電路理論/聯立方程/例 6

例 6 電路

找出電流和電壓。假設電源和電阻值已知。符號解。

符號解這些方程可能會失敗。目標是開始準確而有條理地以符號形式輸入微分方程......也許會找到解！

標籤

添加了符號

有一個電流源與電阻器和電感器串聯，它們共享相同的電流：$i_{S}$.

迴路

添加了迴路和 + -

有兩個迴路。方向這次是順時針，因為電流源向下指向。

新增到電流源的 + 和 - 與用手指繞圓圈移動的規則相反。該規則被違反，因為電路中只有一個電源，它必須將能量泵入電路。因此，電流必須流入 - 並從 + 流出。

最終，新增的極性必須影響

• 電流方向
• 迴路方程中電壓項的符號

只要迴路方程寫成電流源電壓為負號，那麼違反規則是可以的。

請記住，現在 + 和 - 不是在猜測答案的極性，而是在捕捉電路的佈局。

沒有平凡迴路（並聯的元件）。

節點

突出顯示恆定電動勢部分

選擇節點並新增電流方向

有兩個平凡節點，其中串聯元件共享相同的電流。一個在電流電壓源和 $R_{1}$ 之間。另一個在電流源和電感器之間。

有兩個非平凡節點，請檢視以不同顏色陰影的恆定電動勢區域。

這意味著只有一個非平凡節點可以生成一個方程。

方程計數

我們被告知電阻器和電壓源具有值，因此應該被視為已知量。我們只是不知道具體的值，所以我們必須符號地工作。

$R_{1}=\surd$
$R_{2}=\surd$
$I_{S}=\surd$
$i_{1}=?$
$i_{2}=?$
$v_{1}=?$
$v_{2}=?$
$v_{3}=?$
$v_{4}=?$
$v_{5}=?$
$v_{6}=?$

該電路有 8 個未知數。從電阻器得出 2 個方程，從電容器得出 1 個方程，從電感器得出 2 個方程，從迴路得出 2 個方程，從節點得出 1 個方程。因此，該問題可以顯式求解。

端子方程

所選擇的電流源符號意味著直流電流源。經過很長時間後，電容器將斷開，兩個電感器將短路。該電路簡化為一個 2 個電阻串聯電路。顯然，我們需要假設電流源是不斷變化的……例如交流電。然後，寫出微分方程是有意義的。

$v_{1}(t)=i_{1}(t)*R_{1}$
$v_{2}(t)=i_{2}(t)*R_{2}$
$i_{1}(t)=C_{4}{d \over dt}v_{4}(t)$
$v_{5}(t)=L_{5}{d \over dt}i_{2}(t)$
$v_{6}(t)=L_{6}{d \over dt}i_{S}(t)$

如果源電流 $i_{S}(t)$ 是時間的函式，那麼其他所有電壓和電流也是時間的函式。

迴路方程

$L_{1}:v_{4}(t)+v_{1}(t)-V_{3}(t)+v_{6}(t)=0$
$L_{2}:v_{5}(t)+v_{2}(t)-v_{4}(t)=0$

節點方程

$J_{1}:i_{1}(t)-i_{2}(t)-i_{S}(t)=0$

求解方程

代數

我們將在本學期結束之前手動求解這些方程。無論如何，該電路幾乎太複雜了，無法手動求解。這裡的目標是看看符號計算系統會得出什麼結果。

微分方程

微分方程是存在的！它們以端子方程的形式存在。顯然，為了求解它們，我們需要知道初始條件。但是，沒有給出任何初始條件或值，因此我們可以假設它們為零。

傳統的“手工”解法需要知道電阻器、電感器和電容器的值，因為它們指向三種替代解法。將微分方程輸入 MuPad 並檢視其符號響應將很有趣。

檢視上面的方程，有趣的是微分特性來自端子關係。這是有道理的。電壓和電流，即使作為時間的函式，也必須加起來為零。

符號計算

MuPad

檔案：Ex6-6.png

MathWorks MuPAD 解法 .. 點選 這裡 獲取要剪下貼上的文字 .. MuPad 解法包含變數解

對於微分方程，符號解是不可能的。我們將盡可能多地使用符號。這就是我們練習將符號輸入 MuPad 的原因。

為了真正求解，我們需要電阻器的值以及 $i_{S}$ 的方程。

下一章開始解釋需要做什麼的過程。這是一項練習，讓我們走到未知事物的邊緣，並弄清楚在哪裡停下來。

數值解

沒有數值解，因為沒有給出任何數字。

模擬

沒有數字，模擬是不可能的。

建立直覺

• 微分方程需要已知的電壓和/或電流，這些電壓和/或電流是時間的函式，並且電容器和/或電感器。
• 如果電路中只有電阻器，則端子關係中沒有微分。
• 如果電壓或電流不隨時間變化，則電容器和電感器變成開路和短路......然後消失。因此，沒有微分方程。
• 但是，如果切換開關以接通直流電路，則在切換開關後的短時間內，事物就會發生變化。微分方程將是合適的。那麼，我們如何為這種情況寫出一個方程呢？......進入下一章。