控制系統/系統建模

控制過程

控制工程師的工作是分析現有系統，並設計新系統以滿足特定需求。有時需要設計新系統，但更常見的是需要設計一個控制器單元來提高現有系統的效能。在設計系統或實施控制器來增強現有系統時，我們需要遵循一些基本步驟

1. 用數學模型對系統進行建模
2. 分析數學模型
3. 設計系統/控制器
4. 實施系統/控制器並測試

本書的大部分內容將重點關注 (2)，即對數學系統的分析。本章將專門用於討論系統的數學建模。

外部描述

系統的外部描述將系統輸入與系統輸出聯絡起來，而不顯式考慮系統的內部工作原理。系統的外部描述有時也稱為系統的輸入-輸出描述，因為它只處理系統的輸入和輸出。

如果系統可以用數學函式h(t, r)表示，其中t是觀察輸出的時間，r是施加輸入的時間。我們可以透過使用積分將系統函式h(t, r)與輸入x和輸出y聯絡起來

[一般系統描述]

$y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }h(t,r)x(r)dr$

這種積分形式適用於所有線性系統，每個線性系統都可以用這樣的方程描述。

如果一個系統是因果的（即t=r時的輸入僅影響系統行為 $t\geq r$）並且在t=0之前沒有系統輸入，我們可以改變積分的極限

$y(t)=\int _{0}^{t}h(t,r)x(r)dr$

時不變系統

如果系統還時不變，我們可以將系統描述方程改寫如下

$y(t)=\int _{0}^{t}h(t-r)x(r)dr$

這個方程被稱為卷積積分，我們將在下一章中詳細討論它。

每個線性時不變 (LTI) 系統都可以與拉普拉斯變換一起使用，這是一個強大的工具，它允許我們將方程從時域轉換為S域，在 S域中許多計算更容易。時變系統不能與拉普拉斯變換一起使用。

內部描述

如果一個系統是線性和集中的，它也可以用一組方程來描述，這些方程被稱為狀態空間方程。在狀態空間方程中，我們使用變數x來表示系統的內部狀態。然後我們使用u作為系統輸入，我們繼續使用y作為系統輸出。我們可以將狀態空間方程寫成這樣

$x'(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)$

$y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)$

當我們進入現代控制部分時，我們將更多地討論狀態空間方程。

複雜描述

LTI 和集中的系統也可以用狀態空間方程和拉普拉斯變換的組合來描述。如果我們對上面列出的狀態方程進行拉普拉斯變換，我們可以得到一組稱為傳遞矩陣函式的函式。我們將在後面的章節中討論這些函式。

表示

回顧一下，我們將準備一個表格，其中包含各種系統屬性，以及描述系統的可用方法

屬性	狀態空間 方程式	拉普拉斯 變換	傳遞 矩陣
線性、時變、分散式	否	否	否
線性、時變、集中式	是	否	否
線性、時不變、分散式	否	是	否
線性、時不變、集中式	是	是	是

我們將在本書後面討論所有這些不同的系統表示型別。

分析

一旦使用上面列出的表示方法之一對系統進行建模，就需要分析系統。我們可以確定系統的指標，然後將這些指標與我們的規格進行比較。如果我們的系統滿足規格，我們就可以完成設計過程。但是，如果系統不滿足規格（通常情況下），則需要設計和新增合適的控制器和補償器。

一旦控制器和補償器設計完成，工作還沒有結束：我們需要分析新的複合系統以確保控制器正常工作。此外，我們需要確保系統穩定：不穩定的系統可能很危險。

頻域

對於建議、早期階段設計和快速週轉分析，頻域模型通常優於時域模型。頻域模型直接採用擾動 PSD（功率譜密度），直接使用傳遞函式，並直接生成輸出或殘差 PSD。答案是穩態響應。通常，控制器旨在實現 0，因此穩態響應也是殘差誤差，這將是分析輸出或報告的指標。

表 1：頻域模型輸入和輸出

輸入	模型	輸出
PSD	傳遞函式	PSD

數學簡要概述

頻域建模是確定系統對隨機過程的脈衝響應的問題。

圖 1：頻域系統

$S_{YY}\left(\omega \right)=G^{*}\left(\omega \right)G\left(\omega \right)S_{XX}=\left|G\left(\omega \right)\right\vert S_{XX}$

其中

$S_{XX}\left(\omega \right)$ 是單邊輸入 PSD，以 ${\frac {magnitude^{2}}{Hz}}$ 為單位

$G\left(\omega \right)$ 是系統的頻率響應函式，並且

$S_{YY}\left(\omega \right)$ 是單邊輸出 PSD 或自功率譜密度函式。

頻率響應函式 $G\left(\omega \right)$ 與脈衝響應函式（傳遞函式）的關係為

$g\left(\tau \right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{i\omega t}H\left(\omega \right)\,d\omega$

請注意，一些文字會說明這僅對平穩隨機過程有效。其他文字建議平穩和遍歷，而另一些文字則說明弱平穩過程。一些文字沒有區分嚴格平穩和弱平穩。從實踐經驗來看，經驗法則是，如果輸入過程的 PSD 逐小時和逐日保持一致，則可以使用輸入 PSD，並且上述方程有效。

筆記

在 ControlTheoryPro.com 上檢視包含示例的完整說明

建模示例

控制系統中的建模通常是判斷的問題。這種判斷是透過建立模型和從他人的模型中學習來發展起來的。ControlTheoryPro.com 是一個包含許多示例的網站。以下是其中一些連結

• 懸停直升機示例
• 反作用力矩抵消示例
• ControlTheoryPro.com 上所有示例的列表

製造

一旦系統設計妥當，我們就可以製作原型並對其進行測試。假設我們的分析是正確的，我們的設計也很好，原型應該按預期工作。現在我們可以繼續製造和分發我們的完整系統。

← 系統指標

控制系統

變換 →