控制系統/變換

變換

在本教材中，我們將討論許多變換，並假定讀者對此至少有一定的先驗知識。本教材並非旨在向完全沒有接觸過變換的讀者教授變換主題。然而，我們將在這裡提供一個簡短的複習，以幫助那些可能不太記得這個主題的人重新熟悉。如果你還不瞭解**拉普拉斯變換**或**傅立葉變換**，強烈建議你使用此頁面作為簡單指南，並在其他資源上查詢資訊。具體來說，維基百科 上有許多關於這些主題的資訊。

變換基礎

**變換**是一種數學工具，它將一個變數（或一組變數）中的方程轉換為一個新變數（或一組新變數）。為此，變換必須去除所有“域變數”的例項，並新增一個新的“範圍變數”。積分是變換的絕佳選擇，因為定積分的極限將被代入域變數，並且該變數的所有例項都將從方程中移除。從域變數 *a* 轉換為範圍變數 *b* 的積分變換通常會以以下格式進行

${\mathcal {T}}[f(a)]=F(b)=\int _{C}f(a)g(a,b)da$

其中函式 *f(a)* 是要變換的函式，*g(a,b)* 被稱為變換的**核**。通常，各種積分變換之間唯一的區別在於核。

拉普拉斯變換

可以使用以下 MATLAB 命令執行此操作

laplace

**拉普拉斯變換**將方程從時域轉換為所謂的“S 域”、“拉普拉斯域”或“復域”。這些都是同一個數學空間的不同名稱，在本教材和其他關於該主題的書籍中可能會互換使用。變換隻能在以下條件下應用

1. 所討論的系統或訊號是模擬的。
2. 所討論的系統或訊號是線性的。
3. 所討論的系統或訊號是時不變的。
4. 所討論的系統或訊號是因果的。

變換定義如下

[拉普拉斯變換]

${\begin{matrix}F(s)={\mathcal {L}}[f(t)]=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}dt\end{matrix}}$

拉普拉斯變換的結果已被廣泛地製表。關於拉普拉斯變換的更多資訊，包括變換表，可以在附錄 中找到。

如果我們有一個時域中的線性微分方程

${\begin{matrix}y(t)=ax(t)+bx'(t)+cx''(t)\end{matrix}}$

在初始條件為零的情況下，我們可以對方程進行拉普拉斯變換，如下所示

${\begin{matrix}Y(s)=aX(s)+bsX(s)+cs^{2}X(s)\end{matrix}}$

然後分離，得到

${\begin{matrix}Y(s)=X(s)[a+bs+cs^{2}]\end{matrix}}$

拉普拉斯逆變換

可以使用以下 MATLAB 命令執行此操作

ilaplace

**拉普拉斯逆變換**定義如下

[拉普拉斯逆變換]

${\begin{matrix}f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}={1 \over {2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }e^{st}F(s)\,ds\end{matrix}}$

逆變換將函式從拉普拉斯域轉換回時域。

矩陣和向量

拉普拉斯變換可以以一種直觀的方式用於線性方程組。假設我們有一組線性方程

${\begin{matrix}y_{1}(t)=a_{1}x_{1}(t)\end{matrix}}$

${\begin{matrix}y_{2}(t)=a_{2}x_{2}(t)\end{matrix}}$

我們可以將這些方程排列成矩陣形式，如下所示

${\begin{bmatrix}y_{1}(t)\\y_{2}(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}&0\\0&a_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{bmatrix}}$

並用符號表示為

$\mathbf {y} (t)=A\mathbf {x} (t)$

我們可以對兩邊進行拉普拉斯變換

${\mathcal {L}}[\mathbf {y} (t)]=\mathbf {Y} (s)={\mathcal {L}}[A\mathbf {x} (t)]=A{\mathcal {L}}[\mathbf {x} (t)]=A\mathbf {X} (s)$

這與對方程組中的每個單獨方程進行變換相同。

示例：RL 電路

有關電路的更多資訊，請參閱
電路理論

在這裡，我們將展示一個常見的一階系統示例，即RL 電路。在電感器中，電流 I 和電壓 V 之間的關係在時域中表示為導數

$V(t)=L{\frac {dI(t)}{dt}}$

其中 L 是一個稱為“電感”的特殊量，它是電感器的屬性。

RL 電路示例問題的電路圖。V_L 是電感器上的電壓，是我們試圖找到的量。

假設我們有一個一階 RL 串聯電路。電阻的阻值為 R，電感器的電感值為 L，電壓源的輸入電壓為 V_in。我們的電路的系統輸出是電感器上的電壓，V_out。在時域中，我們有以下一階微分方程來描述電路

$V_{out}(t)=V_{L}(t)=L{\frac {dI(t)}{dt}}$

$V_{in}(t)=RI(t)+L{\frac {dI(t)}{dt}}$

然而，由於電路本質上充當分壓器，我們可以將輸出表示為輸入的函式，如下所示

$V_{out}(t)={\frac {L{\frac {dI(t)}{dt}}}{RI(t)+L{\frac {dI(t)}{dt}}}}V_{in}(t)$

這是一個非常複雜的方程式，除非我們使用拉普拉斯變換，否則很難求解

$V_{out}(s)={\frac {Ls}{R+Ls}}V_{in}(s)$

我們可以將分子和分母都除以 L，並將 V_in 移到另一邊

${\frac {V_{out}}{V_{in}}}={\frac {s}{{\frac {R}{L}}+s}}$

並使用簡單的表格查詢，我們可以求解電路輸入和輸出之間的時間域關係

${\frac {V_{out}}{V_{in}}}={\frac {d}{dt}}e^{\left({\frac {-Rt}{L}}\right)}u(t)$

部分分式展開

有關部分分式展開的更多資訊，請參見
微積分

拉普拉斯變換對被廣泛地列成表格，但我們經常會遇到沒有列成表格的逆變換的傳遞函式和其他方程。如果我們的方程是一個分數，我們通常可以使用部分分式展開（PFE）來建立一組更簡單的項，這些項將具有現成的逆變換。本節將簡要回顧一下部分分式展開，供已經學過該主題的人參考。這個複習將以幾個關於拉普拉斯變換的示例形式呈現。不熟悉部分分式展開的人建議閱讀微積分瞭解更多資訊。

示例：二階系統

如果我們有 S 域中的給定方程

$F(s)={\frac {2s+1}{s^{2}+3s+2}}$

我們可以將其擴充套件成幾個更小的分數，如下所示

$F(s)={\frac {2s+1}{(s+1)(s+2)}}={\frac {A}{(s+1)}}+{\frac {B}{(s+2)}}={\frac {A(s+2)+B(s+1)}{(s+1)(s+2)}}$

這看起來不可能，因為我們只有一個方程，有 3 個未知數（s、A、B），但實際上 s 可以取任何任意值，我們可以“代入”s 的值來求解 A 和 B，而不需要其他方程。例如，在上面的方程中，我們可以乘以分母，並消去項

${\frac {}{}}(2s+1)=A(s+2)+B(s+1)$

現在，當我們設定 s → -2 時，A 項消失，只剩下 B → 3。當我們設定 s → -1 時，我們可以求解 A → -1。將這些值代回原始方程，我們有

$F(s)={\frac {-1}{(s+1)}}+{\frac {3}{(s+2)}}$

請記住，由於拉普拉斯變換是線性運算元，因此以下關係成立

${\mathcal {L}}^{-1}[F(s)]={\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {-1}{(s+1)}}+{\frac {3}{(s+2)}}\right]={\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {-1}{s+1}}\right]+{\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {3}{(s+2)}}\right]$

尋找這些較小項的逆變換應該比尋找整個函式的逆變換更容易。部分分式展開是尋找 S 域方程的逆變換的一個有用且通常是必要的工具。

示例：四階系統

如果我們有 S 域中的給定方程

$F(s)={\frac {79s^{2}+916s+1000}{s(s+10)^{3}}}$

我們可以將其擴充套件成幾個更小的分數，如下所示

$F(s)={\frac {A}{s}}+{\frac {B}{(s+10)^{3}}}+{\frac {C}{(s+10)^{2}}}+{\frac {D}{s+10}}$

$F(s)={\frac {A(s+10)^{3}+Bs+Cs(s+10)+Ds(s+10)^{2}}{s(s+10)^{3}}}$

${\frac {}{}}A(s+10)^{3}+Bs+Cs(s+10)+Ds(s+10)^{2}=79s^{2}+916s+1000$

這裡僅取消項是不夠的，我們將展開括號（分隔成多行）

$As^{3}+30As^{2}+300As+1000A+Bs+$

$Cs^{2}+10Cs+Ds^{3}+20Ds^{2}+100Ds$

$=79s^{2}+916s+1000$

讓我們比較係數

A + D = 0

30A + C + 20D = 79

300A + B + 10C + 100D = 916

1000A = 1000

解得

A = 1

B = 26

C = 69

D = -1

我們從拉普拉斯變換表中知道以下關係成立

${\frac {1}{(s+\alpha )^{n+1}}}\to {\frac {t^{n}}{n!}}e^{-\alpha t}\cdot u(t)$

我們可以將我們為 *A*、*B*、*C* 和 *D* 求得的值代入我們的展開式，並嘗試將其轉換為上面的形式。

$F(s)={\frac {A}{s}}+{\frac {B}{(s+10)^{3}}}+{\frac {C}{(s+10)^{2}}}+{\frac {D}{s+10}}$

$F(s)=A{\frac {1}{s}}+B{\frac {1}{(s+10)^{3}}}+C{\frac {1}{(s+10)^{2}}}+D{\frac {1}{s+10}}$

$F(s)=1{\frac {1}{s}}+26{\frac {1}{(s+10)^{3}}}+69{\frac {1}{(s+10)^{2}}}-1{\frac {1}{s+10}}$

$f(t)=u(t)+13t^{2}e^{-10t}+69te^{-10t}-e^{-10t}$

示例：復根

給定以下傳遞函式

$F(s)={\frac {7s+26}{s^{2}-80s+1681}}={\frac {As+B}{s^{2}-80s+1681}}$

當分母的解為複數時，我們使用複數表示A + iB，例如3+i4，而不是使用單個字母（例如D）——這是針對實數的。

As + B = 7s + 26

A = 7

B = 26

我們需要將其重構成兩個類似於此形式的分數（不改變其值）

$e^{-\alpha t}\sin(\omega t)\cdot u(t)\$→${\omega \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$

$e^{-\alpha t}\cos(\omega t)\cdot u(t)\$→${s+\alpha \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$

讓我們從分母開始（對於兩個分數）

s² - 80s + 1681 的根是40 + j9 和40 - j9。

$(s+a)^{2}+\omega ^{2}=(s-40)^{2}+9^{2}$→${\frac {As+B}{(s-40)^{2}+9^{2}}}$

現在是分子

${\frac {As+40A-40A+B}{(s-40)^{2}+9^{2}}}$

${\frac {As-40A}{(s-40)^{2}+9^{2}}}+{\frac {B+40A}{(s-40)^{2}+9^{2}}}$

$A{\frac {(s-40)}{(s-40)^{2}+9^{2}}}+{\frac {B+40A}{9}}{\frac {9}{(s-40)^{2}+9^{2}}}$

拉普拉斯逆變換

$f(t)=7e^{40t}cos(9t)+34e^{40t}sin(9t)$

示例：六階系統

給定以下傳遞函式

$F(s)={\frac {90s^{2}-1110}{s(s-3)(s^{2}-12s+37)}}={\frac {A}{s}}+{\frac {B}{s-3}}+{\frac {Cs+D}{s^{2}-12s+37}}$

我們將方程兩邊乘以分母，使其成為有理式

$A(s-3)(s^{2}-12s+37)+Bs(s^{2}-12s+37)+(Cs+D)s(s-3)$

$=90s^{2}-1110$

然後我們合併同類項

$As^{3}-15As^{2}+73As-111A+Bs^{3}-12Bs^{2}+37Bs+Cs^{3}-3Cs^{2}+Ds^{2}-3Ds$

$=90s^{2}-1110$

比較係數

A + B + C = 0

-15A - 12B - 3C + D = 90

73A + 37B - 3D = 0

-111A = -1110

現在，我們可以求解A，B，C 和 D

A = 10

B = -10

C = 0

D = 120

現在進行“擬合”

s² - 12s + 37 的根是 6 + j 和 6 - j

$A{\frac {1}{s}}+B{\frac {1}{s-3}}+C{\frac {s}{(s-6)^{2}+1^{2}}}+D{\frac {1}{(s-6)^{2}+1^{2}}}$

不需要對D 的分數進行擬合，因為它已經完整了；也不需要對C 的分數進行擬合，因為C 等於零。

$10{\frac {1}{s}}-10{\frac {1}{s-3}}+0{\frac {s}{(s-6)^{2}+1^{2}}}+120{\frac {1}{(s-6)^{2}+1^{2}}}$

${\frac {}{}}f(t)=10u(t)-10e^{3t}+120e^{6t}sin(t)$

終值定理

終值定理允許我們從 s 域方程確定時間域方程在時間趨於無窮大時的值。在控制工程中，終值定理最常用於確定系統的穩態值。函式極點的實部必須 < 0。

[終值定理 (拉普拉斯)]

$\lim _{t\to \infty }x(t)=\lim _{s\to 0}sX(s)$

從我們關於系統指標的章節中，您可能會認識到系統在時間趨於無窮大時的值為系統的穩態時間。穩態值與預期輸出值之間的差值，我們稱之為系統的穩態誤差。使用終值定理，我們可以在復 s 域中找到系統的穩態值和穩態誤差。

示例：終值定理

求以下多項式的終值

$T(s)={\frac {1+s}{1+2s+s^{2}}}$

我們可以應用終值定理

$\lim _{s\to \ 0}s{\frac {1+s}{1+2s+s^{2}}}$

我們得到的值為

$\lim _{s\to \ 0}s{\frac {1+s}{1+2s+s^{2}}}=0\cdot {\frac {1+0}{1+2\cdot 0+0^{2}}}=0\cdot 1=0$

初值定理

與終值定理類似，初值定理允許我們從 s 域方程確定系統的初始值（時間為零時的值）。初值定理最常用於確定系統的起始條件或“初始條件”。

[初值定理 (拉普拉斯)]

$x(0)=\lim _{s\to \infty }sX(s)$

常見變換

我們現在將向您展示我們已經學過的三個函式的變換：單位階躍、單位斜坡和單位拋物線。單位階躍函式的變換由下式給出

${\mathcal {L}}[u(t)]={\frac {1}{s}}$

由於單位斜坡是單位階躍的積分，我們可以將上述結果乘以 *1/s* 來獲得單位斜坡的變換

${\mathcal {L}}[r(t)]={\frac {1}{s^{2}}}$

同樣，我們可以乘以 *1/s* 來獲得單位拋物線的變換

${\mathcal {L}}[p(t)]={\frac {1}{s^{3}}}$

傅立葉變換

傅立葉變換非常類似於拉普拉斯變換。傅立葉變換假設任何有限時間域訊號都可以分解為無限個正弦（正弦和餘弦波）訊號的總和。在這個假設下，傅立葉變換將時間域訊號轉換為其頻域表示，作為徑向頻率 ω 的函式。傅立葉變換定義如下：

[傅立葉變換]

$F(j\omega )={\mathcal {F}}[f(t)]=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt$

可以使用以下 MATLAB 命令執行此操作

傅立葉

現在我們可以證明，當以下條件成立時，傅立葉變換等價於拉普拉斯變換

${\begin{matrix}s=j\omega \end{matrix}}$

由於拉普拉斯變換和傅立葉變換關係密切，對所有問題都使用這兩種變換沒有太大意義。因此，本書將重點關注拉普拉斯變換，幾乎涵蓋所有主題，除了直接處理頻率值的那些問題。對於頻率問題，使用傅立葉變換表示會讓生活更容易。

與拉普拉斯變換一樣，傅立葉變換也已在廣泛的表格中列出。傅立葉變換的屬性，以及常見變換的表格，可以在附錄中找到。

逆傅立葉變換

可以使用以下 MATLAB 命令執行此操作

ifourier

逆傅立葉變換定義如下：

[逆傅立葉變換]

$f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{F(j\omega )\right\}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }F(j\omega )e^{j\omega t}d\omega$

此變換與傅立葉變換幾乎相同。

複平面

使用上述等價關係，我們可以證明，如果變數 *s* 是一個虛數，拉普拉斯變換始終等於傅立葉變換。但是，如果 *s* 是一個實數或複數變數，拉普拉斯變換就不同了。因此，我們通常定義 *s* 既有實部也有虛部，如下所示：

${\begin{matrix}s=\sigma +j\omega \end{matrix}}$

我們可以證明，如果 σ * = 0，則 *s = j*ω。

由於變數 *s* 可以分解為兩個獨立的值，因此在它自己的特殊“S 平面”上繪製變數 *s* 通常很有意義。S 平面在水平軸上繪製變數 σ，在垂直軸上繪製 *j*ω 的值。右側顯示了此軸排列。

尤拉公式

微積分中有一個重要的結果被稱為尤拉公式或“尤拉關係”。這個重要的公式將 *e*、*j*、π、1 和 0 的重要值聯絡起來

${\begin{matrix}e^{j\pi }+1=0\end{matrix}}$

但是，這個結果是從以下等式推匯出來的，將 ω 設定為 π

[尤拉公式]

${\begin{matrix}e^{j\omega }=\cos(\omega )+j\sin(\omega )\end{matrix}}$

此公式將在本書的某些章節中廣泛使用，因此現在熟悉它很重要。

MATLAB

MATLAB 符號工具箱包含自動計算拉普拉斯變換和傅立葉變換的函式。函式 laplace 和函式 fourier 可分別用於計算輸入函式的拉普拉斯變換和傅立葉變換。例如，程式碼

t = sym('t');
fx = 30*t^2 + 20*t;
laplace(fx)

生成輸出

ans =

60/s^3+20/s^2

我們將在附錄中詳細討論這些函式。

進一步閱讀

• 數字訊號處理/連續時間傅立葉變換
• 訊號與系統/非週期訊號
• 電路理論/拉普拉斯變換

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