控制系統/系統指標

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系統指標

在設計和分析系統時，用各種奇怪的輸入函式測試系統，或測量各種任意效能指標毫無意義。相反，在所有人的最大利益中，應該用一組標準的簡單參考函式來測試系統。一旦系統用參考函式測試完畢，我們可以使用許多不同的指標來確定系統性能。

值得注意的是，本章介紹的指標僅僅代表可以用於評估給定系統的一小部分指標。本華夏公益教科書將沿途介紹其他有用的指標，因為它們的需要變得明顯。

標準輸入

注意:
所有標準輸入在時間零之前均為零。所有標準輸入都是因果關係的。

在設計系統時，有一些標準輸入被認為足夠簡單和通用，因此會被考慮在內。這些輸入被稱為單位階躍、斜坡和拋物線輸入。

單位階躍: 單位階躍函式被定義為分段函式，如下所示

[單位階躍函式]

u(t)=\left\{{\begin{matrix}0,&t<0\\1,&t\geq 0\end{matrix}}\right.

單位階躍函式是一個非常重要的函式，不僅在控制系統工程中，而且在訊號處理、系統分析和所有工程分支中也是如此。如果將單位階躍函式輸入到系統中，則系統的輸出被稱為階躍響應。階躍響應是系統的一個重要工具，我們將在後面的章節中詳細研究階躍響應。

斜坡: 單位斜坡函式根據單位階躍函式定義，如下所示

[單位斜坡函式]

r(t)=tu(t)

重要的是要注意，單位階躍函式僅僅是單位斜坡函式的微分

r(t)=\int u(t)dt=tu(t)

當我們學習拉普拉斯變換時，這個定義會派上用場。

拋物線: 單位拋物線輸入類似於斜坡輸入

[單位拋物線函式]

p(t)={\frac {1}{2}}t^{2}u(t)

還要注意，單位拋物線輸入等於斜坡函式的積分

p(t)=\int r(t)dt=\int tu(t)dt={\frac {1}{2}}t^{2}u(t)={\frac {1}{2}}tr(t)

同樣，這個結果將在我們學習拉普拉斯變換時變得重要。

此外，正弦和指數函式也被認為是基本的，但它們在系統的初始分析中太難使用。

穩態

注意:
更準確地說，我們應該取t趨於無窮大的極限。但是，為了簡化表示，我們通常會說“t 等於無窮大”，並假設讀者理解所使用的快捷方式。

當將單位階躍函式輸入到系統時，該系統的穩態值是系統在時間 $t=\infty$ 時的輸出值。由於在無窮大時觀察系統是不切實際的（如果不是完全不可能的話），因此會使用近似值和數學計算來確定系統的穩態值。大多數系統響應是漸近的，也就是說響應接近某個特定值。從觀察該響應的圖形可以明顯看出漸近的系統。

階躍響應

系統的階躍響應最常用於分析系統，並且階躍響應涉及大量的術語。當暴露於階躍輸入時，系統最初將有一個不可取的輸出週期，被稱為瞬態響應。瞬態響應發生是因為系統正在接近其最終輸出值。系統的穩態響應是在瞬態響應結束後產生的響應。

系統輸出達到所需值所花費的時間（在瞬態響應結束之前，通常）被稱為上升時間。瞬態響應結束和穩態響應開始所花費的時間被稱為調節時間。

系統工程師通常會嘗試改進系統的階躍響應。一般來說，希望減小瞬態響應，縮短上升時間和調節時間，並且穩態接近特定的所需“參考”輸出。

具有 $x(t)=Mu(t)$ 的任意階躍函式	輸入x(t) 到一個虛構系統的階躍響應圖

目標值

目標輸出值是系統在給定輸入下試圖獲得的值。這與穩態值不同，穩態值是系統實際獲得的值。目標值通常被稱為參考值或系統的“參考函式”。本質上，這是我們希望系統產生的值。當我們在電梯中輸入“5”時，我們希望輸出（電梯的最終位置）是五樓。按下“5”按鈕是參考輸入，是我們期望獲得的值。如果我們按下“5”按鈕，電梯卻到了三樓，那麼我們的電梯設計就很糟糕。

上升時間

上升時間是系統響應從初始狀態為零達到目標值所需的時間。許多關於該主題的教科書將上升時間定義為從初始位置上升到目標值的 80% 所需的時間。這是因為有些系統永遠不會上升到預期目標值的 100%，因此它們將具有無限的上升時間。本書將指定每個問題的使用約定。上升時間通常用t_r或t_rise表示。

百分比過沖

欠阻尼系統通常會在初始時超過其目標值。這種初始激增被稱為“過沖值”。過沖量與系統目標穩態值的比率稱為百分比過沖。百分比過沖代表系統的過度補償，可能會輸出危險的大的輸出訊號，從而損壞系統。百分比過沖通常用PO表示。

示例：冰箱

考慮一臺普通的家庭冰箱。冰箱有開和關的迴圈。當冰箱開啟時，冷卻劑泵正在執行，冰箱內部的溫度降低。溫度下降到遠低於所需水平，然後泵關閉。

當泵關閉時，溫度會隨著熱量被吸收進入冰箱而緩慢升高。當溫度升高到足夠高時，泵將重新啟動。由於泵最初會使冰箱比需要的溫度低得多，因此我們可以說它以一定量的“過沖”超過了目標值。

示例：冰箱

另一個與冰箱有關的例子是熱泵首次啟動時的電力需求。泵是一種感應機械電機，當電機首次啟動時，一種稱為“反電動勢”的特殊反作用力會抵抗電機的運動，並導致泵消耗更多電力，直到電機達到其最終速度。在泵啟動期間，與冰箱在同一電路上的燈可能會有輕微的變暗，因為電力從燈中轉移到泵中。這種最初的電力消耗是過沖的典型例子。

穩態誤差

通常，字母e或E將用於表示誤差值。

有時系統可能永遠無法達到所需的穩態值，而是會穩定在不希望的輸出值上。穩態輸出值與穩態時參考輸入值之間的差值稱為系統的穩態誤差。我們將使用變數e_ss來表示系統的穩態誤差。

調節時間

在系統的初始上升時間之後，一些系統會在系統輸出穩定在最終值之前振盪和振動一段時間。從初始上升時間開始達到穩態所需的時間稱為調節時間。請注意，阻尼振盪系統可能永遠不會完全穩定，因此我們將調節時間定義為系統達到並保持在一定可接受範圍內的所需時間。調節時間的可接受範圍通常由每個問題決定，儘管常見的值是目標值的 20%、10% 或 5%。調節時間將表示為t_s。

系統階數

系統階數由系統中獨立儲能元件的數量定義，直觀地由描述系統的線性微分方程的最高階數定義。在傳遞函式表示中，階數是傳遞函式中最高指數。在真系統中，系統階數定義為分母多項式的次數。在狀態空間方程中，系統階數是系統中使用的狀態變數的數量。系統的階數通常用n或N表示，儘管這些變數也用於其他目的。本書將明確區分這些變數的使用。

真系統

真系統是一個系統，其中分母的次數大於或等於分子多項式的次數。嚴格真系統是一個系統，其中分母多項式的次數大於（但從不等於）分子多項式的次數。雙真系統是一個系統，其中分母多項式的次數等於分子多項式的次數。

重要的是要注意，只有真系統才能在物理上實現。換句話說，一個非真系統是不可能建造的。沒有必要花費大量時間來設計和分析假想的系統。

示例：系統階數

找到這個系統的階數

G(s)={\frac {1+s}{1+s+s^{2}}}

分母中最高的指數是 s²，因此係統是二階。此外，由於分母的次數高於分子，因此該系統是嚴格真的。

在上面的例子中，G(s) 是一個二階傳遞函式，因為分母中一個 s 變數的指數為 2。二階函式是最容易處理的。

系統型別

假設我們有一個過程傳遞函式（或函式組合，例如控制器饋入過程），所有這些都位於單位反饋迴路的前向分支中。假設整個前向分支傳遞函式採用以下廣義形式（稱為零極點形式）

[零極點形式]

G(s)={\frac {K\prod _{i}(s-s_{i})}{s^{M}\prod _{j}(s-s_{j})}}

原點處的極點被稱為積分器，因為它們對輸入訊號執行積分。

我們將引數M 稱為系統型別。請注意，系統型別編號的增加對應於 s = 0 處極點的數量增加。原點處更多極點通常對系統有益，但它們會增加系統的階數，並使物理實現越來越困難。系統型別通常用字母表示，如N、M 或m。由於這些變數通常被重複用於其他目的，本書將在使用時進行明確區分。

現在，我們將定義一些在討論系統型別時常用的術語。這些新術語是位置誤差、速度誤差和加速度誤差。這些名稱是物理學術語的迴歸，其中加速度是速度的導數，而速度是位置的導數。請注意，這些術語都不打算處理運動。

位置誤差: 位置誤差，用位置誤差常數 $K_{p}$ 表示。這是系統在受到單位階躍輸入激勵時的穩態誤差量。我們定義位置誤差常數如下：

[位置誤差常數]

K_{p}=\lim _{s\to 0}G(s)

其中 G(s) 是我們系統的傳遞函式。

速度誤差: 速度誤差是系統在受到斜坡輸入激勵時的穩態誤差量。我們定義速度誤差常數如下：

[速度誤差常數]

K_{v}=\lim _{s\to 0}sG(s)

加速度誤差: 加速度誤差是系統在受到拋物線輸入激勵時的穩態誤差量。我們定義加速度誤差常數為：

[加速度誤差常數]

K_{a}=\lim _{s\to 0}s^{2}G(s)

現在，此表將簡要顯示系統型別、輸入型別（階躍、斜坡、拋物線）和系統穩態誤差之間的關係。

	單位系統輸入
型別，M	Au(t)	Ar(t)	Ap(t)
0	$e_{ss}={\frac {A}{1+K_{p}}}$	$e_{ss}=\infty$	$e_{ss}=\infty$
1	$e_{ss}=0$	$e_{ss}={\frac {A}{K_{v}}}$	$e_{ss}=\infty$
2	$e_{ss}=0$	$e_{ss}=0$	$e_{ss}={\frac {A}{K_{a}}}$
> 2	$e_{ss}=0$	$e_{ss}=0$	$e_{ss}=0$