電路理論/聯立方程/例4

例4電路

找出所有內容。用符號 $V_{s}$ 表示電壓源，用符號 R 表示 100 歐姆電阻，用符號 2R 表示 200 歐姆電阻。然後用數值求解。

標註

符號已新增

看起來 $V_{s}$ 和一個電阻是串聯的，最右邊的兩個電阻也是串聯的，因此它們共享相同的電流。

迴路

迴路和 + - 已新增

有三個迴路。請記住，現在的 + 和 - 並不是猜測答案的極性，而是反映了電路的佈局。

沒有簡單的迴路（並聯元件）。

節點

節點已識別，電流方向的選擇與 + - 極性一致

有兩個簡單的節點，其中串聯元件共享相同的電流。有三個非簡單的節點，它們導致兩個可用的節點。選擇使用的是頂部標記為 $J_{1}$ 和 $J_{2}$ 的兩個節點。

等式計數

我們被告知電阻和電壓源有值，但要朝著符號解的方向努力。但是，與其讓所有電阻都用單獨的符號表示，不如讓它們的值都為 R 或 2R。所以，在符號解方面，目標是使用 $R$ 和 $V_{s}$ 來表示這些“已知量”。

$R=100ohms$
$V_{s}=1volt$
$V_{1}=?volt$
$V_{2}=?volt$
$V_{3}=?volt$
$V_{4}=?volt$
$V_{5}=?volt$
$V_{6}=?volt$
$i_{1}=?amp$
$i_{2}=?amps$
$i_{3}=?amps$
$i_{4}=?amps$
$i_{5}=?amp$

一共有 11 個未知數。從電阻器可以得到 6 個方程，從迴路可以得到 3 個方程，從節點可以得到 2 個方程。因此，這個問題可以明確地求解。

端點方程

$v_{1}=i_{1}*R$
$v_{2}=i_{2}*2R$
$v_{3}=i_{3}*R$
$v_{4}=i_{4}*2R$
$v_{5}=i_{5}*R$
$v_{6}=i_{5}*2R$

迴路方程

$L_{1}:v_{1}+v_{2}-V_{s}=0$
$L_{2}:v_{3}+v_{4}-V_{2}=0$
$L_{3}:v_{5}+v_{6}-V_{4}=0$

節點方程

$J_{1}:i_{1}-i_{2}-i_{3}=0$
$J_{2}:i_{3}-i_{4}-i_{5}=0$

求解方程

代數

代數解法非常複雜，混亂，難以檢查，而且無法激發任何人的興趣。我不會嘗試它。

微分方程

這個問題中沒有微分方程，但這門課程有四分之三時間都在講解這種複雜的電路，使用電容和電感代替電阻，並考察微分方程。

符號計算

Wolfram Alpha

無論方程形式如何，Wolfram Alpha 都無法處理超過 6 或 7 個方程。

MuPad

MathWorks MuPAD 解法.. 點選 這裡 獲取要剪下和貼上的文字.. MuPAD 解法包含變數解，符號解

MuPAD 擴充套件到 11 個未知數，效果很好。剪下和貼上使程式碼輸入（點選標題中的連結）比看起來更容易。

數值解

Matlab 解法.. 點選 這裡 進行剪下和貼上

目標是至少以兩種不同的方式完成任務，只是為了檢查工作。由於沒有做代數運算，必須建立 11x11 矩陣。

設定解法的步驟

• 將已知值代入方程

$v_{1}=i_{1}*100$
$v_{2}=i_{2}*200$
$v_{3}=i_{3}*100$
$v_{4}=i_{4}*200$
$v_{5}=i_{5}*100$
$v_{6}=i_{5}*200$
$v_{1}+v_{2}-1=0$
$v_{3}+v_{4}-v_{2}=0$
$v_{5}+v_{6}-v_{4}=0$
$i_{1}-i_{2}-i_{3}=0$
$i_{3}-i_{4}-i_{5}=0$

• 整理方程，使未知數在列中，數字位於等號右側

跳過這一部分，直接進入矩陣。一遍又一遍地輸入 8 或 9 + 0 是很愚蠢的。

• 建立兩個矩陣，一個是方陣，另一個是包含等號右側數字的列向量

模式已經建立，矩陣很大，重複它們來展示矩陣運算是不必要的。只需寫下大矩陣，然後直接轉到MatLab。

${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c||c|}i_{1}&i_{2}&i_{3}&i_{4}&i_{5}&v_{1}&v_{2}&v_{3}&v_{4}&v_{5}&v_{6}&=\\\hline 100&0&0&0&0&-1&0&0&0&0&0&0\\0&200&0&0&0&0&-1&0&0&0&0&0\\0&0&100&0&0&0&0&-1&0&0&0&0\\0&0&0&200&0&0&0&0&-1&0&0&0\\0&0&0&0&100&0&0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&200&0&0&0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&0&1&1&0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0&0&-1&1&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&-1&1&1&0\\1&-1&-1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&-1&-1&0&0&0&0&0&0&0\\\end{array}}$

模擬

模擬結果匹配.

功率檢查

• $P=i*v$
• $P_{source}+P_{R1}+P_{R2}+P_{R3}+P_{R4}+P_{R5}+P_{R6}+P_{Vs}=0$
• $(0.004884)*0.4884+(0.002558)*0.5116+(0.002326)*0.2326+$
  

$(0.001395)*0.2791+(0.0009302)*.0930+(0.0009302)*0.1860+(-.004884)*1=0$

將電阻項加起來得到 $0.004884-.004884=0$

流過電壓源的電流是 $-i_{1}=-0.004884$。它是負數，因為它被畫出正極，計算值是0.004884。這使得電流在 $r_{1}$ 端點方程中為正，但它相對於電源為負，因為圖紙的原因。

負功率意味著電源正在向電路中注入能量。正功率意味著能量正在離開電路。所有電阻功率都是正的。電阻是能量離開電路的地方。

建立直覺

• 此時，MuPAD 和 MatLab 的使用時間幾乎相同。
• MuPAD 將符號附加到答案... 建立了更好的上下文來解釋答案
• MatLab（線性代數）在輸入中建立模式，有助於檢查錯誤
• 越來越有信心，這兩種方法足夠不同，當答案匹配時，可以假設沒有犯任何錯誤
• = 列中的單個 1 足以觸發解決方案中的所有電流和電壓。這個 1 來自一個電源。此列中的多個數字可能意味著有多個電源。
• 該電路看起來像課程或最重要的在左邊，而最不重要的（最小的）在右邊。幾乎是一種顯示系統。
• 模擬也執行此數學運算，但它使用繪圖作為輸入，然後遵循上述步驟。儘管如此，對模擬工具的信心正在增強。