控制系統/系統辨識

系統

系統，從某種意義上說，是接收輸入併產生輸出的裝置。可以認為系統對輸入進行操作以產生輸出。輸出與輸入之間的關係被稱為系統響應。系統響應通常可以用輸入和輸出之間的數學關係來建模。

系統屬性

物理系統可以根據系統所表現的特定屬性劃分為許多不同的類別。一些系統分類非常容易處理，並且有大量的分析理論基礎。一些系統分類非常複雜，至今還沒有得到成功的研究。透過正確識別系統的屬性，可以選擇某些分析和設計工具用於系統。

本書的前幾節將主要關注線性時不變 (LTI) 系統。LTI 系統是最容易處理的系統類別，並且具有一些使它們成為理想研究物件的屬性。本章討論了一些系統的屬性。

本書後面的章節將討論時變系統和非線性系統。時變系統和非線性系統都是當前研究的非常複雜的領域，並且可能難以正確分析。不幸的是，大多數現實世界的物理系統都是時變的、非線性的，或者兩者兼而有之。

可以在這裡找到有關係統辨識和最小二乘技術的介紹：這裡。可以在這裡找到有關引數辨識技術的介紹：這裡.

初始時間

系統的初始時間是指沒有輸入的時間之前。通常，系統的初始時間被定義為零，這將顯著簡化分析。一些技術，例如拉普拉斯變換，要求系統的初始時間為零。系統的初始時間通常用 t₀ 表示。

任何變數在初始時間 t₀ 的值將用 0 下標表示。例如，變數 x 在時間 t₀ 的值由下式給出

$x(t_{0})=x_{0}$

同樣，任何帶有正下標的時間 t 都是在 t₀ 之後的時間點，按升序排列

$t_{0}\leq t_{1}\leq t_{2}\leq \cdots \leq t_{n}$

因此 t₁ 發生在 t₀ 之後，而 t₂ 發生在這兩個時間點之後。與上面類似，帶有正下標的變數（除非指定向量中的索引）也發生在那個時間點

$x(t_{1})=x_{1}$

$x(t_{2})=x_{2}$

這對於所有時間點 t 都有效。

可加性

如果輸入的總和導致輸出的總和，則系統滿足可加性屬性。根據定義：一個輸入為 $x_{3}(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)$ 將導致一個輸出為 $y_{3}(t)=y_{1}(t)+y_{2}(t)$。為了確定系統是否可加，請使用以下測試

給定一個接收輸入 x 並輸出值 y 的系統 f，假設兩個輸入 (x₁ 和 x₂) 產生兩個輸出

$y_{1}=f(x_{1})$

$y_{2}=f(x_{2})$

現在，建立一個複合輸入，它是之前輸入的總和

$x_{3}=x_{1}+x_{2}$

然後，如果以下方程成立，則系統是可加的

$y_{3}=f(x_{3})=f(x_{1}+x_{2})=f(x_{1})+f(x_{2})=y_{1}+y_{2}$

滿足此屬性的系統稱為可加的。可加系統很有用，因為可以使用簡單輸入的總和來分析系統對更復雜輸入的響應。

例如：正弦波

給定以下方程

$y(t)=\sin(3x(t))$

建立一個輸入的總和為

$x(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)$

並構建預期的輸出總和

$y(t)=y_{1}(t)+y_{2}(t)$

現在，將這些值代入我們的方程，測試是否相等

$y_{1}(t)+y_{2}(t)=\sin(3[x_{1}(t)+x_{2}(t)])$

等式不滿足，因此正弦運算不可加。

齊次性

如果輸入乘以某個因子產生的輸出也乘以相同的因子，則系統滿足齊次性條件。根據定義：$ax_{1}$的輸入會導致$ay_{1}$的輸出。換句話說，要檢視函式f()是否為齊次的，請執行以下測試

用任意輸入x刺激系統f，以產生輸出y

$y=f(x)$

現在，建立一個第二個輸入x₁，將其乘以一個乘法因子C（C是一個任意常數值），併產生相應的輸出y₁

$y_{1}=f(Cx_{1})$

現在，將x設為等於x₁

$x_{1}=x$

為了使系統成為齊次系統，以下等式必須成立：

$y_{1}=f(Cx)=Cf(x)=Cy$

齊次系統在許多應用中都有用，特別是那些涉及增益或放大的應用。

示例：直線

給定直線的方程式：

$y=f(x)=2x+3$

$y_{1}=f(Cx_{1})=2(Cx_{1})+3=C2x_{1}+3$

$x_{1}=x$

比較這兩個結果，很容易看出它們不相等。

$y_{1}=C2x+3\neq Cy=C(2x+3)=C2x+C3$

因此，該方程式不是齊次的。

練習

證明加性蘊含齊次性，但齊次性不蘊含加性。

線性

如果一個系統滿足加性和齊次性的條件，則該系統被認為是**線性的**。簡而言之，如果以下內容為真，則該系統是線性的：

取兩個任意輸入，併產生兩個任意輸出。

$y_{1}=f(x_{1})$

$y_{2}=f(x_{2})$

現在，輸入的線性組合應該產生輸出的線性組合。

$f(Ax_{1}+Bx_{2})=f(Ax_{1})+f(Bx_{2})=Af(x_{1})+Bf(x_{2})=Ay_{1}+By_{2}$

加性和齊次性的這個條件稱為**疊加**。如果一個系統滿足疊加條件，則該系統是線性的。

示例：線性微分方程

以下方程式是否線性？

${\frac {dy(t)}{dt}}+y(t)=x(t)$

為了確定該系統是否為線性系統，構建一個新的複合輸入：

$x(t)=Ax_{1}(t)+Bx_{2}(t)$

現在，建立預期的複合輸出：

$y(t)=Ay_{1}(t)+By_{2}(t)$

將這兩個代入原始方程：

${\frac {d[Ay_{1}(t)+By_{2}(t)]}{dt}}+[Ay_{1}(t)+By_{2}(t)]=Ax_{1}(t)+Bx_{2}(t)$

將導數運算元分解出來，如下所示

${\frac {d}{dt}}[Ay_{1}(t)+By_{2}(t)]+[Ay_{1}(t)+By_{2}(t)]=Ax_{1}(t)+Bx_{2}(t)$

最後，將各種組合項轉換為相應的變數，以證明該系統是線性的

${\frac {dy(t)}{dt}}+y(t)=x(t)$

記錄一下，導數和積分是線性運算元，而常微分方程通常是線性方程。

記憶

如果系統的輸出依賴於系統過去（或未來！）的輸入，則稱該系統具有記憶。如果輸出僅依賴於當前輸入，則稱該系統為無記憶系統。無記憶系統更容易處理，但在數字訊號處理應用中，具有記憶的系統更為常見。

具有記憶的系統被稱為動態系統，而沒有記憶的系統被稱為靜態系統。

因果性

因果性是一個與記憶非常相似的屬性。如果系統僅依賴於過去和/或當前的輸入，則稱該系統為因果系統。如果系統的輸出僅依賴於未來的輸入，則稱該系統為反因果系統。如果輸出依賴於過去和/或當前和未來的輸入，則稱該系統為非因果系統。

時間不變性

如果輸入和輸出訊號之間的系統關係不依賴於時間的推移，則稱該系統為時間不變系統。如果輸入訊號$x(t)$產生輸出$y(t)$，則任何時間偏移的輸入，$x(t+\delta )$，都會產生時間偏移的輸出$y(t+\delta )$。如果系統的傳遞函式不是時間的函式（除了由輸入和輸出表示），則可以滿足此屬性。如果系統是時間不變的，那麼系統塊與任意延遲是可交換的。時間不變系統的這一方面將在後面討論。

要確定系統 f 是否是時間不變的，請執行以下測試

將任意輸入 x 應用於系統併產生任意輸出 y

$y(t)=f(x(t))$

將第二個輸入 x₁ 應用於系統，併產生第二個輸出

$y_{1}(t)=f(x_{1}(t))$

現在，將 x₁ 設定為等於第一個輸入 x，並按給定常數值 δ 進行時間偏移

$x_{1}(t)=x(t-\delta )$

最後，如果 y₁ 等於 y 按相同值 δ 偏移，則該系統是時間不變的

$y_{1}(t)=y(t-\delta )$

LTI 系統

如果系統滿足時間不變性和線性的要求，則認為該系統是線性時不變 (LTI) 系統。LTI 系統是最重要的系統型別之一，並且在本書的開頭幾章中，將幾乎專門討論 LTI 系統。

在實踐中，非 LTI 系統更為常見，但分析起來要困難得多。

集中性

如果滿足以下兩個條件之一，則稱系統為集中系統

1. 系統可以處於有限數量的狀態。
2. 存在有限數量的狀態變數。

"狀態"和"狀態變數"的概念比較高階，將在討論現代控制時詳細介紹。

非集中式系統被稱為**分散式**系統。分散式系統的簡單例子是一個具有延遲的系統，即 $A(s)y(t)=B(s)u(t-\tau )$，它具有無限數量的狀態變數（這裡我們用 $s$ 表示拉普拉斯變數）。然而，儘管分散式系統非常常見，但實際上它們很難分析，而且很少有工具可以用於處理此類系統。幸運的是，在大多數情況下，可以用帕德逼近方法充分地對延遲進行建模。本書不會過多討論分散式系統。

鬆弛

如果系統是因果的，並且在初始時間 t₀ 系統的輸出為零，則稱該系統為**鬆弛**的，即系統中沒有儲存能量。輸出僅由隨後施加的輸入唯一地激發。

$y(t_{0})=f(x(t_{0}))=0$

在微分方程方面，鬆弛系統被稱為具有“零初始狀態”。沒有初始狀態的系統更容易處理，但非鬆弛系統通常可以修改為近似鬆弛系統。

穩定性

控制系統工程師經常會說，不穩定的系統“爆炸”了。一些物理系統在變得不穩定時確實會破裂或爆炸。

**穩定性**是系統中非常重要的概念，但也是最難證明的功能特性之一。系統穩定性有多種不同的標準，但最常見的需求是系統在受到有限輸入時必須產生有限的輸出。例如，如果在給定電路的輸入端施加 5 伏，最好是電路的輸出不會趨於無窮大，並且電路本身不會熔化或爆炸。這種型別的穩定性通常被稱為“**有界輸入，有界輸出**”穩定性，或簡稱**BIBO**。

還有許多其他型別的穩定性，其中大多數都基於 BIBO 穩定性的概念。由於穩定性是一個如此重要和複雜的話題，本書專門有一節內容來研究它。

輸入和輸出

系統也可以根據系統的輸入數量和輸出數量進行分類。例如，將電視機視為一個系統。該系統有兩個輸入：電源線和訊號線。它有一個輸出：影片顯示。具有一個輸入和一個輸出的系統稱為**單輸入單輸出**系統，簡稱**SISO**。具有多個輸入和多個輸出的系統稱為**多輸入多輸出**系統，簡稱**MIMO**。

這些系統將在後面更詳細地討論。

練習

根據上面對 SISO 和 MIMO 的定義，確定 SIMO 和 MISO 的縮寫含義。

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