經典力學/拉格朗日理論

本節包含拉格朗日形式主義的幾個理論發展，這些發展對於解決問題並不直接必要。但是，這些考慮有助於更深入地理解理論並回答一些重要問題。

為什麼泛函的極值決定運動？

在力學的拉格朗日表述中，軌跡 ${\vec {q}}(t)$ 由作用泛函 $S[{\vec {q}}(t)]$ 應該有一個極值來決定。(並非總是這樣，軌跡是最小作用；在某些情況下，它可能只是一個極值，即泛函導數 $\delta S/\delta {\vec {q}}(t)$ 為零。) 這個條件被稱為作用原理。到目前為止，您應該熟悉從作用原理推匯出運動方程的數學過程。

因此，在這一點上，您應該習慣於每個機械系統的正確運動方程確實遵循作用原理，如果拉格朗日函式被適當地選擇。然而，您可能仍然感到困惑，牛頓定律等價於某個泛函的極值條件。您可能會問自己：為什麼這可能？

這裡有一個解釋可能會有所幫助。讓我們考慮一個簡單的機械系統：一個質量為 $m$ 的質點，在一個維度上運動，座標為 $x(t)$ ，在一個勢能為 $U(x)$ 的力場中。(同樣的考慮很容易推廣到多個維度和多個座標的情況。)假設 $x_{0}(t)$ 是根據牛頓定律正確的軌跡，

m{\ddot {x}}_{0}(t)=-\left.{\frac {dU}{dx}}\right|_{x=x_{0}(t)}.

我們如何使用泛函 $S[x]$ 來表達軌跡 $x(t)$ 是正確的那個？一種方法是要求 $x(t)$ 與 $x_{0}(t)$ 的偏差處處為零。這可以用泛函表示為

S_{1}[x]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}[x(t)-x_{0}(t)]^{2}dt.

很明顯，泛函 $S_{1}[x]$ 僅當 $x(t)=x_{0}(t)$ 對所有 $t$ 成立時，才取到最小值（顯然最小值為 0）。這展示瞭如何使用泛函來表達函式的一些條件：泛函 $S_{1}[x]$ 衡量了 $x(t)$ 與 $x_{0}(t)$ 在整個過程中的偏差。最小的偏差是完全沒有偏差；因此，泛函 $S_{1}[x(t)]$ 的最小值出現在軌跡 $x(t)$ 上，該軌跡與 $x_{0}(t)$ 完全沒有偏差。

另一種類似的方法是使用泛函來指定軌跡

S_{2}[x]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}[{\dot {x}}(t)-{\dot {x}}_{0}(t)]^{2}dt.

該泛函與邊界條件 $x(t_{1})=x_{0}(t_{1}),x(t_{2})=x_{0}(t_{2})$ 聯立，僅當 $x(t)=x_{0}(t)$ 對所有 $t$ 成立時，才取到最小值。

不可否認，泛函 $S_{1}[x],S_{2}(x)$ 無法幫助我們表述力學的規律，因為它們已經顯式地包含了正確的軌跡 $x_{0}(t)$ 。現在，我們將從 $S_{2}[x]$ 開始構建另一個泛函， $S_{3}[x]$ ，試圖消除對 $x_{0}(t)$ 的顯式依賴。

讓我們重寫 $S_{2}[x]$ 為

S_{2}[x]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}[{\dot {x}}^{2}-2{\dot {x}}{\dot {x}}_{0}+{\dot {x}}_{0}^{2}]dt.

第三項， ${\dot {x}}_{0}^{2}$ ，是一個固定函式，當我們改變 $x(t)$ 時不會改變。因此，我們可以從 $S_{2}$ 中省略該項。此外，我們希望得到 ${\ddot {x}}_{0}$ 而不是 ${\dot {x}}_{0}$ ，因為這樣我們就可以使用牛頓定律來求出正確的軌跡。所以讓我們用分部積分法積分第二項

-2\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\dot {x}}{\dot {x}}_{0}dt=-2\left.x{\dot {x}}_{0}\right|_{t_{1}}^{t_{2}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}2x{\ddot {x}}_{0}dt.

邊界項 $\left.x{\dot {x}}_{0}\right|_{t_{1}}^{t_{2}}$ 不會隨著 $x(t)$ 而改變，因為 $x(t)$ 的邊界值是固定的。因此，我們可以省略該項。最後，我們使用牛頓定律來用 $-m^{-1}U'(x_{0})$ 替換 ${\ddot {x}}_{0}$

\int _{t_{1}}^{t_{2}}2x{\ddot {x}}_{0}dt=-\int _{t_{1}}^{t_{2}}2m^{-1}xU'(x_{0}).

現在我們*假設*軌跡 $x(t)$ 與正確軌跡 $x_{0}(t)$ 的偏差非常小，那麼我們可以近似地寫成

xU'(x_{0})=(x-x_{0})U'(x_{0})+x_{0}U'(x_{0})=U(x)-U(x_{0})+O[(x-x_{0})^{2}]+x_{0}U'(x_{0}).

在上述假設下，可以忽略 $(x-x_{0})$ 的二次項。項 $U(x_{0})$ 和 $x_{0}U'(x_{0})$ 可以省略，因為它們與 $x(t)$ 無關。因此我們發現泛函 $S_{2}$ 等價於以下泛函，直到與 $x(t)$ 無關的非本質項

S_{3}[x]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}[{\dot {x}}^{2}-2m^{-1}U(x)]dt.

很明顯， $S_{3}$ 等價於通常的拉格朗日量，直到係數 $m/2$ 。

透過這種方式，我們得到了一個函式 $S_{3}[x]$ ，當 $x(t)$ 非常接近於 $x_{0}(t)$ 時，該函式具有最小值；也就是說，它是一個區域性最小值。這個新函式不顯式地依賴於 $x_{0}(t)$ ，正如我們所期望的。需要付出的代價是，這個函式只對微小的偏離正確軌跡的情況有效。事實上，函式 $S_{3}$ 可能還有其他最小值或最大值，而原始函式 $S_{2}$ 沒有。對 $S_{3}$ 正確性的唯一真正理由是運動方程與牛頓定律一致。

為什麼我們能夠使用任意座標來寫拉格朗日量？

在簡單的情況下，拉格朗日量等於動能和勢能項的差。然而，需要選擇一些座標來描述這些項。然後，選擇哪些變數作為座標就完全無關緊要了；這些變數可以是長度、角度，或者長度和角度的任何函式（但不能是速度！）。換句話說，只要座標能夠充分描述每個質量點的可能位置，並且滿足適當的約束條件，就可以使用任何座標系，甚至只是某個座標系的部分。因此，進入拉格朗日量的座標被稱為廣義座標。通常，為了方便起見，人們會選擇廣義座標，以減少所需的計算量，或減少必要的約束條件的數量。

但是，你可能在問自己：為什麼在拉格朗日形式主義中允許使用任意座標呢？當然，我們知道，牛頓定律在不同的座標系中是不一樣的：例如，質量乘以加速度等於力，只有當加速度計算為 ${\ddot {\vec {x}}}(t)$ 時才成立，其中 ${\vec {x}}(t)$ 是笛卡爾座標 $(x,y,z)$ 的向量。如果向量 ${\vec {x}}=(x_{1},x_{2},x_{3})$ 由，比如說，半徑 $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ 、方位角 $\phi$ 在 $(x,y)$ 平面內，以及座標 $z$ 組成的話，這個公式就會不正確。但是，如果我們用變數 $(x_{1},x_{2},x_{3})=(r,\phi ,z)$ 來表示動能和勢能，拉格朗日形式主義將能夠很好地工作。運動方程將由尤拉-拉格朗日方程給出，

{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\vec {x}}}}}={\frac {\partial L}{\partial {\vec {x}}}},

如前所述，人們說拉格朗日形式在座標變換方面是協變的。

這種現象的原因可以用兩種方式解釋：更正式地，透過證明尤拉-拉格朗日方程在任意座標變化下保持不變；或者更直觀地，從幾何角度來解決問題。

形式推導

為簡單起見，我們只考慮拉格朗日量為 $L(q,{\dot {q}},t)$ 的一維問題，其中 $q(t)$ 是一個廣義座標。同樣的考慮很容易推廣到多個座標的情況。

假設選擇新的座標 $x(t)$ 來代替 $q(t)$ 。新的座標可以是舊座標的函式。讓我們考慮更一般的情況，即座標的變化取決於時間（即，我們可以在不同的時間選擇略微不同的座標）。那麼，新的座標與舊座標之間的關係可以用以下公式表示：

q(t)=F(x(t),t),

其中 $F(x,t)$ 是一個已知函式。

現在我們需要透過新的變數 $x$ 及其導數 ${\dot {x}}$ 來表達舊的拉格朗日量 $L(q,{\dot {q}},t)$ 。我們有

{\dot {q}}=F_{,t}+F_{,x}{\dot {x}},

其中，我們用帶逗號的下標表示偏導數，例如 $\partial f(a,b,c)/\partial a\equiv f_{,a}$ 。這是物理學中常用的簡化記法。

因此，用新變數 $x$ 表示的拉格朗日量為

L(q,{\dot {q}},t)={\tilde {L}}(x,{\dot {x}},t)=L(F(x,t),F_{,t}+F_{,x}{\dot {x}},t).

新的變數 $x$ 是一個很好的變數，如果它是舊變數的非平凡函式，即如果 $F_{,x}\neq 0$ 。那麼新的拉格朗日函式將是一個非平凡函式，它依賴於 ${\dot {x}}$ 以及 $x$ 。因此，我們假設 $F_{,x}\neq 0$ 至少在 $x$ 的某個區間內。

現在讓我們比較一下在舊座標系和新座標系中推匯出的運動方程（EOM）。

舊的 EOM 可以寫成

{\frac {d}{dt}}L_{,{\dot {q}}}=L_{,q}.

新的 EOM 是

{\frac {d}{dt}}{\tilde {L}}_{,{\dot {x}}}={\tilde {L}}_{,x}.

讓我們用 $L$ 代替 ${\tilde {L}}$ 來表達這個方程

${\tilde {L}}_{,x}=L_{,q}F_{,x}+L_{,{\dot {q}}}(F_{,tx}+F_{,xx}{\dot {x}}),$

${\tilde {L}}_{,{\dot {x}}}=L_{,{\dot {q}}}F_{,x},$

{\frac {d}{dt}}{\tilde {L}}_{,{\dot {x}}}=F_{,x}{\frac {d}{dt}}L_{,{\dot {q}}}+L_{,{\dot {q}}}{\frac {d}{dt}}F_{,x}.

因此，新的 EOM 是

F_{,x}{\frac {d}{dt}}L_{,{\dot {q}}}+L_{,{\dot {q}}}{\frac {d}{dt}}F_{,x}=L_{,q}F_{,x}+L_{,{\dot {q}}}(F_{,tx}+F_{,xx}{\dot {x}}).

簡化這個表示式，我們發現

F_{,x}{\frac {d}{dt}}L_{,{\dot {q}}}=F_{,x}L_{,q}.

我們發現新的運動方程在假設 $F_{,x}\neq 0$ 的情況下，確實等價於舊的運動方程。

幾何影像

上面給出的計算直觀明確，但可能會讓你想知道它為什麼有效。下面是一個更直觀的解釋。

尤拉-拉格朗日方程表達了泛函 $S[q]$ 在軌跡 $q(t)$ 處取得極值。想象一個包含所有軌跡的空間，即一個巨大的空間，其中每個“點”代表一條完整的軌跡 $q(t)$ 。泛函 $S[q]$ 在某個“點” $q_{0}$ 處取得極值，該“點”對應於機械系統的實際軌跡。當我們改變座標 $q\to x$ 時，我們只是改變了對該軌跡空間的描述方式。但我們無法改變泛函 $S$ 在某個“點” $q_{0}$ 處取得極值的事實。我們只能改變對該“點”的描述方式。因此，在變數變換後，新的泛函 ${\tilde {S}}[x]=S[q]$ 仍然會在某個“點” $x_{0}$ 處取得極值，而這個“點” $x_{0}$ 必須對應於變數變換後的“點” $q_{0}$ 。極值的存在是泛函 $S$ 形狀的幾何特徵，因此它與我們選擇用座標描述它的方式無關。

讓我們考慮一個簡單的例子，在這個例子中我們使用函式而不是泛函。函式 $f(q)=(q-1)^{2}$ 在 $q=1$ 處取得最小值。我們可以改變座標系，使用 $x$ 來代替 $q$ ，例如 $q=F(x)\equiv 2\sin x$ 。這是一個在區間 $x\in (-\pi /2,\pi /2)$ 上定義良好的變數變換，其中 $F_{,x}\neq 0$ 。在新座標系中，函式 $f(q)$ 看起來像 ${\tilde {f}}(x)=(2\sin x-1)^{2}$ 。這個函式在 $x=\pi /6$ 處取得最小值，其中 $2\sin x=1$ 。但是，從幾何學的角度來看，這與之前的函式完全相同，只是在不同的座標系下觀察。因此，最小值 $x=\pi /6$ 是在座標系變換後舊的最小值 $q=1$ 。

這種等價性可以透過更正式的方式觀察到。函式 ${\tilde {f}}(x)$ 取得最小值的條件是

{\frac {d}{dx}}{\tilde {f}}(x)=0={\frac {df(q)}{dq}}{\frac {dF}{dx}}.

此條件等效於函式 $f(q)$ 的最小值的條件，即 $f_{,q}=0$ ，只要 $F_{,x}\neq 0$ 。這就是為什麼舊座標中最小值的位置， $q=1$ ，與新座標中最小值的位置， $x=\pi /6$ ，完全一致。

類似地，當我們考慮泛函時，我們可以將 ${\tilde {S}}[x]=S[F(q)]$ 在新座標中的最小值的條件寫成

{\frac {\delta {\tilde {S}}}{\delta x(t)}}=0={\frac {\delta S}{\delta q(t)}}{\frac {dF}{dx}}.

很明顯，只要新變數定義良好，即 $F_{,x}\neq 0$ ，最小值的條件在變數變化下保持不變。

拉格朗日量是唯一的嗎？

另一個重要的問題是，對於給定的系統，是否只有一個拉格朗日量可以得到正確的運動方程。答案是，對於任何給定的系統，可以採用無限多個不同的拉格朗日量。

首先，始終可以將拉格朗日量乘以一個常數 $\alpha$ ，還可以向拉格朗日量中新增一個任意的固定時間函式， $F(t)$ 。修改後的拉格朗日量則為 ${\tilde {L}}(q,{\dot {q}},t)=\alpha L(q,{\dot {q}},t)+F(t)$ 。項 $F(t)$ 是“固定”的，因為它不依賴於 $q(t)$ 。然後我們可以顯式地對該項進行積分，並將修改後的作用量表示為