控制系統/傳遞函式

傳遞函式

此操作可以使用此 MATLAB 命令執行

tf

傳遞函式是系統輸出與系統輸入之比，在拉普拉斯域中考慮其初始條件和平衡點為零。此假設在觀察瞬態的系統中得以放寬。如果我們有一個輸入函式 X(s) 和一個輸出函式 Y(s)，我們將傳遞函式 H(s) 定義為

[傳遞函式]

$H(s)={Y(s) \over X(s)}$

閱讀過 電路理論 書籍的讀者會認識到傳遞函式就是電壓分壓器的阻抗、導納、阻抗比，或電流分壓器的導納比。

脈衝響應

注意
時域變數通常用小寫字母表示。拉普拉斯域和其他變換域變數通常用大寫字母表示。

為了比較，我們將考慮上述輸入/輸出關係的時域等效關係。在時域中，我們通常將系統的輸入表示為 x(t)，將系統的輸出表示為 y(t)。輸入和輸出之間的關係表示為脈衝響應 h(t)。

我們將脈衝響應定義為系統輸出與其輸入之間的關係。我們可以使用以下等式來定義脈衝響應

$h(t)={\frac {y(t)}{x(t)}}$

脈衝函式

在這一點上，明確定義什麼是“脈衝”將非常有用。脈衝函式用 δ(t) 表示，它是一個特殊函式，按以下方式分段定義

[脈衝函式]

$\delta (t)=\left\{{\begin{matrix}0,&t<0\\{\mbox{undefined}},&t=0\\0,&t>0\end{matrix}}\right.$

脈衝函式也稱為狄拉克函式，因為它用希臘小寫字母 δ 表示。狄拉克函式通常被畫成一個指向無窮大的箭頭，如下所示

它被畫成一個箭頭，因為很難用其他任何繪圖方法來顯示無窮大處的單個點。請注意，箭頭只存在於位置 0，而對於任何其他時間 t 都不存在。狄拉克函式與其他任何函式一樣，適用於常規的時間偏移。例如，我們可以透過將函式 δ(t) 向右移動，來繪製函式 δ(t - N)，如下所示

對脈衝函式的考察表明，它與單位階躍函式有以下關係

$\delta (t)={\frac {du(t)}{dt}}$

和

$u(t)=\int \delta (t)dt$

脈衝函式在點 t = 0 處沒有定義，但脈衝必須始終滿足以下條件，否則它就不是真正的脈衝函式

$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t)dt=1$

系統對脈衝輸入的響應稱為脈衝響應。現在，為了得到脈衝函式的拉普拉斯變換，我們對單位階躍函式求導，這意味著我們將單位階躍函式的變換乘以 s

${\mathcal {L}}[u(t)]=U(s)={\frac {1}{s}}$

${\mathcal {L}}[\delta (t)]=sU(s)={\frac {s}{s}}=1$

此結果可以在 **附錄** 中的變換表中進行驗證。

階躍響應

此操作可以使用此 MATLAB 命令執行

階躍

與衝激響應類似，系統的 **階躍響應** 是當使用單位階躍函式作為輸入時系統的輸出。階躍響應是一種常用的分析工具，用於確定關於系統的某些指標。通常，當設計一個新的系統時，系統的階躍響應是第一個要分析的系統特徵。

卷積

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卷積

但是，衝激響應不能像傳遞函式那樣用於根據系統輸入找到系統輸出。如果我們有系統的輸入和系統的衝激響應，我們可以使用 **卷積運算** 計算系統輸出，如下所示

$y(t)=h(t)*x(t)$

記住：星號表示 **卷積**，而不是 **乘法**！

其中“ * ”（星號）表示卷積運算。卷積是乘法、積分和時間推移的複雜組合。我們可以將兩個函式 _a(t)_ 和 _b(t)_ 之間的卷積定義為以下內容

[卷積]

$(a*b)(t)=(b*a)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }a(\tau )b(t-\tau )d\tau$

（變數 τ（希臘字母 τ）是積分的啞變數）。此操作可能難以執行。因此，許多人更喜歡使用拉普拉斯變換（或其他變換）將卷積運算轉換為乘法運算，透過 **卷積定理**。

時不變系統響應

如果所討論的系統是時不變的，則系統的一般描述可以用系統的衝激響應和系統輸入的卷積積分來代替。我們可以稱之為系統的 **卷積描述**，並在下面定義它

[卷積描述]

$y(t)=x(t)*h(t)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )h(t-\tau )d\tau$

卷積定理

這種求解系統輸出的方法相當繁瑣，事實上，如果你想針對各種輸入訊號求解系統，它會浪費大量時間。幸運的是，拉普拉斯變換具有一個特殊的性質，稱為 **卷積定理**，它使卷積運算變得更容易

卷積定理

時域中的卷積在復拉普拉斯域中變為乘法。時域中的乘法在復拉普拉斯域中變為卷積。

卷積定理可以用以下方程式表示

[卷積定理]

${\mathcal {L}}[f(t)*g(t)]=F(s)G(s)$

${\mathcal {L}}[f(t)g(t)]=F(s)*G(s)$

這也很好地說明了 **對偶性** 的性質。

使用傳遞函式

傳遞函式完全描述了控制系統。階數、型別和頻率響應都可以從這個特定的函式中獲取。奈奎斯特圖和伯德圖可以從開環傳遞函式中繪製出來。這些圖顯示了系統在閉環時系統的穩定性。使用傳遞函式的分母，稱為特徵方程，可以推匯出系統的根。

由於這些原因以及更多原因，傳遞函式是經典控制系統的重要方面。讓我們從定義開始

傳遞函式

系統的傳遞函式是系統的輸出與其輸入之間的關係，在復拉普拉斯域中表示。

如果復拉普拉斯變數為s，則通常將系統的傳遞函式表示為G(s)或H(s)。如果系統輸入為X(s)，系統輸出為Y(s)，則傳遞函式可定義為

$H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}$

如果我們知道給定系統的輸入，並且我們有系統的傳遞函式，我們可以透過乘法來求解系統的輸出

[傳遞函式描述]

$Y(s)=H(s)X(s)$

示例：脈衝響應

從拉普拉斯變換表中，我們知道脈衝函式δ(t)的拉普拉斯變換為

${\mathcal {L}}[\delta (t)]=1$

因此，當我們將此結果代入輸入、輸出和傳遞函式之間的關係時，我們得到

$Y(s)=X(s)H(s)$

$Y(s)=(1)H(s)$

$Y(s)=H(s)$

換句話說，"脈衝響應"是當我們輸入脈衝函式時系統的輸出。

示例：階躍響應

從拉普拉斯變換表中，我們還可以看到單位階躍函式u(t)的變換為

${\mathcal {L}}[u(t)]={\frac {1}{s}}$

將此結果代入傳遞函式的關係式，我們得到

$Y(s)=X(s)H(s)$

$Y(s)={\frac {1}{s}}H(s)$

$Y(s)={\frac {H(s)}{s}}$

我們可以看到，階躍響應僅僅是脈衝響應除以s。

示例：MATLAB 階躍響應

使用 MATLAB 求解以下傳遞函式的階躍響應

$F(s)={\frac {79s^{2}+916s+1000}{s(s+10)^{3}}}$

我們可以像這樣分離出分子和分母多項式

num = [79 916 1000];
den = [1 30 300 1000 0];
sys = tf(num, den);

% if you are using the System Identification Toolbox instead of the Control System Tooolbox:
sys = idtf(num, den);

現在，我們可以從step函式獲得階躍響應，並將其在 1 到 10 秒的時間範圍內進行繪製

T = 1:0.001:10;
step(sys, T);

頻率響應

頻率響應與傳遞函式類似，只是它是系統輸出和輸入在復傅立葉域而不是拉普拉斯域中的關係。我們可以透過使用以下變數替換從傳遞函式獲得頻率響應

$s=j\omega$

頻率響應

系統的頻率響應是在傅立葉域中表示的系統輸出與其輸入之間的關係。

由於頻率響應和傳遞函式密切相關，通常只計算其中一個，而另一個可以透過簡單的變數替換獲得。然而，儘管這兩種表示之間存在密切關係，但它們在各自方面都很有用，並且分別用於不同的目的。

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