時鐘與資料恢復/緒論/模型只能是線性的...

參考模型

如今，CDR 電路使用 PLL 架構實現，並且主要或完全使用 CMOS 數位電路實現。
電路的複雜性通常非常大，以至於架構並不總是清晰可見，因此電路的工作原理並不完全清楚。
參考使用一階或二階 PLL 架構實現 CDR 的相對簡單的電路非常有用。
理解模型的特性以及描述其行為的數學方程非常適合理解幾乎所有實際電路，並且通常甚至可以更好地設計它們。

數學描述

可以使用框圖來描述物理系統，或者可以使用其原理圖，或者可以使用描述其各個部分的數學方程組。
但是，當需要詳細的關係時，需要以系統方程的形式建立數學模型。

理論上，每個控制系統都可以用數學方程來表徵。
這些方程的解表示系統的行為。
通常，這個解很難找到，甚至不可能找到。
在這些情況下，必須在數學描述中做出一些簡化假設。

線性模型

（適用於“小訊號”條件 - 線性方程和公式 - s 和 jω 函式）

對於大量的控制系統，這些近似和簡化導致可以用線性常微分方程描述的系統。求解這些方程的技術在數學和工程文獻中都有詳細的記載。

更準確地說，在PLL 的大部分工作範圍內，它滿足某些條件：它是線性的，時不變的，因果的，有時全部縮寫為LTI。

在這些條件下，模型得到了簡化

1. 微分方程在變換域中變成了代數多項式方程。
2. t 域中的所有解都是函式 = 0，對於所有 t < = 0，
3. 如果系統處於穩態，則拉普拉斯變換（s 的函式）與相應的傅立葉變換完全重疊。在前者中用0 + jω替換s就足以獲得後者。

本書使用拉普拉斯變換的基本概念來分析所呈現的電路，識別極點和零點等。

對於穩態現象（抖動傳遞、抖動容限、噪聲整形），分析仍然在變換域中進行，使用更簡單的傅立葉變換（對於 s = 0 + jω 獲得）。

抖動傳遞函式：輸出抖動與輸入抖動的比率（=閉環傳遞函式）。
自變數ω是定時轉換正弦抖動的角頻率.

簡化在於使用實變數的實函式，即感興趣的函式的幅值
1. 實自變數。在穩態下，並非所有可能的s值都需要考慮，而只需要其虛部ω的值，即實變數。得到的ω函式仍然假設複數值，例如幅值和相位或實部和虛部。
2. 實因變數。如果系統是最小相位系統（一個合理的假設），只需要使用系統頻率響應的幅值（=絕對值），因為它包含所有資訊。
幅值通常在波德幅值圖中表示。PLL 工程師通常忽略相位。

對於瞬態現象，拉普拉斯域中的函式被反變換以獲得時間函式形式的解（在本書中，主要是(單位)階躍響應）。

在現代通訊系統中，時鐘與資料恢復電路（CDR）的實現主要為數字方式，並且電路可能非常複雜（特別是環路濾波器和本地振盪器）。

設計人員有時可能難以選擇合適的架構，並且在某些情況下也難以理解電路本身的工作原理。

在產品開發的下游，負責驗證、確認、表徵和測試的工程師通常甚至不會嘗試識別環路的根本架構。

解決此問題的最佳方法是選擇一個與經過充分理解的 CDR 模型的結構相對應的系統架構，並參考其數學描述來理解所有條件下的閉環操作，並實際設計系統電路塊。

參考基本結構和可應用的線性建模也將使隨後的工業化、操作和維護的工程任務更容易和更有效。

一階階、型別 1 和二階階、型別 1 和 2 的三種模型架構，為實際 CDR 提供了穩定性和效能之間的最佳折衷方案。

它們還可以很好地用數學描述，並且其操作易於理解。

一旦熟悉了它們的操作，電路設計人員將能夠決定在塊結構甚至其 CDR 階數方面做出哪些電路選擇。

電路塊的線性模型→整個電路的線性模型
只要電路塊的引數保持不變，每個電路塊都可以在一定範圍的輸入訊號內用線性模型描述。

當（如 CDR 中經常出現的情況）塊被設計為以輸入到輸出的線性關係執行時，整個系統可以用一個線性模型在很寬的執行範圍內描述。

本書詳細介紹了三種線性模型，適用於相位比較器塊（基於鋸齒波，在跳到前一個和下一個齒的點之間呈線性）和壓控振盪器（基於具有連續控制並在控制範圍的頻率極限內呈線性的頻率控制振盪器）都可以用線性模型描述的情況。
這三種模型屬於兩種基本架構

• 一階（型別 1）環路
• 基於二階 PLL 的（從屬）CDR

  二階型別 1

  二階型別 2

某些電路塊的非線性阻止了它們的建模→求助於架構的線性模型仍然有用

線性模型的實用性當然適用於其塊可以用線性方程單獨建模的系統。

但“線性”模型的實用性超出了它們旨在描述的線性電路的研究範圍。

即使對於一個或多個塊，線性模型也不可能，整個結構的“線性”模型仍然有用。

在許多實際情況下，可用技術的限制或成本限制了使用“線性”相位比較器和/或“線性”壓控振盪器。

可以使用線性模型來研究非線性系統（例如基於邦邦相位檢測器的 PLL），但限制在於線性模型僅在輸入訊號變化的有限範圍內有用。

有必要將系統限制在“小訊號”條件下，在該條件下，硬非線性不會使系統偏離線性太遠。

因此，用線性方程對這些模組進行建模僅限於訊號在工作點附近非常小的變化。只要訊號在工作點附近變化很小，就可以認為模組的引數是恆定的。

儘管如此，“線性”情況下的線性模型仍然有用（除了它是唯一可用的閉式工具之外！）。

熟悉“線性”架構的模型可以非常有助於理解“非線性”電路在某個工作點附近的行為。.

當訊號偏移量很大且無法忽略非線性方面時，線性模型不再有效，但模擬仍然是工程師可用的有效工具。

模擬器可以包含一些非線性。

（適用於“大訊號”條件，模擬需要逐個案例重新計算）

系統的形式化建模基於數學模型，該模型試圖找到分析解，以便根據一組引數和初始條件預測系統的行為。

當訊號很大時，電路塊的非線性不能忽略，線性模型不再準確。

計算機模擬隨後被用作數學模型的補充或替代，用於無法獲得簡單閉式解析解的系統條件，例如，當一些硬非線性對於進行預測至關重要時。

這通常是CDR採集階段的情況。

已經開發了一些建模和模擬程式來驗證本書的內容。

特別是，一些程式被開發用於對一階或二階CDR的採集階段進行良好的預測。

其他程式生成角頻率ω的抖動函式的波德圖。

它們都包含時間和/或頻率圖作為輸出，這些圖經常被用作本書中的插圖。

它們都基於簡單的計算表格，使用免費軟體程式（Apache Open Office和/或LibreOffice）編寫，並作為免費軟體元件提供給讀者。

只有三種架構具有實用價值

本書將展示一些可能的CDR模型架構，並指出實際選擇僅限於三種！

在所有實際情況下，這三種模型之一是提供對CDR操作良好理解的基本工具。

將詳細描述CDR電路的線性、時不變理想化。

以下基本情況：

1. 用於突發模式CDR的一階環路（通常但並非總是相位對準器）（一階型別1）
2. 用於再生（從屬）CDR的二階環路（二階型別1）
3. 用於增益變化範圍很大的非線性塊的二階環路（二階型別2）

將被介紹並強調為唯一真正重要的使用模型（即使實際實現中的一些塊是非線性的）。
有關為什麼環路按階數和型別識別的更多詳細資訊，請參見本書後面一點的頁面。
儘管這種理想化在某些特定方面可能無法完美地描述我們的電路（某些電路塊的非線性等），但它們有助於簡化數學，使我們免於迷失在大量代數量中，並且最重要的是產生可以非常有用地解釋的結果。
本書後面有一個名為CDR的結構和型別/示例的部分，其中顯示了這三種模型的特徵函式，以及其他一些模型的特徵函式。
CDR的結構和型別/示例中介紹的其他模型架構僅用於教學目的，對於電子工程師沒有實用價值。
相反，這三個基本模型將在三個專門的章節中進一步開發

1. 一階（型別1）PLL
2. 二階型別1 PLL
3. 二階型別2 PLL.

一階系統

這些系統只有一個自由度。
在一階PLL的研究中，考慮了脈衝響應的時間常數，稱為τ（tau）。

此時間常數τ正好是環路增益的倒數

1 / τ = G_φ * G_f * G_VCO = G

自然頻率ω_n1定義為1/τ = G。(下標n表示自然，下標1 - 可選 - 表示一階)

一階系統主要用於快速鎖定採集很重要的場合。

快速採集實際上意味著τ/T_p在25到100之間，其中T_p = 1/ f_p是每個接收脈衝的週期。

需要注意的是，G_φ和G_VCO幾乎總是實現電路所選技術的必然結果。因此，電路設計人員主要需要調整G_f以獲得所需的τ值。

二階系統

這些系統有兩個自由度。

在二階PLL的模型中，考慮的量是阻尼比ζ和自然角頻率（無阻尼）ω_n2。

（字尾_2-新增到ω_n只是為了記住此引數指的是二階系統，
字尾₂₁或₂₂新增到ω_n和ζ只是為了記住該引數指的是二階系統，型別1或2。型別0不用於CDR應用）

為了使PLL在CDR內部具有實用價值，阻尼比ζ必須接近1（0.7到1.3），以確保環路的特性既不過阻尼也不欠阻尼。

因此，說二階環路比一階環路多一個自由度是一種誇大其詞。

更公平地說，在這兩種情況下，環路的時間（和頻率）響應主要由增益G設定。在二階環路的情況下，可以獲得與允許的（有限）ζ變化範圍相關的稍高的可變性。$\zeta$.

二階環路中的自然角頻率ω_n2取決於

• 環路增益（類似於一階環路）
• 阻尼比ζ
• 但也取決於環路的型別

如果頻率ω_n1再次定義為1/G（如一階環路中），則2-1和2-2環路的自然頻率為

ω_n21 = 2 ω_n1 ζ₂₁；ω_n22 = ω_n1 / 2 ζ_n22

例如，如果ω_n2 = ω_n1，則ζ = ½.

用於資料傳輸中PLL時鐘恢復的二階架構模型

型別1和型別2的二階環路彼此之間存在很大差異，並且它們的架構用於CDR的不同應用，本書後續頁面將對此進行強調。

三階系統

單位反饋

CDR的PLL是一個單位反饋系統，因為輸出（恢復的時鐘）應儘可能接近輸入（嵌入在傳入脈衝流中的時鐘），除了抑制後者的高頻分量。

低通

PLL 抖動傳遞函式的拐角頻率（大約為 ω_nx，其中 x 為環路階數）表示較低頻率的抖動會被跟蹤，而較高的輸入頻率則不會被跟蹤（= 被抑制）。較低頻率應該是採集瞬態以及跟蹤輸入訊號固有抖動和漂移所需的頻率。

僅限 1 型或 2 型

CDR 的 PLL 或者是 1 型環路，或者是 2 型環路(型別指的是開環傳遞函式在原點處的極點數，也就是因子 1/s 在開環傳遞函式中出現的次數)。在 1 型或 2 型環路中，輸入和輸出相位之間的平均距離（取樣誤差）要麼是有限的，要麼是零。

補償器

額外的奇點（極點和零點）被加在一起，從而增加了環路的階數，但沒有改變其型別。它們構成了一個“補償器”。

在不失一般性的前提下，任何三階 CDR 環路都可以建模為二階環路，並在 PLL 的前向路徑中新增一對極點零點（包括零點或極點位於 ω = 0 或 ω = ∞ 的極端情況），從而增加了環路濾波器的複雜性。

CDR 的三階系統模型（單位反饋）是
二階環路，在前向路徑中添加了一對極點零點。

滯後補償器

補償器必須是低通（ω_p < ω_z，即“滯後”補償器），因為輸入訊號中的高頻抖動和噪聲必須被更多地抑制，而不是更少地抑制。

遠離 ω_n2 的補償

為了不干擾正在使用補償器進行改造的 CDR 的主要特性，補償器本身的作用頻率應至少比被補償環路的 ω_n2 遠兩個數量級。

例如，假設抖動傳遞函式應該在高達 ω_n2 的範圍內保持非常接近幅度 = 1。在 ω_n2 以下，再生時鐘的頻譜應既不選擇性地強調也不選擇性地去強調需要從輸入訊號中恢復的時鐘的頻譜。

在再生裝置或網路中的時鐘分配情況下，此要求是明確且嚴格的.

這就是為什麼二階模型仍然描述了環路的重要效能，以及為什麼可能的補償只補償邊際效能的原因。但是三階模型很複雜，不值得花精力去記住它們本身，因為基本效能僅取決於底層的二階系統。

• 改造二階系統並在較高頻率範圍內執行的滯後補償器的情況並不複雜，並且在實際中總是相關的。所有實際系統在其頻率行為上都受到高頻極點的限制，這些極點不可避免地來自所涉及電路的有限頻寬。此外，在 CDR 中，至少會故意新增一個第一個高頻極點（相位比較器或電荷泵輸出處的低通濾波器），但頻率足夠高，不會干擾所需的環路特性。

• 改造二階系統並在較低頻率範圍內執行的滯後補償器原則上是適用的，但僅適用於 2-1 系統。它不會改善 2-2 CDR，因為 2-2 CDR 在開環傳遞函式中已經在低頻下具有非常高的增益。
  這種二階 1 型系統顯然會受益於穩態（= 取樣）誤差壓縮到更低的值，這是新增補償器帶來的結果。但是，這種改進的效能只有在採集階段很久之後才會顯現出來，並且與補償器的極點/零點對的平均頻率與 ω_n2 之間的比率成正比。這是一個補償 CDR 如何不會實質上改變基本環路行為的例子：實際上，更長的建立時間也將與跟蹤頻寬的成比例減少相關聯，從而降低取樣誤差。

兩個基本二階模型（可以透過結合補償器將其更貼切地建模為三階系統）仍然是始終需要牢記的基本工具，以便理解環路的重要效能。

三階模型很少以這種形式使用，儘管模擬通常會包含額外的極點和/或補償器。