電路理論/相量

相量

變數

變數的定義方式相同。但存在差異。之前變數要麼是“已知”的，要麼是“未知”的。現在出現了一種介於兩者之間的狀態。

此時，需要回顧一下常數函式（數字）和變數函式（隨時間變化）的概念。請參閱此學生教授 對話。已知量用函式描述，未知量根據已知量計算得出，也是函式。

例如

$v(t)=M_{v}\cos(\omega t+\phi _{v})$ 隨時間變化的電壓

這裡 $v(t)$ 是函式的符號。它被分配給符號 $M_{v},\omega ,\phi _{v}$ 和 $t$ 的函式。通常情況下，時間永遠不會被求解。

時間仍然是未知量。此外，所有功率、電壓和電流都變成時間方程。時間不會被求解。由於時間無處不在，它可以從方程中消除。積分和微分變成代數運算，答案可以是純數值（在時間被添加回來之前）。

在最後時刻，時間被重新新增到電壓、電流和功率中，最終的解是一個時間的函式。

本課程中的大多數數學運算都包含以下步驟

1. 在時域內描述已知量和未知量，描述所有方程
2. 將已知量轉換為相量，從方程中消除微分和積分
3. 在相量域內對未知量進行數值或符號求解
4. 將未知量轉換回時域

無源電路輸出類似於輸入

如果線性電路的輸入是正弦波，那麼電路的輸出將是正弦波。具體來說，如果我們有一個電壓正弦波，如下所示

$v(t)=M_{v}\cos(\omega t+\phi _{v})$

那麼線性電路中的電流也將是正弦波，儘管它的幅值和相位可能不同

$i(t)=M_{i}\cos(\omega t+\phi _{i})$

請注意，電壓和電流都是具有相同角頻率但幅值和相位角不同的正弦波。無源電路元件無法改變正弦波的頻率，只能改變幅值和相位。為什麼我們還需要在每個方程中寫出 $\omega$，如果它沒有改變呢？同樣，為什麼我們需要寫出 cos( ) 函式，如果它也沒有改變呢？這些問題的答案是：我們不需要每次都寫這些東西。相反，工程師們發明了一種簡寫方式來表示這些函式，稱為“相量”。

相量變換

相量是一種“變換”。我們正在變換電路數學，使時間消失。想象一下去一個時間不存在的地方。

我們知道，每個函式都可以寫成一系列不同頻率和幅度的正弦波加在一起。（查詢傅立葉變換動畫）。整個世界都可以用正弦波構建。由於正弦波是重複的，所以你觀察它的具體時間並不重要，重要的是你觀察的位置相對於週期的開始位置。這裡，一個正弦波被觀察，它的重複性($\omega$) 被剝離了。剩下的就是相量。由於時間是由圓圈組成的，如果我們只考慮其中的一個圓圈，我們可以進入一個時間不存在、圓圈是“事物”的世界。不要使用“世界”這個詞，使用“域”或“平面”這樣的詞，就像二維空間一樣。

相量域中的數學幾乎與直流電路分析相同。這很方便，因為這意味著你不需要每次想要解決一個電路時都去解微分方程。不同的是，電感器和電容器會產生需要考慮的影響。

變換到相量平面或域以及變換回時間是基於尤拉方程。這就是你過去在數學課上學過複數的原因。

尤拉方程

尤拉公式

尤拉從這三個級數開始。顯然，它們之間存在關係

$\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots$

$\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots$

$e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots$

他做了以下操作

$e^{ix}=1+ix+{\frac {i^{2}x^{2}}{2!}}+{\frac {i^{3}x^{3}}{3!}}+{\frac {i^{4}x^{4}}{4!}}+{\frac {i^{5}x^{5}}{5!}}+\cdots$

$e^{ix}=1+ix-{\frac {x^{2}}{2!}}-i{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+i{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}-i{\frac {x^{7}}{7!}}\cdots$

$e^{ix}=(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots )+i(x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots )$

$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$

令 x = π，則

$e^{i\pi }=-1$

尤拉公式在數學、物理和工程學中無處不在。物理學家理查德·費曼稱這個公式為“我們的寶石”，“數學中最非凡、幾乎令人驚歎的公式之一”。

尤拉公式的更一般形式是

$Me^{j(\omega t+\phi )}=M\cos(\omega t+\phi )+jM\sin(\omega t+\phi )$

這個等式使我們可以將正弦波視為復指數函式。在相量域/平面上，用徑向頻率和相位角表示的電壓、電流或功率的週期函式將變成長度為$\mathbb {C}$（幅度）和角度為$\phi$（相位）的箭頭，或者在複數域/平面上具有實部（$X$）和虛部（$Y$）座標的點。

通常，相量$\mathbb {C}$（可能是電壓、電流或功率）可以寫成

$\mathbb {C} =X+jY$（矩形座標）

$\mathbb {C} =M_{v}\angle \phi$（極座標）

我們可以將點 (X, Y) 繪製在複數平面上，並繪製一條指向它的箭頭，以顯示$X,Y,\mathbb {C}$ 和$\phi$之間的關係。

利用這個事實，我們可以透過函式獲得從複數平面原點到我們的點 (X, Y) 的角度

[角度方程]

$\theta _{C}=\arctan({\frac {Y}{X}})$

並且使用勾股定理，我們可以找到 C 的幅度 - 從原點到點 (X, Y) 的距離 - 為

[勾股定理]

$M_{C}=|\mathbb {C} |={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}$.

相量符號

相量不考慮頻率資訊或偏移量，因此請確保您將頻率和偏移量記錄在安全的地方。

假設在時域中

$v(t)=M_{v}e^{j(\omega t+\phi )}$

在相量域中，此電壓表示如下

$\mathbb {V} =M_{v}\angle \phi$

徑向速度 $\omega$ 從已知函式（不包括導數和積分運算）中消失，並在未知量的時域表示式中重新出現。

不是向量？

有些人認為相量是向量。要注意。相量圖在靈感、數學或概念上都沒有向量空間或場空間那麼豐富。相量只是一個數字，可能是虛數。相量圖用於“解釋”虛數是什麼。相量可以相除、相乘、相加和相減。它們是一維的東西。

相量的數學運算與普通數學完全相同，只是多了虛數。向量需要新的數學運算，比如點積和叉積。例如，北可以除以東，或者從西減去嗎？

更多詳情請參見 http://en.wikipedia.org/wiki/Phasor_(electronics) 或閱讀關於此爭議的資料 https://www.quora.com/What-is-difference-b-w-phasor-diagram-and-vector-diagram

• 向量的點積用於求一個向量在另一個向量上的投影。
• 向量的叉積用於將向量組合成一個垂直於兩者的第三個向量。

這些乘積也適用於相量，比如電機定子和轉子的交流電流相量，其結果是產生了一個轉矩，所有這些都可以透過向量乘積精確表達。

餘弦約定

在本教材中，所有相量都對應於 **餘弦** 函式，而不是 **正弦** 函式。

記住你的相量對映到哪個三角函式很重要。由於相量只包含幅度和相角資訊，因此無法知道給定相量是對映到 sin() 函式還是 cos() 函式。按照慣例，本華夏公益教科書和大多數電子文字/文件都對映到餘弦函式。

如果你得到的是 sin 函式，則透過減去 90 度將其轉換為 cos 函式

$\sin(\omega t+\phi )=\cos(\omega t+\phi -{\frac {\pi }{2}})$

如果你的模擬器要求源以 sin 形式給出，但起點是 cos，則透過加 90 度將其轉換為 sin 函式

$\cos(\omega t+\phi )=\sin(\omega t+\phi +{\frac {\pi }{2}})$

相量概念

在相量域內，概念出現並被命名。電感和電容可以與其導數運算元變換耦合，並顯示為稱為“電抗”的虛阻。電阻和電抗的組合稱為“阻抗”。阻抗可以作為相量進行代數處理，儘管技術上它不是。功率概念，如真實功率、無功功率、視在功率和功率因數，出現在相量域中。相量域中可以進行數值計算。符號可以在相量域中進行操作。

相量數學

有關相量的更多資訊，請參見
附錄

相量數學變成了虛數數學，下面將回顧一下。

相量 A 可以乘以相量 B

[相量相乘]

$\mathbb {A} \times \mathbb {B} =(M_{a}\times M_{b})\angle (\phi _{a}+\phi _{b})$

相角相加，因為在時域中它們是兩個相乘的事物的指數。

[相量相除]

$\mathbb {A} /\mathbb {B} =(M_{a}/M_{b})\angle (\phi _{a}-\phi _{b})$

同樣，相角被視為指數，所以它們相減。

相量的幅度和角度形式不能用於加減法。為此，我們需要將相量轉換為直角座標形式

$\mathbb {C} =X+jY$

以下是將極座標形式（幅度和角度）轉換為直角座標形式（實部和虛部）的方法

$X=M\cos(\phi )$, $Y=M\sin(\phi )$

轉換為直角座標形式後

• 實部相加或相減
• 虛部相加或相減

[相量相加]

$\mathbb {C} =\mathbb {A} +\mathbb {B} =(X_{A}+X_{B})+j(Y_{A}+Y_{B})=X_{C}+jY_{C}$

以下是如何將直角座標轉換為極座標形式

$\mathbb {C} =M_{c}\angle \phi _{c}={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}\angle \arctan({\frac {Y}{X}})$

一旦處於極座標相量形式，就可以很容易地轉換回時域

$\operatorname {Re} (Me^{j(\omega t+\phi )})=M\cos(\omega t+\phi )$

函式變換推導

$g(t)$ 代表電壓、電流或功率。

$g(t)=G_{m}cos(\omega t+\phi )$ 出發點

$g(t)=G_{m}\operatorname {Re} (e^{j(\omega t+\phi )})$ 來自尤拉方程

$g(t)=G_{m}\operatorname {Re} (e^{j\phi }e^{j\omega t})$ 指數定律

$g(t)=\operatorname {Re} (G_{m}e^{j\phi }e^{j\omega t})$ .... $G_{m}$ 是一個實數，所以它可以移動到裡面

$g(t)=\operatorname {Re} (\mathbb {G} e^{j\omega t})$ $....\mathbb {G}$ 是相量的定義，這裡它是 $G_{m}e^{j\phi }$ 的表示式

$g(t)\Leftrightarrow \mathbb {G}$ 其中 $\mathbb {G} =G_{m}e^{j\phi }$

$e^{j\omega t}$項會發生什麼？詳細解答。它會一直保留，直到需要轉換回時域。因為它是一個指數，並且所有相量數學都是與指數相關的代數，所以最終的相量可以乘以它。然後表示式 的實部將是時域解。

時域	變換	相量域
$Acos(\omega t)$	$\Leftrightarrow$ 證明	$A$
$Asin(\omega t)$	$\Leftrightarrow$ 證明	$-Aj$
$Acos(\omega t)+Bsin(\omega t)$	$\Leftrightarrow$	$A-Bj$
$Acos(\omega t)-Bsin(\omega t)$	$\Leftrightarrow$	$A+Bj$
$Acos(\omega t+\phi )$	$\Leftrightarrow$ 證明	$Acos(\phi )+Asin(\phi )j$
$Asin(\omega t+\phi )$	$\Leftrightarrow$ 證明	$Asin(\phi )-Acos(\phi )j$
$Acos(\omega t-\phi )$	$\Leftrightarrow$ 證明	$Acos(\phi )-Asin(\phi )j$
$Asin(\omega t-\phi )$	$\Leftrightarrow$ 證明	$-Asin(\phi )-Acos(\phi )j$

在所有上述情況下，請記住 $\phi$ 是一個常數，在大多數情況下是一個已知值。 因此，相量在大多數計算中是一個複數。

在“相量微積分”中討論了與導數相關的另一種變換。

將微積分運算子轉換為相量

當正弦量表示為相量時，微分方程變為代數。 這一結果源於以下事實：復指數是操作的特徵函式

${\frac {d}{dt}}(e^{j\omega t})=j\omega e^{j\omega t}$

也就是說，只有複數幅度會因導數運算而改變。 對上述等式的兩邊取實部，得到熟悉的結論

${\frac {d}{dt}}\cos {\omega t}=-\omega \sin {\omega t}\,$

因此，正弦量的導數，當轉化為相量域時，變為代數

${d \over dt}i(t)\rightarrow j\omega \mathbb {I}$ (j 是 -1 的平方根或虛數)

類似地，當轉化為相量域時，時間積分是

$\int V(t)dt\rightarrow {\frac {\mathbb {V} }{j\omega }}$

在翻譯回時域時，將不得不處理一個積分常數。 它不會消失。

以上適用於電壓、電流和功率。

問題是為什麼這有效？ 證明在哪裡？ 讓我們做三遍：一次針對電阻，然後是電感，最後是電容。 透過端子的電流和電壓的符號為： $V_{m}cos(\omega t+\phi _{v})$ 和 $I_{m}cos(\omega t+\phi _{I})$

電阻端子方程

$V=RI$ . 端子關係

$V_{m}cos(\omega t+\phi _{V})=RI_{m}cos(\omega t+\phi _{I})$ .. 替換示例函式

$V_{m}e^{\omega t+j\phi _{V}}=RI_{m}e^{\omega t+j\phi _{I}}$ .. 尤拉形式的端點關係式

$V_{m}e^{\omega t}e^{j\phi _{V}}=RI_{m}e^{\omega t}e^{j\phi _{I}}$ .. 指數運算定律

$V_{m}{\cancel {e^{\omega t}}}e^{j\phi _{V}}=RI_{m}{\cancel {e^{\omega t}}}e^{j\phi _{I}}$ .. 等號兩邊做相同的操作

$V_{m}e^{j\phi _{V}}=RI_{m}e^{j\phi _{I}}$ .. 時域結果

$\mathbb {V} =R\mathbb {I}$ .. 相量表達式

只需將電壓和電流表示為相量形式，然後代入方程，即可將方程遷移到相量域。

電感端點方程

$V=L{\frac {d}{dt}}I$ ... 端點關係式

$V_{m}cos(\omega t+\phi _{V})=L{\frac {d}{dt}}(I_{m}cos(\omega t+\phi _{I}))$ .. 代入一般的正弦函式

$V_{m}cos(\omega t+\phi _{V})=-\omega LI_{m}sin(\omega t+\phi _{I})$ .. 求導

$-sin(\omega t+\phi _{I})=cos(\omega t+\phi _{I}+{\frac {\pi }{2}})$ .. 三角函式

$V_{m}cos(\omega t+\phi _{V})=\omega LI_{m}cos(\omega t+\phi _{I}+{\frac {\pi }{2}})$ .. 代入

$V_{m}\operatorname {Re} (e^{j(\omega t+\phi _{V})})=\omega LI_{m}\operatorname {Re} (e^{j(\omega t+\phi _{I}+{\frac {\pi }{2}})})$ 根據尤拉公式

$V_{m}\operatorname {Re} (e^{j\omega t}e^{j\phi _{V}})=\omega LI_{m}\operatorname {Re} (e^{j\omega t}e^{j\phi _{I}}e^{j{\frac {\pi }{2}}})$ 指數律

$\operatorname {Re} (V_{m}e^{j\phi _{V}}{\cancel {e^{j\omega t}}})=\operatorname {Re} (e^{j{\frac {\pi }{2}}}\omega LI_{m}e^{j\phi _{I}}{\cancel {e^{j\omega t}}})$ ... 實數可以移到運算子內部

$e^{j{\frac {\pi }{2}}}=cos({\frac {\pi }{2}})+j*sin({\frac {\pi }{2}})=j$ ... 代入上式

$\mathbb {I} =I_{m}e^{j\phi _{I}}$ 和 $\mathbb {V} =V_{m}e^{j\phi _{V}}$ .. 代入上式

兩邊約去 $e^{j\omega }$ 項

$\operatorname {Re} (\mathbb {V} e^{j\omega t})=\operatorname {Re} (j\omega L\mathbb {I} e^{j\omega t})$ ... 相量定義

$\mathbb {V} =j\omega L\mathbb {I}$ ... 方程轉換為相量域

結論：將電壓和電流寫成相量形式，用 $j\omega$ 替換 ${\frac {d}{dt}}$ ，將方程轉換為相量域。

電容器端點方程

電容器基本相同，V 和 I 交換位置，C 代替 L。

$I=C{\frac {d}{dt}}V$ ... 端點關係式

$I_{m}cos(\omega t+\phi _{I})=C{\frac {d}{dt}}(V_{m}cos(\omega t+\phi _{V}))$ .. 將一個通用的正弦函式代入

$I_{m}cos(\omega t+\phi _{I})=-\omega CV_{m}sin(\omega t+\phi _{V})$ .. 求導

$-sin(\omega t+\phi _{V})=cos(\omega t+\phi _{V}+{\frac {\pi }{2}})$ .. 運用三角函式

$I_{m}cos(\omega t+\phi _{I})=\omega CV_{m}cos(\omega t+\phi _{V}+{\frac {\pi }{2}})$ .. 代入

$I_{m}\operatorname {Re} (e^{j(\omega t+\phi _{I})})=\omega CV_{m}\operatorname {Re} (e^{j(\omega t+\phi _{V}+{\frac {\pi }{2}})})$ 運用尤拉公式

$I_{m}\operatorname {Re} (e^{j\omega t}e^{j\phi _{I}})=\omega CV_{m}\operatorname {Re} (e^{j\omega t}e^{j\phi _{V}}e^{j{\frac {\pi }{2}}})$ 指數運算定律

$\operatorname {Re} (I_{m}e^{j\phi _{I}}{\cancel {e^{j\omega t}}})=\operatorname {Re} (e^{j{\frac {\pi }{2}}}\omega CV_{m}e^{j\phi _{V}}{\cancel {e^{j\omega t}}})$ .... 實數可以移入

$e^{j{\frac {\pi }{2}}}=cos({\frac {\pi }{2}})+j*sin({\frac {\pi }{2}})=j$ ... 代入上式

$\mathbb {V} =V_{m}e^{j\phi _{V}}$ 和 $\mathbb {I} =I_{m}e^{j\phi _{I}}$。代入上面的公式。

兩邊約去 $e^{j\omega }$ 項

$\operatorname {Re} (\mathbb {I} e^{j\omega t})=\operatorname {Re} (j\omega C\mathbb {V} e^{j\omega t})$ .... 相量定義

$\mathbb {I} =j\omega C\mathbb {V}$ .... 方程轉換到相量域。

結論：將電壓和電流寫成相量形式，用 $j\omega$ 替換 ${\frac {d}{dt}}$ ，將方程轉換為相量域。

總而言之，所有端點關係都有$e^{j\omega }$ 項抵消。

$V_{m}e^{j\phi }{\cancel {e^{j\omega t}}}=I_{m}e^{j\phi }{\cancel {e^{j\omega t}}}*R$

$\mathbb {V} =\mathbb {I} R$

$V_{m}e^{j\phi }{\cancel {e^{j\omega t}}}=I_{m}e^{j\phi }{\cancel {e^{j\omega t}}}*j\omega *L$

$\mathbb {V} =\mathbb {I} j\omega L$

$I_{m}e^{j\phi }{\cancel {e^{j\omega t}}}=V_{m}e^{j\phi }{\cancel {e^{j\omega t}}}*j\omega *C$

$\mathbb {I} =\mathbb {V} j\omega C$

這種探究/邏輯/思考路徑的有趣之處在於，一個新的概念出現了。

器件	${\frac {\mathbb {V} }{\mathbb {I} }}$	${\frac {\mathbb {I} }{\mathbb {V} }}$
電阻器	$R$	${\frac {1}{R}}$
電容	${\frac {1}{j\omega C}}$	$j\omega C$
電感	$j\omega L$	${\frac {1}{j\omega L}}$

沒有抵消的 $j\omega$ 項來自終端關係中的導數項。這些導數項與電容器和電感器本身有關，而不是與電源有關。雖然導數作用於電源，但導數產生的獨立器件（電容器或電感器）在變換後仍然保留其特性！因此，如果我們將驅動力的表示式保留為 ${\frac {output}{input}}$ 的形式，我們可以分別考慮等式另一側作為函式！這些函式有一個名稱...傳遞函式。當我們根據 R、L 和 C 分析電壓/電流比時，我們可以將 $\omega$ 掃描各種驅動源頻率，或保持頻率恆定並掃描各種電感值......我們可以分析電路的響應！

注意：傳遞函式是本課程的完整部分。它們也會出現在機械工程控制系統課程中。兩者之間存在相似之處。越過顛簸就像湧浪或尖峰。越過路邊就像開啟電路。當機械工程師研究振動時，他們會處理正弦驅動函式，但他們處理的是三維物體，而不是像我們本課程中的一維物體。

相量域到時域

回到時域非常簡單。在相量域中完成方程並找到 $\mathbb {V}$ 和 $\mathbb {I}$ 之後，目標是將它們轉換為 $V$ 和 $I$。

相量解將具有形式 $\mathbb {G} =A+Bj=G_{m}e^{j\phi }$，你現在應該能夠在兩種形式的解之間進行轉換。然後

$G=\operatorname {Re} (\mathbb {G} e^{j\omega t})=\operatorname {Re} (G_{m}e^{j\phi }e^{j\omega t})=\operatorname {Re} (G_{m}e^{j(\omega t+\phi )})=G_{m}cos(\omega t+\phi )$

如果相量數學中涉及積分，則需要在時域解中新增一個常數。時間常數由初始條件計算得出。如果解不涉及微分方程，則時間常數立即計算得出。否則，解被視為特解，並在找到齊次解的幅度後計算時間常數。有關更多詳細資訊，請參見 相量示例。

未涵蓋的內容

還有另一種思考電路的方法，其中電感器和電容器是復阻抗。這個想法是

阻抗 = 電阻 + j * 電抗

或者用符號表示

$Z=R+j*X$

這裡導數附加到電感和電容上，而不是像我們之前那樣附加到端子方程上。這將解決電路問題的數學運算分成更小的部分，更容易檢查，但它使符號解更加複雜，並且由於中間計算，會導致數值解誤差累積。

相量概念無處不在。如果您參與涉及“短截線”的微波專案或涉及“載入線圈”的天線專案，您遲早需要學習它...... 這樣的例子不勝列舉。

這裡我們的目標是避免使用電導、電抗、阻抗、電納和導納的概念，並避免在嘗試將相量數學與微積分和拉普拉斯變換進行比較時，將這些概念聯絡起來所帶來的混淆。

相量表示法

記住，相量代表一個可以用多種方式表示的單一值。

$\mathbb {C} =M\angle \phi$ "極座標表示"

$C=Me^{j(\omega t+\phi )}$ "指數表示"

$\mathbb {C} =A+jB$ "直角座標表示"

$C=M\cos(\omega t+\phi )+jM\sin(\omega t+\phi )$ "時域表示"

這 4 種表示法僅僅是表示同一事物的不同方式。

相量符號

在黑板上或紙上書寫時，使用帽子${\hat {V}}$ 來表示相量。注意書籍和網上的符號可能會有所不同。

• $\mathbb {V}$（我們在本維基百科中使用的大膽的塊字母）
• ${\bar {V}}$（“條”表示法，由維基百科使用）
• ${\vec {V}}$（不好... 為向量保留... 向量箭頭表示法）
• ${\tilde {V}}$（一些教科書）
• ${\hat {V}}$（一些教科書）

微分方程

相量生成特解

相量可以代替微積分，可以代替拉普拉斯變換，可以代替三角函式。但有一點它們做不到：初始條件/積分常數。在用相量和拉普拉斯或相量和微積分解題時，答案之間的差異將是一個積分常數。

本課程中微分方程的求解分為三個步驟

• 找到特解...... 對驅動函式的特定解...... 對電壓源或電流源的特定解
• 找到齊次解...... 無論驅動函式是什麼，解都是一樣的...... 研究電路中初始能量不平衡如何達到平衡的解
• 根據初始條件確定係數，即積分常數

相量不生成積分常數

積分常數不會出現在相量解中。但它們將出現在相量解的拉普拉斯和微積分替代方案中。如果要解出完整的微分方程，那麼必須注意相量在何處未能為未知積分常數建立符號...... 積分常數在第三步中計算出來。

相量是用來找到特定交流解的技術。積分常數記錄了電路中初始直流偏置或能量差。找到這些常數首先需要找到齊次解，它處理了電容器在電路首次通電時可能被充電也可能不被充電的事實。相量並不能完全取代微分方程的步驟。相量只是取代了第一步：尋找特解。

微分方程回顧

目標是使用相量、微積分和拉普拉斯變換來求解一階和二階常微分方程（ODE）。這樣，相量解就可以與先修或並修數學課程的內容進行比較。目標是使用諸如Matlab和MuPAD/Mathematica/WolframAlpha之類的數值和符號工具來解決這些問題。如果你已經修過微分方程課程，這只是一個快速回顧。

最重要的是理解函式的本質。三角函式、微積分、拉普拉斯變換和相量都與函式相關，而不是代數。如果你不理解代數和函式之間的區別，也許這個學生教授對話能幫到你。

我們從終端定義、迴路和節點的方程開始。這些代數方程中的每個符號都是一個函式。我們不是變換方程，而是變換這些方程中的函式。這些方程中出現各種運算子，包括 + - * / 和 ${\frac {d}{dt}}$。第一個表格重點介紹了對這些運算子的變換，第二個表格重點介紹了對函式本身的變換。

拉普拉斯變換的真正強大之處在於它消除了積分和微分運算子。然後函式本身可以被變換。然後未知數可以用簡單的代數找到。然後函式可以被變換回時域函式。

以下是一些性質和定理，它們是用來變換這門課中常見的正弦電壓、功率和電流所需要的。

拉普拉斯運算子變換

單邊拉普拉斯變換的性質

	時域	's' 域	註釋
時間縮放	$f(at)$	${\frac {1}{|a|}}F\left({s \over a}\right)$	用來弄清楚$\omega$ 如何影響方程
時間移位	$f(t-a)u(t-a)\$	$e^{-as}F(s)\$	u(t) 是單位階躍函式，用於弄清楚$\phi$ 相位角
線性	$af(t)+bg(t)\$	$aF(s)+bG(s)\$	可以使用積分的基本規則來證明。
微分	$f'(t)\$	$sF(s)-f(0)\$	假設 f 是一個可微函式，其導數是指數型別的。這可以透過分部積分得到。
積分	$\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau =(u*f)(t)$	${1 \over s}F(s)$	最後也會出現一個常數。

拉普拉斯函式變換

以下是一些在本課程中需要的變換。

函式	時域 $f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}$	拉普拉斯 s 域 $F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}$	收斂域	參考
指數衰減	$e^{-\alpha t}\cdot u(t)\$	${1 \over s+\alpha }$	Re(s) > −α	頻率偏移 單位階躍
指數逼近	$(1-e^{-\alpha t})\cdot u(t)\$	${\frac {\alpha }{s(s+\alpha )}}$	Re(s) > 0	單位階躍減去 指數衰減
正弦	$\sin(\omega t)\cdot u(t)\$	${\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}$	Re(s) > 0
餘弦	$\cos(\omega t)\cdot u(t)\$	${s \over s^{2}+\omega ^{2}}$	Re(s) > 0
指數衰減 正弦波	$e^{-\alpha t}\sin(\omega t)\cdot u(t)\$	${\omega \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$	Re(s) > −α
指數衰減 餘弦波	$e^{-\alpha t}\cos(\omega t)\cdot u(t)\$	${s+\alpha \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$	Re(s) > −α