電路理論/傅立葉變換

約瑟夫·傅立葉，傅立葉變換以他的名字命名，是一位為拿破崙工作的著名數學家。

本課程從相量開始。我們學習瞭如何將正弦電壓源之類的強迫函式轉換為相量。為了處理更復雜的強迫函式，我們轉向了複頻率。這使我們能夠處理以下形式的強迫函式

$e^{st}\cos(\omega t+\phi )$

其中s為

$s=\sigma +j\omega$

卷積積分可以做任何事。

在過程中，“s”開始將微積分運算子轉換回代數。在復域中，“s”可以重新附加到電感器和電容器，而不是強迫函式。傳遞函式幫助我們使用“s”來捕捉電路的物理特性。

這對設計在單個頻率ω下工作的電路來說很好。但是，對於在各種頻率下工作的電路呢？遙控汽車可能在27mhz下執行，但是當按下控制按鈕時，頻率可能會增加或減少。或者幅度可能會增加或減少。或者相位可能會發生變化。所有這些都會發生在手機通話或wifi/藍牙/xbee/AM/FM/無線電視等中。

單個電路如何響應這些變化？

傅立葉分析

傅立葉分析說我們不需要回答上面所有問題。只需要回答/設計一個問題。由於任何函式都可以轉換為一系列相加的正弦波，那麼讓電路在各種omega範圍內掃描可以預測它對任何特定組合的響應。

所以從這裡開始，我們去掉指數項，回到相量。

將σ設為0

$s=j\omega$

變數ω被稱為“角頻率”或頻率。利用它，我們可以為共享空氣的所有手機設計電路，以及將多個頻道打包到一條黑色電纜中的機頂盒。在傳輸或接收期間，每次語音或畫素變化都可以在此框架內設計。所需要的只是掃描正弦電壓或電流源可以產生的所有頻率。

分析停留在頻域。由於一切都在時間上重複，因此從設計的角度來看，沒有必要回到時間。

角頻率

在傅立葉變換中，值$\omega$被稱為角頻率，其單位為弧度/秒（rad/s）。人們可能更熟悉變數f，它被稱為“頻率”，用赫茲（Hz）為單位。轉換如下進行

$\omega =2\pi f$

例如，如果給定的交流電源的頻率為60 Hz，則產生的角頻率為

$\omega =2\pi f=2\pi (60)=120\pi$

傅立葉域

然後，傅立葉域被分成兩個不同的部分：幅度圖和相點陣圖。幅度圖以jω為橫軸，以變換的幅度為縱軸。記住，我們可以計算復值C的幅度，如下所示

$C=A+jB$

$|C|={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}$

相點陣圖以jω為橫軸，以變換的相位值為縱軸。記住，我們可以計算復值的相位，如下所示

$C=A+jB$

$\angle C=\tan ^{-1}\left({\frac {B}{A}}\right)$

儘管存在一些抽象關係，傅立葉變換的相位和幅度值可以被視為獨立的值。每個傅立葉變換都必須包含一個相位值和一個幅度值，否則它無法被唯一地轉換回時域。

電路的幅度和相位響應圖的組合，以及一些特殊的格式和解釋方法被稱為伯德圖。