控制系統/變換附錄

拉普拉斯變換

當我們談論拉普拉斯變換時，我們實際上是在談論被稱為單邊拉普拉斯變換的拉普拉斯變換版本。另一個版本，雙邊拉普拉斯變換（與下面的雙線性變換無關）在這本書中沒有使用。

拉普拉斯變換定義為

[拉普拉斯變換]

$F(s)={\mathcal {L}}[f(t)]=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-st}dt$

逆拉普拉斯變換定義為

[逆拉普拉斯變換]

$f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}={\frac {1}{2\pi j}}\int _{\sigma -j\infty }^{\sigma +j\infty }X(s)e^{st}ds$

拉普拉斯變換表

這是一個常見的拉普拉斯變換表。

序號	時域 $x(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{X(s)\right\}$	拉普拉斯域 $X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}$
1	${\frac {1}{2\pi j}}\int _{\sigma -j\infty }^{\sigma +j\infty }X(s)e^{st}ds$	$\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-st}dt$
2	$\delta (t)\,$	$1\,$
3	$\delta (t-a)\,$	$e^{-as}\,$ **e-as**
4	$u(t)\,$ **u(t)**	${\frac {1}{s}}$ **1/s**
5	$u(t-a)\,$ **u(t-a)**	${\frac {e^{-as}}{s}}$ **e-as/s**
6	$tu(t)\,$ **tu(t)**	${\frac {1}{s^{2}}}$ **1/s2**
7	$t^{n}u(t)\,$ **tnu(t)**	${\frac {n!}{s^{n+1}}}$ **n!/sn+1**
8	${\frac {1}{\sqrt {\pi t}}}u(t)$ **1/(√(πt))u(t)**	${\frac {1}{\sqrt {s}}}$ **1/√s**
9	$e^{at}u(t)\,$ **eatu(t)**	${\frac {1}{s-a}}$ **1/(s-a)**
10	$t^{n}e^{at}u(t)\,$ **tneatu(t)**	${\frac {n!}{(s-a)^{n+1}}}$ **n!/(s-a)n+1**
11	$\cos(\omega t)u(t)\,$ **cos(ωt)u(t)**	${\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}$ **s/(s2+ω2)**
12	$\sin(\omega t)u(t)\,$ **sin(ωt)u(t)**	${\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}$
13	$\cosh(\omega t)u(t)\,$	${\frac {s}{s^{2}-\omega ^{2}}}$
14	$\sinh(\omega t)u(t)\,$	${\frac {\omega }{s^{2}-\omega ^{2}}}$
15	$e^{at}\cos(\omega t)u(t)\,$	${\frac {s-a}{(s-a)^{2}+\omega ^{2}}}$
16	$e^{at}\sin(\omega t)u(t)\,$	${\frac {\omega }{(s-a)^{2}+\omega ^{2}}}$
17	${\frac {1}{2\omega ^{3}}}(\sin \omega t-\omega t\cos \omega t)$	${\frac {1}{(s^{2}+\omega ^{2})^{2}}}$
18	${\frac {t}{2\omega }}\sin \omega t$	${\frac {s}{(s^{2}+\omega ^{2})^{2}}}$
19	${\frac {1}{2\omega }}(\sin \omega t+\omega t\cos \omega t)$	${\frac {s^{2}}{(s^{2}+\omega ^{2})^{2}}}$

拉普拉斯變換的性質

這是一個拉普拉斯變換最重要性質的表格。

性質	定義
線性	${\mathcal {L}}\left\{af(t)+bg(t)\right\}=aF(s)+bG(s)$
微分	${\mathcal {L}}\{f'\}=s{\mathcal {L}}\{f\}-f(0^{-})$ ${\mathcal {L}}\{f''\}=s^{2}{\mathcal {L}}\{f\}-sf(0^{-})-f'(0^{-})$ ${\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}\right\}=s^{n}{\mathcal {L}}\{f\}-s^{n-1}f(0^{-})-\cdots -f^{(n-1)}(0^{-})$
頻域微分	${\mathcal {L}}\{tf(t)\}=-F'(s)$ ${\mathcal {L}}\{t^{n}f(t)\}=(-1)^{n}F^{(n)}(s)$
頻域積分	${\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\int _{s}^{\infty }F(\sigma )\,d\sigma$
時域積分	${\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau \right\}={\mathcal {L}}\left\{u(t)*f(t)\right\}={1 \over s}F(s)$
尺度變換	${\mathcal {L}}\left\{f(at)\right\}={1 \over a}F\left({s \over a}\right)$
初始值定理	$f(0^{+})=\lim _{s\to \infty }{sF(s)}$
終值定理	$f(\infty )=\lim _{s\to 0}{sF(s)}$
頻域平移	${\mathcal {L}}\left\{e^{at}f(t)\right\}=F(s-a)$ ${\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s-a)\right\}=e^{at}f(t)$
時間推移	${\mathcal {L}}\left\{f(t-a)u(t-a)\right\}=e^{-as}F(s)$ ${\mathcal {L}}^{-1}\left\{e^{-as}F(s)\right\}=f(t-a)u(t-a)$
卷積定理	${\mathcal {L}}\{f(t)*g(t)\}=F(s)G(s)$

其中

$f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}$

$g(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{G(s)\}$

$s=\sigma +j\omega$

傅立葉變換

傅立葉變換用於將時域訊號分解成其頻域分量。傅立葉變換與拉普拉斯變換密切相關，僅在以頻率為背景分析系統時才用於代替拉普拉斯變換。

傅立葉變換定義為

[傅立葉變換]

$F(j\omega )={\mathcal {F}}[f(t)]=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt$

反傅立葉變換定義為

[反傅立葉變換]

$f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{F(j\omega )\right\}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }F(j\omega )e^{-j\omega t}d\omega$

傅立葉變換表

這是一個常見的傅立葉變換表。

	時域	頻域
	$x(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{X(\omega )\right\}$	$X(\omega )={\mathcal {F}}\left\{x(t)\right\}$
1	$X(j\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-j\omega t}dt$	$x(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X(\omega )e^{j\omega t}d\omega$
2	$1\,$	$2\pi \delta (\omega )\,$
3	$-0.5+u(t)\,$	${\frac {1}{j\omega }}\,$
4	$\delta (t)\,$	$1\,$
5	$\delta (t-c)\,$	$e^{-j\omega c}\,$
6	$u(t)\,$ **u(t)**	$\pi \delta (\omega )+{\frac {1}{j\omega }}\,$
7	$e^{-bt}u(t)\,(b>0)$	${\frac {1}{j\omega +b}}\,$
8	$\cos \omega _{0}t\,$	$\pi \left[\delta (\omega +\omega _{0})+\delta (\omega -\omega _{0})\right]\,$
9	$\cos(\omega _{0}t+\theta )\,$	$\pi \left[e^{-j\theta }\delta (\omega +\omega _{0})+e^{j\theta }\delta (\omega -\omega _{0})\right]\,$
10	$\sin \omega _{0}t\,$	$j\pi \left[\delta (\omega +\omega _{0})-\delta (\omega -\omega _{0})\right]\,$
11	$\sin(\omega _{0}t+\theta )\,$	$j\pi \left[e^{-j\theta }\delta (\omega +\omega _{0})-e^{j\theta }\delta (\omega -\omega _{0})\right]\,$
12	${\mbox{rect}}\left({\frac {t}{\tau }}\right)\,$	$\tau {\mbox{sinc}}\left({\frac {\tau \omega }{2\pi }}\right)\,$
13	$\tau {\mbox{sinc}}\left({\frac {\tau t}{2\pi }}\right)\,$	$2\pi {\mbox{rect}}\left({\frac {\omega }{\tau }}\right)\,$
14	$\left(1-{\frac {2|t|}{\tau }}\right){\mbox{rect}}\left({\frac {t}{\tau }}\right)\,$	${\frac {\tau }{2}}{\mbox{sinc}}^{2}\left({\frac {\tau \omega }{4\pi }}\right)\,$
15	${\frac {\tau }{2}}{\mbox{sinc}}^{2}\left({\frac {\tau t}{4\pi }}\right)\,$	$2\pi \left(1-{\frac {2|\omega |}{\tau }}\right){\mbox{rect}}\left({\frac {\omega }{\tau }}\right)\,$
16	$e^{-a|t|},\Re \{a\}>0\,$	${\frac {2a}{a^{2}+\omega ^{2}}}\,$
註釋	${\mbox{sinc}}(x)=\sin(\pi x)/(\pi x)$ ${\mbox{rect}}\left({\frac {t}{\tau }}\right)$ 是寬度為 $\tau$ 的矩形脈衝函式。 $u(t)$ 是海維賽德階躍函式。 $\delta (t)$ 是狄拉克δ函式。

傅立葉變換性質表

這是一個傅立葉變換常用性質的表格。

	訊號	傅立葉變換 么正，角頻率	傅立葉變換 么正，普通頻率	備註
	$g(t)\!\equiv \!$ ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\!\!G(\omega )e^{i\omega t}d\omega \,$	$G(\omega )\!\equiv \!$ ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\!\!g(t)e^{-i\omega t}dt\,$	$G(f)\!\equiv$ $\int _{-\infty }^{\infty }\!\!g(t)e^{-i2\pi ft}dt\,$
1	$a\cdot g(t)+b\cdot h(t)\,$	$a\cdot G(\omega )+b\cdot H(\omega )\,$	$a\cdot G(f)+b\cdot H(f)\,$	線性
2	$g(t-a)\,$	$e^{-ia\omega }G(\omega )\,$	$e^{-i2\pi af}G(f)\,$	時域移位
3	$e^{iat}g(t)\,$	$G(\omega -a)\,$	$G\left(f-{\frac {a}{2\pi }}\right)\,$	頻域移位，2的對偶
4	$g(at)\,$	${\frac {1}{|a|}}G\left({\frac {\omega }{a}}\right)\,$	${\frac {1}{|a|}}G\left({\frac {f}{a}}\right)\,$	如果$|a|\,$很大，那麼$g(at)\,$集中在0附近，而${\frac {1}{|a|}}G\left({\frac {\omega }{a}}\right)\,$擴充套件和平坦化
5	$G(t)\,$	$g(-\omega )\,$	$g(-f)\,$	傅立葉變換的對偶性。結果來自交換$t\,$和$\omega \,$的“啞”變數。
6	${\frac {d^{n}g(t)}{dt^{n}}}\,$	$(i\omega )^{n}G(\omega )\,$	$(i2\pi f)^{n}G(f)\,$	傅立葉變換的廣義導數性質
7	$t^{n}g(t)\,$	$i^{n}{\frac {d^{n}G(\omega )}{d\omega ^{n}}}\,$	$\left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}{\frac {d^{n}G(f)}{df^{n}}}\,$	這是6的對偶
8	$(g*h)(t)\,$	${\sqrt {2\pi }}G(\omega )H(\omega )\,$	$G(f)H(f)\,$	$g*h\,$表示$g\,$和$h\,$的卷積——此規則為卷積定理。
9	$g(t)h(t)\,$	$(G*H)(\omega ) \over {\sqrt {2\pi }}\,$	$(G*H)(f)\,$	這是8的對偶
10	對於純實偶函式$g(t)\,$	$G(\omega )\,$ 是純實偶函式	$G(f)\,$ 是純實偶函式
11	對於純實奇函式$g(t)\,$	$G(\omega )\,$ 是純虛奇函式	$G(f)\,$ 是純虛奇函式

Z變換

Z變換主要用於將離散資料集轉換為連續表示。Z變換在符號表示上與星形變換非常相似，只是Z變換沒有明確考慮取樣週期。Z變換在數字訊號處理領域以及一般離散訊號的研究中有很多應用，它很有用，因為Z變換的結果被廣泛地列表化，而星形變換的結果則沒有。

Z變換定義為

[Z變換]

$X(z)={\mathcal {Z}}[x[n]]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}$

逆Z變換

逆Z變換是一個非常複雜的變換，對於沒有足夠微積分背景的學生來說可能難以理解。但是，熟悉此類積分的學生鼓勵進行一些逆Z變換計算，以驗證公式是否產生列表化結果。

[逆Z變換]

$x[n]={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}dz$

Z變換表

這裡

• $u[n]=1$ 對於 $n>=0$，$u[n]=0$ 對於 $n<0$

• 當$n=0$時，$\delta [n]=1$；否則，$\delta [n]=0$

	訊號，$x[n]$	Z變換，$X(z)$	收斂域
1	$\delta [n]\,$	$1\,$	${\mbox{所有 }}z\,$
2	$\delta [n-n_{0}]\,$	$z^{-n_{0}}\,$	$z\neq 0\,$
3	$u[n]\,$	${\frac {1}{1-z^{-1}}}$	$|z|>1\,$
4	$-u[-n-1]\,$	${\frac {1}{1-z^{-1}}}$	$|z|<1\,$
5	$nu[n]\,$	${\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}$	$|z|>1\,$
6	$-nu[-n-1]\,$	${\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}$	$|z|<1\,$
7	$n^{2}u[n]\,$	${\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}$	$|z|>1\,$
8	$-n^{2}u[-n-1]\,$	${\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}$	$|z|<1\,$
9	$n^{3}u[n]\,$	${\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}$	$|z|>1\,$
10	$-n^{3}u[-n-1]\,$	${\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}$	$|z|<1\,$
11	$a^{n}u[n]\,$	${\frac {1}{1-az^{-1}}}$	$|z|>|a|\,$
12	$-a^{n}u[-n-1]\,$	${\frac {1}{1-az^{-1}}}$	$|z|<|a|\,$
13	$na^{n}u[n]\,$	${\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}$	$|z|>|a|\,$
14	$-na^{n}u[-n-1]\,$	${\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}$	$|z|<|a|\,$
15	$n^{2}a^{n}u[n]\,$	${\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}$	$|z|>|a|\,$
16	$-n^{2}a^{n}u[-n-1]\,$	${\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}$	$|z|<|a|\,$
17	$\cos(\omega _{0}n)u[n]\,$	${\frac {1-z^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}$	$|z|>1\,$
18	$\sin(\omega _{0}n)u[n]\,$	${\frac {z^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}$	$|z|>1\,$
19	$a^{n}\cos(\omega _{0}n)u[n]\,$	${\frac {1-az^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}$	$|z|>|a|\,$
20	$a^{n}\sin(\omega _{0}n)u[n]\,$	${\frac {az^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}$	$|z|>|a|\,$

修正Z變換

修正Z變換類似於Z變換，但修正版本可以透過設計使系統受到任意延遲的影響。當討論數字系統時，系統的處理時間不可忽略，修正Z變換非常有用。例如，緩慢的計算機系統可以建模為具有輸出延遲的瞬時系統。

修正Z變換基於延遲Z變換。

[修正Z變換]

$X(z,m)=X(z,\Delta )|_{\Delta \to 1-m}={\mathcal {Z}}\left\{X(s)e^{-\Delta Ts}\right\}|_{\Delta \to 1-m}$

星形變換 (Star Transform)

星形變換是一種離散變換，在 Z 變換和拉普拉斯變換之間具有相似之處。事實上，可以說星形變換幾乎類似於 Z 變換，只是星形變換明確地考慮了取樣器的取樣時間。

星形變換定義為

[星形變換]

$F^{*}(s)={\mathcal {L}}^{*}[f(t)]=\sum _{k=0}^{\infty }f(kT)e^{-skT}$

可以透過將 $z=e^{sT}$ 代入上述 Z 變換對中，得到星形變換對。

雙線性變換 (Bilinear Transform)

雙線性變換用於將 Z 域中的方程轉換為任意 W 域中的方程，具有以下性質：

1. Z 域中單位圓內的根將對映到 W 平面左半平面的根。
2. Z 域中單位圓外的根將對映到 W 平面右半平面的根。
3. Z 域中單位圓上的根將對映到 W 域的縱軸。

因此，雙線性變換可用於將 Z 域方程轉換為可以使用勞斯-赫爾維茨判據分析的形式。但是，需要注意的是，W 域與復拉普拉斯 S 域不同。為了使雙線性變換的輸出等於 S 域，必須進行訊號預扭曲，以考慮雙線性變換的非線性特性。

雙線性變換也可用於將 S 域系統轉換為 Z 域。同樣，在應用雙線性變換之前，必須對輸入系統進行預扭曲，否則結果將不正確。

雙線性變換由以下變數變換控制：

[雙線性變換]

$z={\frac {(T/2)+w}{(T/2)-w}},\quad w={\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}$

其中 T 是離散訊號的取樣時間。

w 域中的頻率與 s 域中的頻率透過以下關係相關聯：

$\omega _{w}={\frac {2}{T}}\tan \left({\frac {\omega _{s}T}{2}}\right)$

這種關係稱為雙線性變換的頻率翹曲特性。為了抵消頻率翹曲的影響，我們可以使用逆翹曲特性對 Z 域方程進行預扭曲。如果在變換之前對方程進行預扭曲，則系統的所得極點將更忠實地與 s 域中的極點對齊。

[雙線性頻率預扭曲]

$\omega ={\frac {2}{T}}\arctan \left(\omega _{a}{\frac {T}{2}}\right).$

在應用雙線性變換之前應用這些變換實際上能夠在 S 域和 Z 域之間進行直接轉換。在變換之前對函式應用其中一個頻率翹曲特性稱為預扭曲。

維基百科資源

• w:拉普拉斯變換
• w:傅立葉變換
• w:Z 變換
• w:星形變換
• w:雙線性變換

控制系統