經典力學/拉格朗日練習

物理學 - 經典力學

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建立拉格朗日函式和推導運動方程的練習

我建議您完成以下所有練習（除非您立即知道如何解決每個練習）。這些練習並不難，但將為您提供處理拉格朗日函式的經驗。除非您能夠毫不費力地解決這些標準問題，否則您並不真正理解拉格朗日形式主義。

以下每個練習都提出了相同的問題：a) 引入廣義座標併為下面描述的系統寫出拉格朗日函式。b) 推匯出尤拉-拉格朗日運動方程。（沒有必要求解它們！）每個情況都設定在地球附近的重力場中。所有提到的杆都是無質量且完全剛性的。所有提到的彈簧都是無質量且完全彈性的（無摩擦），並具有彈性係數 $k$。彈簧在靜止狀態下的長度在練習中給出。

1. 一個質點 $m$ 透過一根長度為 $l$ 的杆懸掛在天花板上。它只能在 $x-z$ 垂直平面內移動。

2. 兩個質點 $m$ 懸掛在天花板上（彼此距離很遠），兩根杆的長度均為 $l$。它們都只能在 $x-z$ 垂直平面內移動。

3. 兩個質點 $m$ 懸掛在天花板上，兩根杆的長度均為 $l$。它們都只能在 $x-z$ 垂直平面內移動。此外，還有一個靜止長度為 $l$ 的彈簧連線這兩個質點。杆連線到天花板的點彼此相距 $l$。（您可能會發現 這個插圖 有用。）

4. 一個點質量 $m$ 透過一根長度為 $l$ 的棍子懸掛在天花板上。另一個點質量 $m$ 透過一根長度為 $L$ 的棍子連線到第一個點質量上。兩個質量只能在 $x-z$ 垂直平面內移動。

5. 一個點質量 $m$ 透過一根長度為 $l$ 的棍子懸掛在天花板上。另一個點質量 $m$ 透過一個自然長度為 $L$ 的彈簧連線到第一個點質量上。兩個質量只能在 $x-z$ 垂直平面內移動。

6. 兩個點質量 $m$ 連線到一根長度為 $2l$ 的棍子的兩端。棍子的中點透過一根長度為 $l$ 的棍子連線到天花板。整個裝置只能在 $x-z$ 垂直平面內移動。

7. 一個點質量 $m$ 透過一根長度為 $l$ 的棍子連線到天花板上。該點質量可以向所有方向移動。

8. 一個點質量 $m$ 透過一個自然長度為 $l$ 的彈簧連線到天花板上。該點質量可以向所有方向移動。

9. 兩輛質量相同的滑車，質量為 $m$，可以沿著 $x$ 軸上的軌道上無摩擦地滾動。它們透過一個自然長度為 $l$ 的彈簧連線在一起。

10. 一個質量為 $m$ 的手推車可以在軌道上無摩擦地滾動，軌道沿 $x$ 軸。一個擺錘，由一根長度為 $l$ 的杆和一個點質量為 $m$ 的點質量組成，剛性地安裝在手推車上，可以在 $x-z$ 垂直平面內自由移動。