電路理論/聯立方程/示例 2

找出所有未知電壓和電流。

標號

目標是標記未知數和已知數。原始問題已經建立了符號 $I1,R1{\text{ and }}R2$ 並賦予了它們值。它們似乎是已知數。此時標記的未知數是 $V_{1},i_{R1}{\text{ and }}i_{R2}$ .

迴路

此電路中存在兩個平凡迴路。每個迴路中有兩個元件共享相同的電壓 $V_{1}$ 。實際上，電路中的所有三個元件（兩個電阻和電流源）都共享相同的電壓。任何編寫的方程都必須為每個元件指定一個單獨的電壓符號，然後說明它們彼此相等。

接下來，將與電壓相關的 + 和 - 放置在電壓符號附近，即使所有三個器件都共享相同的極性。

節點

電路中有兩個節點。底部節點標為接地。頂部節點標為 $J_{1}$ .

選擇兩個電流方向是為了使電流流入無源器件和反應式器件（電阻、電容和電感器）的 + 側。

電流源的電壓極性無關緊要，因為電流源會改變電壓以保持恆定電流。

重要的是要記住，此時電流方向和電壓極性反映的是電路配置。它們不是對最終值極性的猜測。

方程數

第一步是列出變數以及它們是已知數還是未知數。
$I_{1}=1amp$
$R_{1}=100ohm$
$R_{2}=50ohm$
$V_{1}=?volt$
$i_{R1}=?amp$
$i_{R2}=?amp$

所以有三個未知數，需要三個方程。

端點方程

有兩個器件可以寫出端子方程。
$TR1:v_{1}=i_{R1}*R_{1}$
$TR2:v_{1}=i_{R2}*R_{2}$

電源沒有端子方程。

迴路方程

沒有迴路，因此沒有迴路方程。如果要計算三個平凡迴路，將有三個電壓：每個元件（兩個電阻和電源）上的電壓。此時，必須編寫三個平凡方程，說明它們都相等（取決於方向）。

節點方程

有一個節點方程
$J1:{\text{ }}I_{1}-i_{R1}-i_{R2}=0$

源電流為正，使用了“流入節點的電流為正，流出節點的電流為負”規則。我們可以使用相反的邏輯得出相同的公式。兩者都以相同的方式捕獲電路拓撲。

求解方程

三個方程是
${\begin{cases}TR1:{\text{ }}v_{1}=i_{R1}*R_{1}\\TR2:{\text{ }}v_{1}=i_{R2*}R_{2}\\J1:{\text{ }}I_{1}-i_{R1}-i_{R2}=0\end{cases}}$

代數

求解概述

求解TR:1和TR:2得到電流，代入L1:，求解未知量 $V_{1}$
將電流解代入TR:1和TR:2，求解未知量 $i_{R1}i_{R2}$
將已知值代入符號以獲得數值解。

代數解

$v_{1}={\frac {I_{1}}{{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}}}$
$i_{R1}={\frac {I_{1}*{\frac {1}{R_{1}}}}{{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}}}$
$i_{R1}={\frac {I_{1}*{\frac {1}{R_{2}}}}{{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}}}$

代數數值解

$v_{1}={\frac {1}{{\frac {1}{100}}+{\frac {1}{50}}}}={\frac {100}{3}}=33.3volts$
$i_{R1}={\frac {1*{\frac {1}{100}}}{{\frac {1}{100}}+{\frac {1}{50}}}}={\frac {1}{3}}=0.333amps$
$i_{R1}={\frac {1*{\frac {1}{50}}}{{\frac {1}{100}}+{\frac {1}{50}}}}={\frac {2}{3}}=0.667amps$

這是一個簡單的問題。但目標是練習我們所有的數學工具。其中一種或多種工具將來會讓我們失敗。目標是現在體驗每種工具的成功，這樣我們就知道失敗是什麼樣子。

微分方程

這個問題中沒有微分方程，但本課程的四分之三內容都是關於這種複雜電路，使用電容和電感器而不是電阻，並觀察微分方程。

符號計算

Wolfram Alpha

點選上面的連結，進入 Wolfram 網站，檢視輸入的語法和答案。注意以下幾點

Wolfram Alpha 不能處理“i”，可能認為它是虛數。不得不切換到“k”。
Wolfram Alpha 不能處理雙下標，從 R1 切換到 2，從 R2 切換到 3。

一個不能解釋我們符號的自然語言、符號直譯器有什麼用？幸運的是 MuPad 可以。事實上，它遵循了這個解決方案的概述。

MuPad

MuPAD 從將內部符號設定為表示符號開始。然後要求它根據未知數列表求解一組線性方程。這將給出變數形式的解。

然後將常數的值提供給 MuPAD，並要求它重新評估線性方程。這將生成分數和 $\pi$ 等符號的符號解。

最後，告訴 MuPAD 求數值解而不是符號解。手冊中提到，與在 MatLab 中進行等效操作相比，這需要更長的時間。

數值解

Matlab 矩陣輸入，用於求解三個方程、三個未知數的線性代數問題.. 點選這裡獲取要剪下和貼上的文字

設定解決方案的步驟

將已知值代入方程

${\begin{cases}TR1:{\text{ }}v_{1}=100*i_{R1}\\TR2:{\text{ }}v_{1}=50*i_{R2}\\L1:{\text{ }}1-i_{R1}-i_{R2}-1=0\end{cases}}$

整理方程，使未知數位於列中，數字位於等號右側

${\begin{cases}TR1:{\text{ }}v_{1}-100*i_{R1}+0=0\\TR2:{\text{ }}v_{1}+0-50*i_{R2}=0\\L1:{\text{ }}0+i_{R1}+i_{R2}=1\end{cases}}$

建立兩個矩陣，一個方陣，另一個列向量，包含等號右側的數字。

{\begin{array}{|c|c|c||c|}v_{1}&i_{R1}&i_{R2}&=\\\hline 1&-100&0&0\\1&0&-50&0\\0&1&1&1\\\end{array}}

\Rightarrow

{\begin{bmatrix}1&-100&0\\1&0&-50\\0&1&1\end{bmatrix}}

\bullet

{\begin{bmatrix}v_{1}\\i_{R1}\\i_{R2}\end{bmatrix}}

=

{\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}

將矩陣輸入到MatLab或類似的程式中。

{\begin{bmatrix}v_{1}\\i_{R1}\\i_{R2}\end{bmatrix}}

=

{\begin{bmatrix}33.3\\0.333\\0.667\end{bmatrix}}

模擬

目標是在www.circuitlab.com 上進行模擬。點選該連結並點選底部的模擬按鈕。將滑鼠移動到電路周圍。

電阻器：流入 100 歐姆和 50 歐姆電阻頂部（正極）的電流為正，並且具有預測的值。電壓是預測的值。

電壓相對於接地而言。電源頂部和電阻器頂部的電壓相同，因為它們都並聯。

電源：電源則相反。電流從電源頂部 (A) 流出，標記為負，即使符號箭頭向上。這是因為電流從電源正極流出（與電阻器相反）。這意味著電源正在向電路中注入能量。

功率計算

電壓和電流是恆定的。

$P=i*v$
$P_{source}+P_{R1}+P_{R2}=0$
$(-1)*33.3+(.333)*33.3+(.667)*33.3=0$

建立直覺

電阻器不按串聯方式相加。它們以這種有趣的方式相加，稱為“一除以一除”。看看代數，並檢視此項在解中重複出現

${\frac {1}{{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}}}$

MuPad 和 Wolfram Alpha 進行交叉相乘，並將其轉換為此。將此視為代數中的一箇中間步驟。

${\frac {R_{1}*R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}$

問題是，如果並聯有三個電阻器，上面的公式會變得很複雜。但“一除以一除的公式”不會。它只是擴充套件到這個

${\frac {1}{{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+{\frac {1}{R_{3}}}}}$

這就是為什麼概念“電阻器相加……一除以一除……對於並聯電路”幾乎成為“電阻器相加……串聯……對於串聯電路”的推論。

在計算機出現之前，所有數學運算都是手工完成的，“一除以一除”的概念會導致錯誤。相反，還有另一整層電路分析，涉及另一整套符號、單位、端點方程和並聯電路的概念，稱為“導納”。我們現在做的是被稱為“阻抗”的另一半。我們沒有學習另一整層電路分析，而是花時間學習使用 MatLab 和 MuPad。“一除以一除”的遺留問題在“導納”沒有被介紹時就出現了。

沒有被介紹的電路分析涉及使用一種像計算尺一樣的計算輔助工具，稱為“史密斯圓圖”。當人們遍歷電路時，人們可以透過相加來組合串聯部分。為了並聯組合，在史密斯圓圖上繪製一個點，測量到中心的距離，透過中心繪製一條直線，在中心繪製一個圓，兩條線相交的地方讀出數字答案。這是一個舞蹈。它有與現在截然不同的節奏。但它需要更長的時間，更容易出錯。在第二次世界大戰期間，分析單個電路時，人們會把史密斯圓圖堆放在地板上，在上面亂塗亂畫，然後多次扔掉。