控制系統/數字與模擬

數字與模擬

模擬系統和數字系統之間存在顯著區別，就像模擬資料和數字資料之間存在顯著區別一樣。本書將同時探討模擬和數字主題，因此有必要花一些時間討論它們的區別，並展示在每種情況下將使用的不同符號。

連續時間

可以使用以下 MATLAB 命令來執行此操作

isct

如果訊號在每個時間 t 都被定義，則該訊號被稱為連續時間訊號。

如果一個系統接受一個連續時間輸入訊號，並輸出一個連續時間輸出訊號，那麼這個系統就是一個連續時間系統。以下是一個模擬波形的示例

離散時間

可以使用以下 MATLAB 命令來執行此操作

isdt

如果訊號只在時間的特定點被定義，則該訊號被稱為離散時間訊號。離散時間系統接受離散時間輸入訊號，併產生離散時間輸出訊號。下圖顯示了模擬波形與其取樣後的離散時間等效物之間的區別

量化

如果訊號只能取某些值，而不能取其他值，則該訊號被稱為量化訊號。這個概念最好用例子來說明

1. 具有紮實物理學背景的學生會認識到這個概念是“量子力學”的詞根。在量子力學中，已知能量只以離散的包的形式存在。例如，與原子束縛的電子可以佔據幾個離散的能級，但不能佔據中間能級。
2. 另一個常見的例子是人口統計。例如，一個常見的統計資料是，一個特定國家的家庭平均有“3.5 個孩子”，或者其他一些分數。實際的家庭可能有 3 個孩子，或者他們可能有 4 個孩子，但沒有家庭有 3.5 個孩子。
3. 具有計算機科學背景的人會認識到整數變數是量化的，因為它們只能儲存某些整數值，而不是分數或小數點。

關於計算機的最後一個例子是最相關的，因為量化系統通常是基於計算機的。使用計算機軟體和硬體實現的系統通常是量化的。

以下是一個量化訊號的波形示例。注意波形的幅度只能取某些值，從而產生階梯狀外觀。此影像在幅度上是離散的，但在時間上是連續的

模擬

根據定義

模擬

如果訊號在所有時間點都定義，並且可以在其範圍內取任何實數幅度值，則該訊號被認為是模擬訊號。

模擬系統是一個使用從一種形式到另一種形式的直接轉換來表示資料的系統。換句話說，模擬系統是一個在時間和幅度上都是連續的系統。

示例：電機

如果我們有一個給定的電機，我們可以證明電機的輸出（例如以弧度每秒為單位的旋轉）是電機輸入電壓的函式。我們可以將這種關係表示為

${\dot {\theta }}(v)=f(v)$

其中 ${\dot {\theta }}$ 是以 rad/sec 為單位的輸出，而 $f(v)$ 是電機在輸入電壓 ($v$) 和輸出之間的轉換函式。對於任何 $v$ 值，我們可以具體計算出電機應該具有的轉速。

示例：模擬時鐘

考慮一個標準的模擬時鐘，它透過時鐘指標的角位置來表示時間的流逝。我們可以用以下方程組來表示時鐘指標的角位置

$\phi _{h}=f_{h}(t)$

$\phi _{m}=f_{m}(t)$

$\phi _{s}=f_{s}(t)$

其中 $\phi _{h}$ 是時針的角位置，$\phi _{m}$ 是分針的角位置，$\phi _{s}$ 是秒針的角位置。所有鐘錶指標的位置都取決於時間函式。

鐘錶表面上的不同位置直接對應於一天中的不同時間。

數字

數字資料由離散數字值表示。根據定義

數字

如果訊號或系統既是離散時間又是量化的，則該訊號或系統被認為是數字的。

數字資料總是具有特定的粒度，因此使用此類資料幾乎總會有一個錯誤，尤其是在我們想要考慮所有實數的情況下。當然，使用數字系統的折衷是，我們可以指示我們功能強大的計算機使用我們功能強大的摩爾定律微處理器單元僅對數字資料進行操作。這種益處遠遠超過數字表示系統的缺點。

離散系統將在方括號內表示，這在處理離散值的文字中是一種常見表示法。例如，我們可以用以下表示法表示一個從 1 開始的升序數字的離散資料集

x[n] = [1 2 3 4 5 6 ...]

n 或字母表中心區域的其他字母（例如 m、i、j、k、l）通常用來表示離散時間值。模擬或“非離散”值在正則表示式語法中使用括號表示。以下是一個模擬波形和數字等效波形的示例。請注意，數字波形在時間和幅度上都是離散的

模擬波形	數字波形

示例：數字鐘

作為常見的例子，讓我們考慮一個數字鍾：數字鐘用 1 和 0 的二進位制電訊號表示時間。1 通常用正電壓表示，0 通常用零電壓表示。用二進位制計數，我們可以證明任何給定時間都可以用以 2 為底的數字系統表示

分鐘	二進位制表示
1	1
10	1010
30	11110
59	111011

但是，如果我們想顯示幾分之幾或幾秒之幾怎麼辦？典型的數字鐘具有一定的精度，它不能表示小於該精度的分數值。

混合系統

混合系統是指同時具有模擬和數字元件的系統。稱為取樣器的裝置用於將模擬訊號轉換為數字訊號，而稱為重建器的裝置用於將數字訊號轉換為模擬訊號。由於使用了取樣器，混合系統通常被稱為取樣資料系統。

示例：汽車計算機

如今，大多數現代汽車都集成了監控汽車某些方面的計算機系統，並實際幫助控制汽車的效能。汽車的速度和變速箱的轉速是模擬值，但取樣器將其轉換為數字值，以便汽車計算機可以監控它們。然後，數字計算機將輸出控制訊號到汽車的其他部件，以改變模擬系統，例如發動機正時、懸架、制動器和其他部件。由於汽車既有數字元件又有模擬元件，因此它是一個混合系統。

連續和離散

注意
我們這裡沒有使用“連續”一詞來表示連續可微，這在數學文字中很常見。

如果訊號在所有時間都存在，則該系統被認為是連續時間的。通常，“模擬”和“連續”這兩個詞可以互換使用，儘管它們並不嚴格相同。

離散系統可以分為三種類型

1. 離散時間（取樣）
2. 離散幅度（量化）
3. 離散時間和幅度（數字）

離散幅度系統是指訊號值只能取某些值的系統。離散時間系統是指訊號僅在特定時間可用（或有效）的系統。計算機系統在（3）的意義上是離散的，因為資料僅在特定的離散時間間隔內讀取，並且資料只能具有有限數量的離散值。

離散時間系統有一個與其關聯的取樣時間值，因此每個離散值都發生在給定取樣時間的倍數處。我們將系統的取樣時間表示為 T。我們可以將系統的方括號表示法與系統的連續定義等同起來，如下所示

$x[n]=x(nT)$

請注意，這兩種表示法顯示的是相同的內容，但第一個通常更容易寫，而且它表明所討論的系統是離散系統。本書將使用方括號表示以樣本編號 n 表示的離散系統，並使用括號表示連續時間函式。

取樣和重建

將模擬資訊轉換為數字資料的過程稱為“取樣”。將數字資料轉換為模擬訊號的過程稱為“重建”。我們將在後面的章節中討論這兩個過程。有關本書中未包含的主題的更多資訊，請參閱模擬和數字轉換華夏公益教科書。以下是一個重建波形的示例。請注意，這裡重建的波形是量化的，因為它是由數字訊號構建的

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