經典力學/導論

物理學 - 經典力學

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概述：什麼是經典力學

作為這門課程的前奏，讓我描述一下經典力學是關於什麼的。

經典力學是物理學的一部分，它處理質點（非常小的物體）和剛體（可以整體旋轉但不能改變形狀的大的物體）的運動。這在實踐中非常有用，因為現實生活中許多物體在大多數情況下都可以近似地認為是質點或剛體。

經典力學中解決的典型問題是

找到以已知初速度拋向空中的石頭的軌跡。(石頭被認為是質點)。
預測宇宙飛船以已知距離行星的初始位置和速度接近某個行星的運動。(宇宙飛船被認為是質點)。
如果我們知道驅動旋轉的發動機的強度，找出圓盤每分鐘旋轉多少圈。(圓盤被認為是整體旋轉的剛體)。
找出將一個小物體加速到給定速度所需的能量和時間。(質點)。
找出由彈簧連線的質點系統中的振盪頻率。

當然，人們也可以考慮比這些更復雜的問題。例如

一個輕質旋轉的陀螺以一定角度立在可以沿水平面滾動而不滑動的重圓柱體表面上。確定陀螺不會從圓柱體上掉下來的條件。(圓柱體和陀螺都被認為是剛體)。
從地球發射的宇宙飛船需要在一定時間內到達火星表面。預測這次任務最合適的年份，並確定最少的火箭燃料需求。(宇宙飛船被認為是在太陽、地球和火星的引力場中運動的質點)。

使用的數學方法

經典力學使用常微分方程 (ODE) 來數學描述物體的性質。因此，座標、角度等是依賴於時間的數字，例如 $x(t),y(t),z(t),\phi (t),\theta (t)$ ，並滿足某些 (系統) ODE。

可以使用多種數學方法來求解這些方程。在某些情況下，可以找到精確解，例如： ${\ddot {x}}(t)+x(t)=0$ 的通解是 $A\sin(t)+B\cos(t)$ 。在其他情況下，解決方案僅以無法以封閉形式計算的積分形式給出。有時，可以使用攝動理論等方法近似求解方程。最後，任何 ODE 都可以以一定的精度透過數值方法 (使用計算機程式) 求解。

力學專業的學生需要學習某些標準微分方程的求解方法，這些方法可以精確求解，例如：多維諧振子、一維力場中的運動、三維中心力場中的運動。數值求解 ODE 的方法在實踐中很重要，但通常不作為經典力學的一部分進行學習，因為這些方法不是特定於力學的，而是同樣適用於所有微分方程。求解各種方程的數值方法最好在專門的課程中學習，這些課程涉及動手計算機程式設計。

牛頓力學

第一個成功的經典力學理論包含在牛頓的力學三定律中，該定律控制著質點的運動

存在這樣的參考系，其中不受其他物體作用的質點將以恆定速度沿相同方向運動。(如果在某個參考系中不成立，那麼該參考系不是慣性系。進一步的定律是在慣性系中制定的)。
與其他物體相互作用的質點以加速度 ${\vec {a}}$ 運動，該加速度由 ${\vec {F}}=m{\vec {a}}$ 確定，其中 ${\vec {F}}$ 是作用於物體的所有力的合力， $m$ 是物體的質量， ${\vec {a}}$ 是加速度，即位置向量 ${\vec {r}}$ 對時間的二階導數。
所有力都是由其他質點引起的，當質點 1 對質點 2 施加力 ${\vec {F}}$ 時，質點 2 也對質點 1 施加力 $-{\vec {F}}$ 。

所有質點的運動都由微分方程描述，只要所有相關的力都能被預測或測量，這些方程就可以直接求解。我假設在你開始學習理論力學之前，你已經熟悉這些定律以及它們適用的典型情況（例如，在地球附近以一定角度丟擲的物體的運動）。

在牛頓力學中，剛體只是一組由“剛性棒”連線的質點。這些“剛性棒”之所以“剛性”，是因為它們始終產生恰好保持所有點之間距離恆定的力，無論存在其他任何力或運動。因此，剛體的運動可以在不引入任何其他特殊規則的情況下進行描述。人們可以推匯出角動量、力矩等的概念，而無需任何額外的假設。

從牛頓力學到“理論”力學

如果需要描述液體和氣體，考慮質點是十分不方便的，因此為此目的發展了一個具有自身形式體系的力學分支，即連續介質力學（連續介質的力學）。連續介質力學的形式體系被推廣到場論，其中基本物件不是質點，而是場，即存在於空間所有點並同時對其所有點產生影響的某種抽象“物質”。（例如：引力場、電場和磁場。）這種物質可以用空間和時間的函式來描述，例如，向量場 ${\vec {E}}(t,{\vec {r}})$ 描述電場。場的行為通常由偏微分方程控制；例如，電場 ${\vec {E}}(t,{\vec {x}})$ 和磁場 ${\vec {B}}(t,{\vec {x}})$ 滿足麥克斯韋方程。

隨著越來越複雜的問題需要解決，各種數學工具被開發出來，以簡化和推廣力學的數學描述。最終，人們發現了拉格朗日和哈密頓力學表述。這兩種表述仍然是經典力學和場論以及愛因斯坦相對論的基石，因此間接地也是所有現代理論物理學的基石。這些力學表述並不基於“力”的假設，同樣適用於質點、剛體、場和連續介質。理論力學（有時也稱為“分析力學”）的主要內容是研究這些更精細、更普遍的經典力學數學表述。

概述：什麼是這個“最低標準課程”

許多理論物理學都基於理論力學的概念，例如作用量的變分、對稱變換或哈密頓量。本課程的目的是介紹學習理論物理學需要牢固掌握的絕對必要內容。

在本文中，我沒有像數學文字那樣使用“定義”、“定理”或“證明”等詞語。但是，相同的結構仍然存在。我在定義新概念的句子中使用粗體來突出顯示它們。

先決條件

你可以解簡單的代數方程，例如 $x-{\frac {2}{x}}-1=0$ 。
您可以解決簡單的微分方程，例如 ${\ddot {x}}(t)+2x(t)=3$ ，以及初始條件，例如 $x(0)=1,{\dot {x}}(0)=2$ 。
您可以操作三維向量，計算向量和、標量積、向量（叉）積、軸上的投影、直線之間的夾角。
您熟悉基本線性代數（矩陣、矩陣乘法、特徵向量、矩陣對角化）。
您可以計算（或快速查詢）基本積分，例如 $\int \limits _{3}^{4}{\sqrt {5x^{2}+8}}~dx$ 。
您熟悉多元微積分，可以計算偏導數，例如 $\partial _{y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ 。
您熟悉（歐洲）中學水平的力學，包括牛頓定律、靜止狀態下的力、直線和圓周運動，以及關於剛體旋轉和扭矩的基本概念。

核心內容

理論力學的最小標準課程包括

對拉格朗日和哈密頓形式主義的初步研究。
- 可以使用變分原理（也稱為作用原理）實現適用於所有系統的力學的一般公式。關於特定力學系統的全部資訊都包含在它的拉格朗日中，拉格朗日是一個函式 $L(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)$ 。我們推匯出一般情況下任意力學系統的運動方程。
- 您已經知道如何使用力、扭矩等基本方法來解決簡單的力學問題，現在您將看到如何使用拉格朗日重新制定這些問題。您將看到用拉格朗日找到特定系統的拉格朗日相當直接。然後就會發現，使用這些公式解決許多問題要容易得多。
- 您需要獲得一些經驗，才能用拉格朗日公式來表達各種力學問題。基本上，您應該能夠處理涉及點質量、彈簧、棍子、繩索、無摩擦軌道、擺、沿著圓柱體滾動的球沿著平面滾動的任何實際情況。您需要學習如何最好地選擇座標或如何在這樣的系統中發現守恆定律。這隻有透過解決實踐問題才能獲得經驗。
- 剛體的旋轉由於複雜的幾何形狀而帶來了額外的困難。您需要學習一些方法來有效地處理這些情況（慣性張量、尤拉角、旋轉參考系）。
- 哈密頓力學是根據拉格朗日力學推匯出來的。（對於解決實際問題，哈密頓形式主義不如拉格朗日形式主義有用，儘管它在數學上更加優雅。然而，哈密頓形式主義在理論物理學中具有如此重要的意義，以至於通常在理論力學課程中早期就對其進行了研究。）
- 通常使用四維向量的形式主義在此時引入狹義相對論。在拉格朗日形式主義中，這是一種非常普通的力學理論，它有一個有點不尋常的拉格朗日。您需要對各種相對論效應培養一些物理直覺，並熟悉世界作為時空的四維描述。沒有狹義相對論和對世界的四維視角，通往許多理論物理學道路實際上是封閉的。
研究實際解決實際問題所需的數學方法。
- 您需要學習如何解決各種微分方程和這類方程的系統。典型的方程是帶驅動力的諧振子方程， ${\ddot {x}}+\omega ^{2}x=f(t)$ 。通常，您需要能夠找到一般解以及給定初始條件的特定解。在這一點上，我們只研究可以精確求解的方程。
- 您需要獲得分析各種型別方程解的行為的經驗：線性系統、振盪和共振，以及一些簡單的可解非線性方程，如開普勒問題。這些是非常古老的問題，在物理學中反覆出現，因此您應該非常熟悉它們的解的定性特徵。
- 您需要學習變分法的一些基本概念。特別是，您需要了解泛函的概念，並學習計算泛函導數（即泛函的“變分”）。否則，您就不能真正理解變分原理的使用，而變分原理在所有理論物理學中都非常重要。

您通常需要針對每種數學方法解決多個實踐問題，以便您能夠看到這些方法是如何工作的，並積累經驗。

額外材料

上述主題被認為是標準的，因為如果沒有掌握它們，就無法繼續學習理論物理學。還有一些更高階的主題，這些主題建立在標準主題的基礎上，並通往其他物理學領域

攝動理論、非線性振盪、引數共振、絕熱不變數的方法（對天體力學、混沌和其他事物很有用）。
使用四元數而不是尤拉角來描述剛體的方位（對導彈運動的數值模擬很有用）。
散射理論的要素：彈性/非彈性散射；中心勢中的截面（為粒子物理學做準備）。
對“對稱性”的一般定義以及守恆定律的推導（諾特定理）。這實際上是規範場論的準備，規範場論是粒子物理學的基礎。
對稱性和多維繫統中的振盪（例如分子的振盪）。
作用角變數和可積性問題（為混沌理論做準備）。
正則變換、哈密頓-雅可比方程——發現可積系統的工具。（主要用於數學物理學。）
積分不變數、辛結構（發現守恆定律並更深入地解釋理論結構的工具；在場論中有用）。
處理受約束的退化系統（為規範理論做準備）。
連續介質力學的基本要素包括：連續性方程、應力-能量張量、尤拉方程。(廣泛應用於流體力學、介質電動力學、動力學等領域)

一些主題通常包含在理論力學課程中，具體內容取決於講師的偏好。理論力學史通常不會被學習，學生主要學習的是當代簡化且系統化的力學理論。