時鐘和資料恢復/雜項

來自（抖動）傳遞函式的單位階躍響應

單位階躍響應可以從（抖動）傳遞函式中獲得，如下所示

• 取 s 域中的（抖動）傳遞函式(可能使用 r 代替 s/ω_n 來簡化符號，即將 ω_n 縮放到 1 ) : 它的逆變換（即 t 的函式）是單位脈衝響應。(單位脈衝的變換在 s 域中只是一個常數 1.)
• 將（抖動）傳遞函式乘以單位階躍函式的變換，即 1/s
• 逆變換到時域，即獲得 USR。 (注意：當使用尺度變化屬性f(s/a) → a*F(t*a) 時，它不適用於來自單位階躍的因子 1/s，因為階躍是單位階躍！)

一階，型別 1 迴圈

${\tfrac {Y(s)}{X(s)}}={\tfrac {1}{({\tfrac {s}{\omega _{n}}}+1)}}$ = $L{\Big \{}$單位脈衝響應${\Big \}}$

${\tfrac {Y(s)}{sX(s)}}={\tfrac {1}{s}}{\tfrac {1}{({\tfrac {s}{\omega _{n}}}+1)}}={\tfrac {1}{s}}{\tfrac {\omega _{n}}{(s+\omega _{n})}}$ = $L{\Big \{}$單位階躍響應${\Big \}}$

$\int \limits _{0}^{t}\omega _{n}e^{-\omega _{n}t}dt=\omega _{n}\left|{\tfrac {e^{-\omega _{n}t}}{-\omega _{n}}}\right|_{0}^{t}$

$={\color {blue}1-e^{-\omega _{n}t}}$

二階，型別 1 迴圈

$L{\Big \{}$單位脈衝響應${\Big \}}$ = ${\tfrac {Y(s)}{X(s)}}$ $={\tfrac {1}{\left({\tfrac {s^{2}}{\omega _{n2}^{2}}}+{\tfrac {2s\zeta }{\omega _{n2}}}+1\right)}}$

$L{\Big \{}$單位階躍響應${\Big \}}$ = = ${\tfrac {Y(s)}{sX(s)}}={\tfrac {1}{s}}{\tfrac {1}{\left({\tfrac {s^{2}}{\omega _{n2}^{2}}}+{\tfrac {2s\zeta }{\omega _{n2}}}+1\right)}}={\tfrac {1}{s}}{\tfrac {1}{\left({\tfrac {s}{\omega _{n2}}}+\zeta \right)^{2}+\left(1-\zeta ^{2}\right)}}$

$L^{-1}{\Big \{}{\tfrac {1}{s}}{\tfrac {1}{\left({\tfrac {s}{\omega _{n2}}}+\zeta \right)^{2}+\left(1-\zeta ^{2}\right)}}{\Big \}}=\int \limits _{0}^{t}\omega _{n2}{\tfrac {e^{-\zeta \omega _{n2}u}\sin {{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{n2}u}}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}\,du\,\!$

$={\tfrac {\omega _{n2}}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}\left|{\tfrac {e^{ax}(a\sin {bx}-b\cos {bx})}{a^{2}+b^{2}}}\right|_{0}^{t}$

$={\tfrac {\omega _{n2}}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}\left|{\frac {e^{-\zeta \omega _{n2}x}(-\zeta \omega _{n2}\sin {{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{n2}x}-{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{n2}\cos {{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{n2}x})}{\omega _{n2}^{2}\zeta ^{2}+(1-\zeta ^{2})\omega _{n2}^{2}}}\right|_{0}^{t}$

$={\tfrac {\left[e^{-\zeta \omega _{n2}t}(-\zeta \sin {{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{n2}t}-{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\cos {{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{n2}t})-e^{-\zeta \omega _{n2}0}(-{\sqrt {1-\zeta ^{2}}})\right]}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}$

$={\tfrac {\left[-e^{-\zeta \omega _{n2}t}(\zeta \sin {{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{n2}t}+{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\cos {{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{n2}t})+{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\right]}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}$

$={\color {red}1-{\tfrac {e^{-\zeta \omega _{n2}t}\left(\zeta \sin {{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{n2}t}+{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\cos {{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{n2}t}\right)}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}$

二階，型別 2 迴圈

${\tfrac {Y(s)}{X(s)}}={\tfrac {(s\tau _{z}+1)}{(s^{2}{\tfrac {\tau _{z}}{G}}+s\tau _{z}+1)}}$ , ${\tau _{z}={\tfrac {2\zeta }{\omega _{n2}}}}$

${\tfrac {Y(s)}{X(s)}}$ = $L{\Big \{}$單位脈衝響應${\Big \}}$ $={\tfrac {{\tfrac {2s\zeta }{\omega _{n2}}}+1}{\left({\tfrac {s^{2}}{\omega _{n2}^{2}}}+{\tfrac {2s\zeta }{\omega _{n2}}}+1\right)}}$

${\tfrac {Y(s)}{sX(s)}}=L{\Big \{}$單位階躍響應${\Big \}}={\tfrac {1}{s}}{\tfrac {{\tfrac {2s\zeta }{\omega _{n2}}}+1}{\left({\tfrac {s^{2}}{\omega _{n2}^{2}}}+{\tfrac {2s\zeta }{\omega _{n2}}}+1\right)}}={\tfrac {1}{s}}{\tfrac {{\tfrac {2s\zeta }{\omega _{n2}}}+1}{\left({\tfrac {s}{\omega _{n2}}}+\zeta \right)^{2}+\left(1-\zeta ^{2}\right)}}$

$L^{-1}{\Big \{}{\tfrac {1}{s}}{\Big (}{\tfrac {\tfrac {2s\zeta }{\omega _{n2}}}{\left({\tfrac {s}{\omega _{n2}}}+\zeta \right)^{2}+\left(1-\zeta ^{2}\right)}}+{\tfrac {1}{\left({\tfrac {s}{\omega _{n2}}}+\zeta \right)^{2}+\left(1-\zeta ^{2}\right)}}{\Big )}{\Big \}}$

$=L^{-1}{\Big \{}{\tfrac {2\zeta }{\omega _{n2}}}{\tfrac {1}{\left({\tfrac {s}{\omega _{n2}}}+\zeta \right)^{2}+\left(1-\zeta ^{2}\right)}}{\Big \}}+USR_{2.1}$

$={\tfrac {2\zeta \omega _{n2}}{\omega {n2}}}\ {\tfrac {e^{-\zeta \omega _{n2}t}\sin {{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{n2}t}}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}+1-{\tfrac {e^{-\zeta \omega _{n2}t}\left(\zeta \sin {{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{n2}t}+{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\cos {{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{n2}t}\right)}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}$

$=1+{\tfrac {e^{-\zeta \omega _{n2}t}\left(2\zeta \sin {{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{n2}t}-\zeta \sin {{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{n2}t}-{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\cos {{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{n2}t}\right)}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}$

$={\color {green}1+{\tfrac {e^{-\zeta \omega _{n2}t}\left(\zeta \sin {{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{n2}t}-{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\cos {{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{n2}t}\right)}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}$

三種情況在下面一起繪製，主要使用引數值以便進行有意義的比較。

需要強調的是，此圖中用於二階環路的 ζ 值低於實際應用中的值。

3 種 PLL 基本模型對 1 弧度的輸入階躍的響應。
引數選擇是為了產生有意義的比較，儘管用於二階環路的 ζ 值低於實際應用中的值。

僅僅一階和二階的架構？並非偶然！

實際上只使用兩種階次的 CDR 架構。

它們可以透過其抖動傳遞函式的階次來識別

1. 一階，用於相位對準 CDR，(在本書開頭介紹)；
2. 二階，用於兩種可能的型別 1 和 2，(也在同一頁介紹)。

這個“事後”結果可以與“先驗”數學理論優雅地聯絡起來。

眾所周知，任何可能的傳遞函式都可以用複頻率“s”的有理函式很好地近似（即用 s 的兩個多項式的比率）。
反過來，有理函式可以用部分分式展開表示

F(s) = ${\frac {\sum _{i=0}^{m}b^{i}s^{i}}{\sum _{i=0}^{n}a^{i}s^{i}}}$= ${\frac {\sum _{i=0}^{m}b^{i}s^{i}}{\prod _{i=1}^{r}(s+p_{i})_{i}^{n}}}$ = $b_{n}+\sum _{i=1}^{r}\sum _{k=1}^{n_{i}}{\frac {c_{i}k}{(s+p_{i})^{k}}}$

F(s) = ${\frac {\sum _{i=0}^{m}b^{i}s^{i}}{\sum _{i=0}^{n}a^{i}s^{i}}}$ = $b_{n}+{\frac {c_{11}}{(s+p_{1})}}+{\frac {c_{22}}{(s-\sigma -j\omega )(s-\sigma +j\omega )}}+$ 更多複雜項

(分母多項式有 $n_{1}$ 個根等於 $p_{1}$, $n_{2}$ 個根等於 $p_{2}$, ..., $n_{r}$ 個根等於 $p_{r}$ 其中 $\textstyle \sum _{i=1}^{r}\textstyle n_{i}$ = n)

也就是說，CDR 可以使用一階環路或二階環路實現，也可以使用它們的乘積或和實現。

常見的工程常識要求設計要“儘可能簡單”。

因此，我們將只選擇最簡單的可能性之一。

• 一個常數 $b_{n}$ 是一個平坦的抖動傳遞函式，而不是一個實際的選擇；
• 當主要考慮因素是簡單的實現、快速的響應（= 採集）以及對引數漂移和非線性的高魯棒性時，將選擇一階（抖動）傳遞函式；
• 當低頻效能（穩態誤差 = 直流相位誤差；抑制低頻噪聲；...）或高頻效能（緊湊頻寬用於輸入抖動濾波）是主要關注點時，將選擇二階（抖動）傳遞函式。在第一種情況下，將選擇 2.2，在第二種情況下，將選擇 2-1。
• 任何其他（不可避免地更復雜）的可能性並不會帶來更多效能，反而會使電路對引數變化和小的非線性更加敏感（通常過於敏感）。

這三種基本模型將在三個專門章節中進一步開發。

1. 一階（型別 1）PLL
2. 二階型別 1 PLL
3. 二階型別 2 PLL.

PLL 模擬

它們是什麼

為了驗證本書內容，開發了一些建模和模擬程式。每個程式的輸出都包含時間和/或頻率圖，這些圖被用作本書的插圖。它們基於簡單的計算表格，這些表格是用免費的電子表格軟體（Apache Open Office 和/或 LibreOffice）編寫的，並且作為免費軟體提供給讀者。

一些計算檔案（最早的那些）可以透過以下連結找到和下載：

PLL Simulator 11 21 22 線性 PhComp Rev 3.3 2011 年 8 月 21 日

PLL Simulator 11 21 22 bang-bang PhDet Rev 3.2 2011 年 8 月 29 日

PLL 11 21 22 線性小訊號模型，包括抖動傳遞、誤差、容差和噪聲 Rev 1.0 2011 年 8 月 13 日

它們可以在任何標準的個人電腦上執行。

列表中的第一個程式模擬了基於線性鑑相器的 PLL 電路中的訊號。

列表中的第二個程式模擬了基於 bang-bang 鑑相器的 PLL 電路中的訊號。

列表中的第三個程式模擬了列表中第一個程式模擬的電路的小訊號線性模型的 jω 函式的幅值。

這三個程式都涵蓋了 PLL 的三種主要拓撲結構：一階（型別 1）、二階型別 1 和二階型別 2。

更晚和更專業的版本（例如，大多數時間和頻率圖使用的版本）可以根據要求提供。^[5]

目的

教學目的，為了

• 識別和指出 PLL 的基本模組，以及 CDR 的時鐘恢復部分。
  • 每個模組都根據其功能、輸入/輸出連線、特性和主要限制（= 不可避免的非線性）進行識別。
  • 模擬的結構是 PLL 的完整結構。
• 理解 PLL 的整體操作（= 時鐘恢復）。
• 熟悉構成數學模型的公式和方程（以及它們在模擬器或建模計算表格中的實現）。
• 引入離散時間的概念，因為實際的 PLL 通常是用數字的、離散時間電路製造的。實際上，該工具

  • 僅使用 1500 或 3000 個時間或頻率步驟，
  • 使用差分方程的形式為遞迴關係。另見：差分方程，以瞭解迴圈濾波器和 VCO 模擬中使用的公式。

如何製作

每個檔案都包含一些描述表格，詳細介紹了軟體的構建方式。

這些細節有助於理解甚至修改計算表格。

讀者被鼓勵儘可能地利用這些頁面，就像利用進行實際計算的頁面一樣。

模擬的每個模組都遵循本書中的描述，這些描述在每個軟體部分的說明表格中被重複和進一步詳細說明。

侷限性

這些程式是簡單的工具，因此有相應的侷限性。
必要的注意事項與以下方面相關：

接收線路脈衝的週期與模擬中使用的時步不一致。在大多數情況下，時步明顯更長。

出現的唯一頻率是表徵環路操作的頻率。它們是唯一真正被模擬或繪製的頻率。

對於您想模擬的情況，線路頻率始終應明顯高於（通常是 10 倍或更多倍）環路操作的任何重要頻率。

這些程式僅使用 1500 或 3000 個時間或頻率步驟。

模擬的是一個 PLL，而不是整個 CDR。模擬器將顯示以下事件：

相位誤差的抖動，因為輸入正弦變化（主要代表符號間干擾抖動）使鑑相器在鋸齒形特性的齒邊緣來回反轉；

時鐘滑移，當 PLL 停止跟蹤與輸入訊號平行的訊號但存在一個鑑相器範圍的倍數的間隙時，很容易檢測到。

模擬程式將無法顯示以下內容：

位元錯誤，因為模擬不考慮輸入位元流，只考慮其相位；

環路增益變化（由可變輸入轉換密度或鑑相器的非線性增益引起）。這是因為與上述原因相同。

一些時間模擬研究了具有非線性相位和相位/頻率檢測器的 PLL 的捕獲階段。

參見：CDR 鑑相器 和後續頁面，瞭解更多考慮因素以及使用這些模擬器生成的時序圖。

儘管存在許多侷限性，但這些工具仍然有效，並且足夠複雜，可以幫助普通電子工程師

更好地理解 CDR 中 PLL 的工作原理.

突發模式上行：20 到 50 個轉換，用於鎖定到傳入的突發。以 2.5 Gbps 上行/1.25 Gbps 下行 GPON 為例

http://www.itu.int/rec/T-REC-G.984.2/en ITU-T 建議 G.984.2

GPON 的示例比 EPON 更重要，因為

• GPON 規範在突發捕獲階段的要求更高，並且
• GPON 規範定義了速度最快的突發模式接收器（在捕獲階段），並且在光接入應用的頻率下，其鎖定狀態效能仍然良好。

物理層開銷

在定義了下行 2.5 Gbps 和上行 1.25 Gbps 的 GPON 中，上行突發允許多達 96 個位元，用於所謂的物理層開銷 (Plo)。

這些位元用於檢測突發的出現，用於 CDR 電路的鎖相，以及準確識別突發資訊位元接收的開始（= 突發分隔功能）。

將 Plo 的位元分配給 OLT 功能

96 個位元時間中的前 32 個分配用於生成突發之間的保護時間。

32 箇中的 16 個分配用於遮蔽先前突發的遠端發射器的熄滅瞬變。

接下來的 16 個分配用於提供對接管併發送新突發的遠端發射器的啟用瞬變的裕量。

96 個位元中的最後 20 個用於突發分隔功能。

在 96 箇中的中間 44 個位元期間，ONT 中的遠端發射器傳送一個前導碼模式，該模式為快速電平恢復和時鐘恢復功能提供最大的轉換密度。

根據實現的選擇，OLT 接收器可以允許自突發開始以來多達 50 個轉換（p1=0，p2=0，p3=10 重複 22 次，加上分隔符的一些初始脈衝），或少至 20 個轉換，以實現鎖定。下圖顯示了後一種情況下的實際可能的瞬態。