立相量時，找到$s$，而不是$\omega$。在端子關係中用$s$ 替換$j\omega$，以替換微分運算元。回到時域時，使用$s=\sigma +j\omega$。

這些示例的目的是探索在複頻域分析和拉普拉斯變換中使用符號$s$ 的異同。拉普拉斯變換也使用符號$s$，並將其稱為“複頻域”。但它們是同一個東西嗎？不，它們都使用相同的複頻域技術來轉換微分和積分運算元。但它們使用不同的技術來轉換函式。複頻域將函式轉換為相量，而拉普拉斯變換將運算元轉換為相量。