符號、變數、代數、函式、等號和運算子

學生：變數用符號表示。變數可以是已知的或未知的。當變數已知時，它們會被賦予一些值。我理解這一點。當我檢視相量和拉普拉斯變換表時，我感到困惑。什麼是函式？

教授：變數不是“被賦予一些值”。變數被賦值（== := 或 '='）一個函式。代數問題是透過將數字代入已知值來解決的。在這種情況下，一個數值常數函式，例如 $100$ 被代入了。但“函式”這個詞從未被使用過，…是有意的。

函式是兩組值之間的對映。對映指的是一種對應關係。例如，考慮實數的平方函式。

第一組包含我們允許進行平方運算的數字。我們小心地為正在討論的函式定義了這個集合。這個集合被稱為函式的定義域。

第二組包含所有可以作為實數平方的數字。這個集合被稱為函式的陪域。我們知道從平方函式的性質來看，這個集合包含正實數。

這兩個集合都包含無限多個值。

除了定義域和陪域的定義外，函式還具有一個規則，該規則將定義域中的每個值與陪域中的一個值關聯起來。這就是我所說的對映。如果我知道定義域中的某個值，例如 4.0，那麼我知道它在陪域中的對應值，這裡為 16.0。

這個規則可以用多種方式給出：

透過一個表格，將定義域的值列在一列中，將陪域中的相關值列在另一列中。但是，這僅適用於有限集。

透過一個演算法，即對將定義域中的一個值轉換為其在陪域中的對應值的過程進行描述。例如，將數字乘以它本身。

透過代數表示式。這裡，如果

x

是定義域中的一個值，並且

y

是陪域中的一個值，那麼該規則可以用一個方程表示：

y==x*x

因此，函式也可以描述為一種對應關係，例如 $120*cos(377t+4\pi /3)$ 。這裡，兩個不同的對應關係被賦予 $v_{S}$

V_{S}==100

... 一個常數函式

V_{S}==120*cos(377t+4\pi /3)

... 一個隨時間變化的函式

學生：上面的時間 $t$ 不是一個變數嗎？上面的 $V_{S}$ 現在不是一個方程嗎？時間難道不是一個透過數學運算出現的未知數，它也出現在解中嗎？

教授：不。時間是函式的一個引數。作為一種對映，函式本身存在。變數名是一個符號。符號被賦值了一個函式。方程通常不會以時間為自變數來求解電阻和電感。時間通常是函式對映的自變數。

學生：為什麼不針對某個特定時間值來求解問題呢？

教授：問題可以有三種類型的答案：

數值 ... 這是你最熟悉的 ... 選擇一個時間數值，然後代入

符號 ... 與數值類似，但不使用小數，用符號

pi

和符號或整數的比率表示

函式 ... 答案是時間的函式 ... 可以代入特定時間值，但是作為函式的答案可以比單個數字更好地生成直覺、預測未來並透過圖表進行傳達。

學生：好的。C = 1、C = 1 + D 和 C = cos(377D + 1.14) 之間有什麼區別？

教授：這取決於上面等號的含義。等號有兩個可能的含義：

函式賦值

函式之間的關係或方程

這就是為什麼所有計算機程式都開始使用等號。像 C 或 perl 這樣的程式語言使用 == 來評估表示式是否為真或假，並使用 = 來賦值或定義函式。像 MatLab 或 Mathematica 這樣的程式則相反。

等號本身意味著一件事：它表示兩件事具有相同的值。雙等號或冒號等號意味著另一件事：它表示等號右側表示式產生的值被賦值給等號左側的符號。數學有兩個基本活動：

可以求值成一個數字、一個東西的函式

關聯值的方程

學生：你沒有回答我的問題。

教授：C = 1 可以是將常數函式 1 分配給符號 C，也就是說，C 的值始終為 1。或者 C = 1 可以是一個代數方程式，根據當前 C 的值，這個方程式要麼為真，要麼為假--如果 C 的當前值為 2，那麼這個方程式就為假。其他表示式包含符號 D。這並不會改變每個表示式都可以用兩種不同的方式解釋的事實。我有一個問題要問你。你的等號代表什麼？

學生：我不知道。我怎麼會不理解這個問題就進行到這一步了呢？

教授：你一生大部分時間都在學習初等代數。代數有很多種。語法、音樂，甚至藝術都可以被認為是一種代數。函式沒有與代數一起學習。

函式是事物。它們比代數更基礎。函式可以用其他函式來定義。等號並不意味著你可以對看起來像代數方程兩邊的任何東西做相同的事情。左邊通常是新的函式，右邊是正在組合的其他函式的集合。

我認為你在腦海中試圖將代數和函式合二為一。現在你被要求將兩者分開。三角函式是你對函式的介紹。函式是你需要熟悉的一種強大的工具。一些程式語言，例如Scheme、Haskell和FP，試圖用函式的概念來完成所有事情。

學生：好吧。我放棄了。代數和函式是不同的。我學習的第一個函式是什麼？

教授：你可能學習的第一個函式是三角函式或圓函式。記住，函式是一個事物，一個對映，一個對現實的描述。它不是代數。我們可以用函式進行代數運算，就像我們用數字進行代數運算一樣。我們可以得到以函式為解的方程，就像我們可以得到以數字為解的方程一樣。我們可以得到以符號為解的方程，在某些情況下，這些符號可以是函式或數字。

學生：好吧。假設 $y=sin(x)$ ，或者用你的語言來說，符號“y”被分配了函式 sin(x)。那麼 $csc={\frac {1}{sin}}$ 是什麼？為什麼 $csc$ 有一個特殊的名稱？

教授： $csc$ 是一個函式，而不是一個變數。 $csc$ 是一個新的函式，它用之前定義的函式來定義。這個“運算”被稱為倒數或乘法逆元。

$csc$ 作為一個概念，早於計算器和計算機。它作為一個計算輔助工具存在，並且是學習用手進行物理數字運算的一部分。現在它不再被大量使用，儘管仍然有一些非常貧窮的國家教他們最好的學生如何記憶三角函式表。

學生：好吧。倒數。有點像 ${\frac {1}{x}}$ 。那麼什麼是 $arcsin$ 或 $sin^{-1}$ ？

教授： $sin^{-1}$ 是個不好的記號，因為如果 $sin^{2}$ 表示一個函式乘以自身，那麼從邏輯上講， $sin^{-1}$ 的記號幾乎等同於 $csc$ 。不幸的是 $arcsin$ 則描述了另一種對函式的操作。這個操作“arc”被稱為逆函式或複合逆。逆函式可以“撤銷”當前函式。它將原始函式的陪域對映到原始函式的定義域。在乘法逆和

g(x)={\frac {1}{f(x)}}

以及逆函式之間存在很多混淆

f^{'}(f(x))=x

學生：好的。乘法逆和逆函式是不同的東西。那麼平方根呢？它是平方一個數的“逆函式”嗎？

教授：不。平方根是平方運算的代數相反運算。它不是逆函式，因為答案可能是 2 或 -2。沒有唯一的對映。但是可以透過將新陪域定義為正實數集來建立一個平方函式的逆函式。

在這裡，英語讓我們感到困惑。“逆”這個詞在兩種不同的上下文中使用。在代數意義上，這個詞指的是相反的運算，比如加法和減法，或者乘法和除法。在討論函式時，它指的是一個反轉原始函式效果的運算。

學生：你一直在介紹新詞。“運算子”是什麼，它對函式執行“運算”？

教授：在初等代數中，+ 和 - 被稱為運算子。在函式上下文中，運算子的定義是針對函式執行的操作，該操作會建立一個新函式。我們上面已經討論了乘法逆運算和逆函式運算之間的區別。在代數和函式的上下文中，必須明確“逆”和“運算”的精確含義。在微積分中，你瞭解了極限運算與導數和逆導數（積分）運算之間的相似之處。

這門課的一個目標是理解稱為卷積的“運算”，它使用一種積分型別將兩個函式組合在一起。

學生：我們為什麼要討論這個？這與相量和拉普拉斯變換有什麼關係？

教授：如果不理解代數和函式之間的區別，就很難理解相量或拉普拉斯表表示什麼。到目前為止，我們一直在使用代數運算（有一些區別）將函式組合成新的函式。

“變換”這個詞用於表示更復雜的對映。通常的目標是找到一種捷徑，以便可以用更簡單的方式手動完成數學運算。變換通常涉及完全改變引數符號，變換函式和變換運算。

變換通常涉及表格，而不是線性方程式。相量變換從本質上來說並不是真正的變換。時間只是被封裝起來，以便在計算過程中可以被忽略，並在最後才插入。而且所有相量對映都是線性的。拉普拉斯變換和傅立葉變換是對引數符號和運算子的對映。