電路理論/卷積積分/例項/example48

求1歐姆電阻上的電壓...很明顯它是V_t的一半或V_r...最終V_t是1歐姆電阻上的電壓

已知V_s(t) = 3μ(t) mV，I_L(0_-) = 1 mA，求1歐姆電阻上的電壓。

概要

• 求傳遞函式/微分方程
• 求齊次解
• 求階躍函式的特解
• 求初始條件
• 從階躍函式解中求脈衝解
• 用卷積積分求通解
• 求積分常數

傳遞函式

從觀察中可以看到以下內容

$V_{TR}=V_{R}={\frac {V_{T}}{2}}$

所以

$H(s)={\frac {V_{tr}}{V_{s}}}={\frac {V_{tr}}{V_{s}}}={\frac {V_{T}}{V_{s}}}{\frac {V_{tr}}{V_{T}}}={\frac {1}{1+s}}*{\frac {1}{2}}$

齊次解

將分母設定為零，可以看到時間常數為-1。因此解的形式為

$V_{TR_{h}}=A*e^{-t}+C_{1}$

特解

經過長時間連線到直流電源後，電感器表現為短路。這意味著所有的3mV都將落在相當於1歐姆電阻的阻抗上。其中的一半將是V_TR。所以特解將是

$V_{TR_{p}}=1.5mV$

初始條件

初始電流將是1 mA。這將由1歐姆電阻產生V_T，因此V_T(0₊) = 1 mV，V_TR將是0.5 mV。這意味著

$V_{TR}(t)=A*e^{-t}+C_{1}+1.5mV$

$V_{TR}(0)=0.5mV=A+C_{1}+1.5mV$

$A+C_{1}=-1mV$

電感器配合電路的其他部分，並降下另外2mV，這樣電源就可以正常工作。這是另一個初始條件的來源。首先必須將V_TR轉換為總電流的表示式，也就是電感器電流

$i_{TR}={\frac {V_{TR}}{1}}=V_{TR}$

由於電流在透過電阻器時被分成兩半，因此總電流是 i_{TR} 的兩倍。

$i_{L}=2*V_{TR}=2*(A*e^{-t}+C_{1}+1.5m)$

從電感端子關係式中可知，該時間的導數乘以電感將等於電感上初始的 2 mV。

$V_{L}(t)=L*{di_{L} \over dt}=L*-2Ae^{-t}$

$V_{L}(0)=2m=L*-2A=-2*A$

$A=-1m$

這意味著 C₁ 為零。所以答案是

$V_{TR}=1.5-e^{-t}mV$