電路理論/線性方程組

線性方程

線性方程的形式為 $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=b$

a₁,a₂等稱為方程的係數，b稱為常數項。線性代數中的變數通常用x_n表示，而不是用x、y、z等表示，因為現實世界中的問題可能會有數百萬個變數。本文中的問題不超過5或6個。

出現線上性方程左側的項必須具有正好為1的冪。出現在右側的項必須具有0的冪。

例子

1. $2x_{1}-5x_{2}+x_{3}=9\!$
一個線性方程

2. $x_{1}+2x_{2}+2{\sqrt {x_{3}}}=1\!$
由於根號，它不是一個線性方程。根號${\sqrt {x_{3}}}$等於$x_{3}$的$1/2$次方，而不是1次方。

3. $-10x_{1}+2x_{2}=0\!$
一個線性方程

4. $x_{1}x_{2}+2x_{3}=0\!$
它不是一個線性方程，因為$x_{1}x_{2}$是2次方項。

線性方程組

m個包含n個變數的方程組的形式為 ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}&\cdots &+a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{21}x_{1}&+a_{22}x_{2}&\cdots &+a_{2n}x_{n}&=&b_{2}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\\a_{m1}x_{1}&+a_{m2}x_{2}&\cdots &+a_{mn}x_{n}&=&b_{m}\end{matrix}}$

注意，如果線性方程中變數的係數為零，我們可以省略它。因此，並非每個變數都需要出現在每個方程中。下面是兩個線性方程組

1. ${\begin{matrix}2x_{1}&-2x_{2}&+x_{3}&=&1\\-3x_{1}&+2x_{2}&&=&3\\3x_{1}&+2x_{2}&+x_{3}&=&7\end{matrix}}$

2. ${\begin{matrix}2x_{1}&-2x_{2}&-x_{3}&+2x_{4}&=&0\\-3x_{1}&&+2x_{3}&&=&0\\3x_{1}&+2x_{2}&+x_{3}&-x_{4}&=&0\end{matrix}}$

第二個系統稱為**齊次系統**，因為所有常數項都為零。

通常，線性方程組由兩個或更多具有相同變數的線性方程組成。理論上，我們也可以將單個線性方程視為一個系統。

矩陣形式

將線性系統中的係數排列成一個 *m* 行 *n* 列的矩陣（即一個具有 *m* 行和 *n* 列的陣列），得到

$A=\left({\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{matrix}}\right)$

並設 $b=\left({\begin{matrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{matrix}}\right)$ 和 $x=\left({\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{matrix}}\right)$。線性方程組可以寫成

$Ax=b$

這促使了矩陣理論的研究。有關更詳細的介紹，請參閱線性代數/矩陣。

線性方程組的解

線性方程組的解是指一組為每個變數分配的值，使得所有方程都成立。例如，第一個系統的一個解是 (0,1.5,4)，因為 2(0)-1.5(2)+1(4)=1，-3(0)+2(1.5)=3，以及 3(0)+2(1.5)+4=7。

參見代數/線性方程組的解。

應用

求解線性方程組在現代工程中至關重要。高度複雜的物理系統需要難以描述的公式，但可以透過求解一組非常大的線性方程組來進行高精度近似。透過將研究物件分成微小、有限的片段，可以在大量暴力計算後得到解。當這種數值分析在計算中引入誤差時，足夠複雜的分析通常可以彌補在較少數值方法中引入的簡化。透過使用更小的片段或更復雜的演算法可以避免誤差。具體方法包括有限差分分析、有限元分析和邊界層分析。具體的應用包括計算流體力學、傳熱、疲勞分析、應變分析和應力分析。

線性方程組也用於統計迴歸。最小二乘迴歸的一種常見演算法使用一個具有 *n* 行和 *m* 列的矩陣，其中 *n* 代表資料點的數量，*m* 代表基函式的數量，或者所求係數的數量。（例如，多項式 ax^3 + bx^2 + cx + d 使用四個基函式：x^3、x^2、x 和 1。）在《數值演算法：科學計算的藝術》中可以找到對該演算法的詳細解釋。