經典力學/微分方程

微分方程簡要介紹

如果您能輕鬆解決以下微分方程，可以跳過本介紹並進入下一頁

{\frac {dx(t)}{dt}}=4x+8t,\quad x(0)=0

{\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}+15x(t)=10,\quad x(0)=1,\quad {\dot {x}}(0)=0

{\frac {dx(t)}{dt}}=3t{\sqrt {x}},\quad x(0)=1

積分

積分是微分的逆運算。這個運算在理論物理學中非常重要，您應該熟悉如何計算積分。

定積分寫成如下形式： $\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$ 。（實際上並沒有“不定積分”的概念。記號 $\int f(x)dx$ 只是 $\int \limits _{x_{0}}^{x}f(x')dx'$ 的簡寫形式，其中 $x_{0}$ 在後面的計算中沒有使用，或者以某種自然的方式選擇，方便計算。）

一些基本積分

\int f(ax)dx={\frac {1}{a}}\int f(x)dx;\quad \int t^{n}dt={\frac {t^{n+1}}{n+1}};\quad \int e^{x}dx=e^{x};\quad \int \cos(x)dx=\sin(x);

\int {\frac {dx}{x}}=\ln(x);\quad \int {\frac {dx}{1+x^{2}}}=\arctan(x);\quad \int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\arcsin(x)

變數替換：引入 $x=g(z)$ ，其中 $g(z)$ 是一個函式

\int f(x)dx=\int f(g(z)){\frac {dg(z)}{dz}}dz

例子

\int {\frac {dx}{1+x}}=\ln(1+x)

\int {\frac {dx}{x^{2}}}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)=\cos \left({\tfrac {1}{x}}\right)

分部積分法

\int \limits _{a}^{b}f(x)g'(x)dx=f(x)g(x){\bigg |}_{a}^{b}-\int \limits _{a}^{b}f'(x)g(x)dx

例如，（這裡我們不寫積分的上下限）

\int \ln(x)dx=\int (x)'\ln(x)dx=x\ln(x)-\int x\ln '(x)dx=x\ln(x)-x

注意：三角函式有時更方便地用復指數表示（使用尤拉公式）

\cos(x)={\frac {e^{xi}+e^{-xi}}{2}};\quad \sin(x)={\frac {e^{xi}-e^{-xi}}{2i}};\quad e^{xi}=\cos(x)+i\sin(x)

練習

計算以下不定積分。

$\int e^{2x}\sin(x)dx=$
$\int t^{2}\sin(t)dt=$
$\int \sin ^{2}(x)dx=$
$\int {\frac {dx}{\sqrt {2x+1}}}=$
$\int x{\sqrt {3x+1}}dx=$

自測一下！

$\int {\sqrt {\tan(x)}}dx=$

通解和特解

在本節中，微分方程針對未知函式 $x(t)$ 寫出。導數用點表示： ${\dot {x}}\equiv {\frac {dx}{dt}}$ ， ${\ddot {x}}\equiv {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$ 等等。

通解是指一個解方程的函式，幷包含任意常數。對於一階導數方程（一階方程），只有一個常數；對於二階方程，有兩個常數，等等。

例子

求方程 ${\dot {x}}(t)=0$ 的通解。答案： $x(t)=A$ ，

其中 $A$ 是一個任意常數。

求 ${\dot {x}}=2$ 的通解。答案： $x(t)=A+2t$ 。
求解 ${\dot {x}}=4t+\cos(2t)$ 的通解。答案： $x(t)=A+2t^{2}+{\frac {1}{2}}\sin 2t$ 。
求解 ${\dot {x}}+x=0$ 的通解。答案： $x(t)=Ae^{-t}$ 。
求解二階微分方程 ${\ddot {x}}=0$ 的通解。答案： $x(t)=A+Bt$ 。
求解 ${\ddot {x}}+7x=0$ 的通解。答案： $x(t)=A\cos(t{\sqrt {7}})+B\sin(t{\sqrt {7}})$ 。
求解 ${\ddot {x}}-7x=0$ 的通解。答案： $x(t)=Ae^{t{\sqrt {7}}}+Be^{-t{\sqrt {7}}}$ 。
求解 ${\ddot {x}}+5{\dot {x}}+4x=0$ 的通解。解：我們尋找 $x(t)=Ae^{\lambda t}$ 。那麼 $\lambda$ 必須滿足 $\lambda ^{2}+5\lambda +4=0$ 。

這有兩個解， $\lambda =-1$ 和 $\lambda =-4$ 。所以一般解是 $x(t)=Ae^{-t}+Be^{-4t}$ 。

習題

求以下方程的一般解。

${\dot {x}}=2x$
${\ddot {x}}=3t+e^{-t}$
${\ddot {x}}={\dot {x}}$
${\ddot {x}}=-10x$
${\ddot {x}}=-2006{\dot {x}}+2006x$

特解是從一般解中根據條件（如初始條件）選取的。

{\ddot {x}}=1,\quad x(0)=1,\quad {\dot {x}}(0)=2.\quad (1)

${\ddot {x}}=1$ 的一般解是 $x(t)=A+Bt+{\frac {t^{2}}{2}}$ 。條件 $x(0)=1$ , ${\dot {x}}(0)=2$ 僅當 $A=1$ , $B=2$ 時滿足。因此，方程 (1) 的特解是 $x(t)=1+2t+{\frac {t^{2}}{2}}$ 。

要找到特解，我們首先用任意常數求一般解，然後用初始條件確定這些常數的值。

習題

解以下帶初始條件的方程。繪製得到的函式 $x(t)$ 。

${\dot {x}}+3x=0,\quad x(0)=2$
${\dot {x}}-x=0,\quad x(2)=1$
${\ddot {x}}-4x=0,\quad x(0)=1,\quad {\dot {x}}(0)=1$
${\ddot {x}}-4t=0,\quad x(0)=1,\quad {\dot {x}}(0)=1$

邊值問題是微分方程，其條件是在不同點指定的。注意：通常有無限多個函式可以滿足一個微分方程。通解用包含任意常數的公式表示所有這些函式。特解是透過條件選擇的，需要與未知常數一樣多的條件。因此，例如，對於二階微分方程，有兩個任意常數，需要兩個條件才能指定一個唯一解。與在同一時間指定兩個條件（例如 $x(0)={\dot {x}}(0)=0$ ）不同，可以指定兩個不同時間的條件，例如 $x(0)=1,x(1)=2$ 。這些條件被稱為邊界條件。

習題

求解以下邊值問題。

$3{\ddot {x}}+4x=0,\quad x(0)=0,\quad x(2)=5$
${\ddot {x}}=4e^{-t},\quad x(0)=1,\quad x(1)=0$
${\ddot {x}}+4x=0,\quad x(0)=0,\quad x(\pi )=\pi$
${\ddot {x}}+x=0,\quad x(0)=2\pi ,\quad x(2\pi )=2\pi$

提示：最後兩個方程具有棘手的邊界條件！

一些簡單的非齊次方程

形式為 ${\dot {x}}=Bx$ 的方程的一般解為 $x(t)=Ae^{Bt}$ 。那麼 ${\dot {x}}=Bx+10$ 呢？一般解為 $x(t)=Ae^{Bx}+{\frac {10}{B}}$ 。怎麼猜？寫 $x(t)=Ae^{Bt}+C$ 並代入；然後找到 $C$ 的正確值。

習題

解以下方程。

${\dot {x}}+3x=2,\quad x(0)=1$
${\ddot {x}}+5{\dot {x}}+4x=8,\quad x(0)=2,\quad {\dot {x}}(0)=0$
$2{\ddot {x}}+18x=-1,\quad x(1)=1,\quad {\dot {x}}(1)=0$
${\ddot {x}}+9{\dot {x}}=-2,\quad x(0)=0,\quad {\dot {x}}(0)=3$

提示：在最後一個方程中，用未知函式 $v(t)$ 替換 ${\dot {x}}(t)$ 。

類似地， ${\ddot {x}}+\omega ^{2}x=0$ 的通解為 $x(t)=A_{1}\cos(\omega t)+A_{2}\sin(\omega t)$ 。那麼 ${\ddot {x}}+\omega ^{2}x=A+Bt$ 呢？寫出 $x(t)=C_{1}+C_{2}t$ 並找到 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的正確值，然後加上通解。結果是 $x(t)=(A+Bt)\omega ^{-2}+A_{1}\cos(\omega t)+A_{2}\sin(\omega t)$ 。

注意，在每種情況下，沒有右手邊的方程（**齊次方程**）的通解都加上了有右手邊的方程（**非齊次方程**）的猜測解。這是處理這類方程的通用原則。

習題

求解以下方程

${\ddot {x}}+2x=3t-1,\quad x(0)={\dot {x}}(0)=0$
${\ddot {x}}-4x=t^{2}-4t,\quad x(0)={\dot {x}}(0)=0$
${\ddot {x}}+{\dot {x}}+x=t^{3}+t^{2}+t,\quad x(0)={\dot {x}}(0)=0$

“常數變異法”

如果 ${\dot {x}}=Bx+f(t)$ ，其中 $f(t)$ 是一個更復雜的函式呢？這些可以用 **常數變易法** 解決。解決方案的形式為 $x(t)=A(t)e^{Bt}$ ，其中 $A(t)$ 是一個未知函式。代入 ${\dot {x}}=Bx+f(t)$ ，我們有

{\dot {A}}e^{Bt}+BAe^{Bt}=BAe^{Bt}+f(t)

因此函式 $A(t)$ 滿足方程 ${\dot {A}}=e^{-Bt}f(t)$ 。它的通解是

A(t)=\int \limits _{t_{0}}^{t}e^{-Bt_{1}}f(t_{1})dt_{1}

其中 $t_{0}$ 是一個任意常數。因此，對於 $x(t)$ 的通解是

x(t)=e^{Bt}\int \limits _{t_{0}}^{t}e^{-Bt_{1}}f(t_{1})dt_{1}

也可以改寫為

x(t)=Ae^{Bt}+e^{Bt}\int \limits _{0}^{t}e^{-Bt_{1}}f(t_{1})dt_{1}=Ae^{Bt}+\int \limits _{0}^{t}e^{B(t-t_{1})}f(t_{1})dt_{1}

其中現在 $A$ 是一個任意常數。

例子

解方程 ${\dot {x}}+x=t$ 。解： $x(t)=A(t)e^{-t}$ ; 函式 $A(t)$ 可以從 ${\dot {A}}=te^{t}$ 中找到，所以 $A(t)=\int te^{t}dt=te^{t}-e^{t}+C$ 。所以通解是 $x(t)=Ae^{-t}=t-1+Ce^{-t}$ 。我們可以透過代入 $x(t)=C_{1}t+C_{2}+Ae^{-t}$ 並找到正確的取值 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 來猜出這個解。

習題

解以下帶有初始條件或邊界條件的方程。

${\dot {x}}-2x=3t^{2}-2t,\quad x(0)=1$
${\dot {x}}+2x=e^{-t}\quad x(0)=1$
${\dot {x}}+x=e^{-t}\quad x(0)=1$

更一般的方程

{\dot {x}}-f(t)x=0\quad \Rightarrow \quad x=Ae^{\int f(t)dt}

例如： ${\dot {x}}+2tx=0$ 的通解是 $x(t)=Ae^{-t^{2}}$ 。

習題

求以下方程的一般解。

${\dot {x}}+t^{2}x=0$
${\dot {x}}+e^{t}x=e^{t}$

另一個通式是

{\dot {x}}-f(t)x=g(t)\quad \Rightarrow \quad x=Ae^{\int \limits _{0}^{t}f(t_{1})dt_{1}}\int \limits _{0}^{t}g(t_{1})e^{-\int \limits _{0}^{t_{1}}f(t_{2})dt_{2}}dt_{1}

這個公式可以透過在解 $Ae^{\int f(t)dt}$ 中使用“常數變異法”得到。

“分離變數法”

另一種有用的方法適用於以下形式的微分方程

{\dot {x}}=f(x)g(t)

例如，微分方程 ${\dot {x}}=x^{2}t^{2}$ 和 ${\sqrt {x}}{\dot {x}}=\cos(t)$ 就是這種形式。為了解這些方程，我們使用一種名為“分離變數法”的技巧。我們尋找形如 $F(x)=G(t)$ 的解，其中 $F$ 和 $G$ 是某些函式。如果解是這種形式，則 ${\frac {d}{dt}}F(x)={\frac {d}{dt}}G(t)$ ，這與 $(dF/dx){\dot {x}}=dG/dt$ 相同。這應該等價於原始微分方程 ${\dot {x}}=f(x)g(t)$ 。因此，

{\frac {dF(x)}{dx}}={\frac {1}{f(x)}},\quad {\frac {dG(t)}{dt}}=g(t)

這些方程很容易求解

F(x)=\int {\frac {dx}{f(x)}},\quad G(t)=\int g(t)dt

我們可以計算這些函式，並找到原始方程的以下隱式形式的一般解

\int \limits _{x_{0}}^{x}{\frac {dx}{f(x)}}=\int \limits _{t_{0}}^{t}g(t)dt

這裡， $x_{0}$ 和 $t_{0}$ 是積分的任意常數。此解滿足初始條件 $x(t_{0})=x_{0}$ 。

例子

考慮方程 ${\dot {x}}=x^{2}t^{2}$ 。我們寫

{\frac {\dot {x}}{x^{2}}}=t^{2}\quad \Rightarrow \quad \int {\frac {dx}{x^{2}}}=\int t^{2}dt\quad \Rightarrow \quad -{\frac {1}{x}}+C={\frac {t^{3}}{3}}\quad \Rightarrow \quad x(t)={\frac {1}{C-{\frac {t^{3}}{3}}}}

請注意，儘管存在兩個“不定積分”，但只需要一個積分常數。

習題

求以下方程的一般解。

${\dot {x}}={\frac {x}{t}}$
${\frac {dy(x)}{dx}}={\frac {1+y}{1+x}}$
${\sqrt {x(t){\frac {dx(t)}{dt}}}}={\frac {1}{5t}}$

猜測解的雜項情況

一種情況是具有“源”（即右手邊具有非零函式）的二階方程。我們需要猜測非齊次方程的解。我們透過編寫具有未知係數的安薩茲來猜測解。以下是一些示例

{\ddot {x}}+x=\cos(2t)\Rightarrow x(t)=C_{1}\cos(2t),\quad {\textrm {then~find~}}C_{1}

${\ddot {x}}+4{\dot {x}}+3x=\sin(t)\Rightarrow x(t)=C_{1}\sin(t)+C_{2}\cos(t),\quad {\textrm {then~find~}}C_{1,2}$

{\ddot {x}}+x=\sin(t)\Rightarrow x(t)=C_{1}t\cos(t),\quad {\textrm {then~find~}}C_{1}

注意：在最後一個例子中，我們需要一個項 $t\cos t$ 因為 $\sin(t)$ 和 $\cos(t)$ 已經是齊次方程的解了！

另一個例子

{\ddot {x}}+2{\dot {x}}+x=0

我們尋找形式為 $x(t)=e^{\lambda t}$ 的解，發現 $\lambda ^{2}+2\lambda +1=0$ 只有一個根 $\lambda =-1$ 。然後我們使用一個特殊的技巧：一般解不是 $Ce^{-t}$ 而是 $x(t)=C_{1}e^{-t}+C_{2}te^{-t}$ 。