控制系統/導論

華夏公益教科書的

控制系統

和控制工程

本華夏公益教科書

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什麼是控制系統？

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自動控制系統的研究和設計，一個被稱為控制工程的領域，在現代技術社會中變得越來越重要。從像烤麵包機或馬桶這樣簡單的裝置，到像太空梭和動力轉向這樣的複雜機器，控制工程都是我們日常生活的一部分。本書介紹了控制工程領域，並探討了該領域的一些更高階的主題。但是，請注意，控制工程是一個非常大的領域，本書只作為控制工程的基礎和對該領域選定高階主題的介紹。本書中的主題由作者自行決定新增，代表了我們貢獻者的可用專業知識。

控制系統是新增到其他元件中的元件，以增強功能或滿足一組設計標準。例如

我們有一個特定的電動機，它應該以 40 RPM 的速度轉動。為了達到這個速度，我們必須在電機端子上提供 10 伏的電壓。但是，當電機靜止時，提供 10 伏的電壓，電機需要 30 秒才能加速到正常速度。這是寶貴的時間損失。

這個簡單的例子對於電機系統的使用者和設計者來說可能很複雜。似乎很明顯，電機應該以更高的電壓啟動，以便更快地加速。然後，一旦電機達到理想速度，我們可以將電源降低到 10 伏。

這顯然只是一個簡化的例子，但它說明了一個重要的觀點：我們可以將特殊的“控制器單元”新增到現有的系統中，以提高效能並滿足新的系統規範。

以下是一些在本書中使用的術語的正式定義

控制系統: 控制系統是一種裝置或一組裝置，用於管理其他裝置的行為。有些裝置是不可控制的。控制系統是按特定方式連線或關聯的元件的互連，以命令、指示或調節自身或其他系統。

控制系統是設計具有調節和/或跟蹤功能的系統以獲得預期效能的概念框架。為此，必須有一組可測量的訊號以瞭解效能，另一組可測量的訊號以影響系統隨時間的演變，以及第三組不可測量但會干擾演變的訊號。

控制器: 控制器是一種控制系統，它使用執行器來管理另一個裝置或系統的行為。控制器通常接收來自系統外部的某些輸入訊號，指示系統提供所需的輸出。在閉環系統中，該訊號使用來自系統內部的感測器的訊號進行預處理。

執行器: 執行器是一種裝置，它接收來自控制器的訊號，並執行某些操作以相應地影響系統。

補償器: 補償器是一種控制系統，它透過調節該系統的輸入或輸出來調節另一個系統。補償器通常用於校正單個設計缺陷，目的是儘量減少對設計其他方面的影響。

本質上，解決設計新控制系統的問題有兩種方法：經典方法和現代方法。

經典與現代

經典和現代控制方法的命名方式具有誤導性，因為被稱為“經典”的一組技術實際上是在被稱為“現代”的技術之後才發展起來的。但是，就發展控制系統而言，現代方法最近被用於取得了巨大效果，而經典方法逐漸失寵。最近，已經證明，經典方法和現代方法可以結合起來，以突出各自的優缺點。

經典方法，本書將首先考慮，是涉及拉普拉斯變換域的方法。物理系統是在所謂的“時域”中建模的，其中給定系統的響應是各種輸入、先前系統值和時間的函式。隨著時間的推移，系統的狀態及其響應會發生變化。但是，系統的時域模型通常使用高階微分方程進行建模，這些方程對人類來說可能難以求解，其中一些甚至對現代計算機系統來說也難以有效求解。為了抵消這個問題，可以使用積分變換，如拉普拉斯變換和傅立葉變換，將時域中的常微分方程 (ODE) 轉換為變換域中的正則代數多項式。一旦給定系統被轉換為變換域，它就可以更容易地操作，並可以由人和計算機快速分析。

現代控制方法沒有改變域以避免時域 ODE 數學的複雜性，而是將微分方程轉換為稱為狀態方程的一組低階時域方程，然後可以使用線性代數中的技術對其進行操作。本書將第二考慮現代方法。

控制系統領域經常做出的第三個區分是將模擬方法（如上所述的經典和現代）與數字方法區分開來。數字控制方法旨在嘗試將新興的計算機系統功能整合到以前的控制方法中。一種稱為Z 變換的特殊變換被開發出來，可以充分描述數字系統，但同時也可以（經過一些努力）轉換為拉普拉斯域。一旦進入拉普拉斯域，數字系統就可以以與經典模擬系統非常類似的方式進行操作和分析。因此，本書不會對模擬系統和數字系統進行嚴格的區分，而是試圖並行研究這兩種正規化。

這本書適合誰？

本書旨在作為本科和研究生工程課程的輔助教材。正如之前提到的，本書不側重於工程學的任何特定學科，但任何想要使用本材料的人應該具備拉普拉斯變換（如果不是其他變換）的基本知識、微積分等等。本書中的材料可用於輔助多個學期的學習，具體取決於你所在學院或大學的課程安排。控制系統學習通常是為四年制本科課程中三年級或四年級學生保留的主題，因為它需要大量的先修知識。一些更高階的主題可能要到研究生階段才會被涵蓋。

許多學院和大學在本科階段只提供一到兩門專門關於控制系統的課程。然而，一些大學確實會提供更多課程，這取決於材料的劃分方式以及需要涵蓋的深度。此外，許多機構會提供一些關於該主題的研究生課程。本書將嘗試從研究生和本科的角度涵蓋控制系統主題，將高階主題建立在基礎主題之上，以一種直觀的方式進行。因此，學生應該能夠從任何看起來合適的起點開始閱讀本書，並且能夠在不再需要進一步資訊時結束閱讀。

先決條件是什麼？

理解本書中的材料需要紮實的數學基礎。本書目前沒有解釋，也永遠不會嘗試完全解釋本文中使用的多數必要數學工具。因此，讀者預計已經閱讀了以下華夏公益教科書，或者具有與之相當的背景知識。

代數
微積分: 讀者應該對微分和積分有很好的理解。偏微分、多重積分和多個變數的函式偶爾會使用，但學生不一定需要精通這些科目。這些高階微積分主題更適合作為先修課程的補充課程，而不是先修課程。
線性代數: 狀態空間系統表示大量依賴於線性代數技術。學生應該知道如何對矩陣進行操作。學生應該理解基本的矩陣運算（加法、乘法、行列式、逆矩陣、轉置）。學生也會從先前對特徵值和特徵向量的理解中受益，但這些主題在本教材中有所涵蓋。
常微分方程: 所有線性系統都可以用線性常微分方程來描述。因此，學生了解這些方程將大有裨益。本書的大部分內容描述了分析這些方程的方法。學生應該知道什麼是微分方程，並且他們應該知道如何找到一階和二階常微分方程的一般解。
工程分析: 本書強化了工程分析一書中使用的許多高階數學概念，對於某些主題的進一步資訊，我們將參考上述文字的相關部分。這本質上是一本數學書，但側重於各種工程應用。它依賴於對本列表中其他數學書籍的先前知識。
訊號與系統: 訊號與系統一書將提供系統理論領域的基礎，控制系統是該領域的子集。沒有閱讀過訊號與系統一書的讀者在閱讀本書時會處於極大的劣勢。

本書是如何組織的？

本書將按照特定的順序進行組織。首先，本書將討論系統理論的基礎知識，並簡要回顧一下積分變換。第 2 部分將為不熟悉數字資訊的同學提供關於數字資訊的簡要入門知識。這樣做是為了使數字訊號和模擬訊號在本書的其餘部分能夠並行考慮。接下來，本書將介紹狀態空間系統描述和控制方法。在第 3 部分之後，本書中的主題將交替使用（有時也同時使用）狀態空間和變換方法。因此，在深入研究本書後面的部分之前，務必認真閱讀並理解這三章。

在本書的“基礎”部分之後，我們將深入研究分析和設計控制系統的具體方法。首先，我們將討論拉普拉斯域穩定性分析技術（勞斯-赫維茨、根軌跡），然後是頻率方法（奈奎斯特判據、伯德圖）。在討論了經典方法之後，本書將討論現代穩定性分析方法。最後，將根據各貢獻者的知識水平，觸及一些高階主題。

隨著本書主題的擴充套件，先決條件也將隨之擴充套件。例如，當本書擴充套件到涵蓋非線性系統時，將需要對非線性數學的基本背景知識。

版本

本華夏公益教科書已經擴充套件到包含多個文字版本，這些版本按涵蓋的材料和材料呈現的順序進行區分。每個不同的版本都由本書的章節組成，這些章節以不同的順序排列。本書涵蓋了廣泛的資訊，因此，如果你不需要本書提供的全部資訊，那麼其他版本中的某個版本可能更適合你和你自己的教育需求。

每個單獨的版本都包含一個目錄，概述了該版本中包含的不同章節。此外，每個單獨的版本都提供完整的可列印版本，有些甚至提供 PDF 版本。

請檢視所有版本列表頁面，找到適合你和你自己需求的版本。

微分方程回顧

控制系統研究中隱含地使用了微分方程。即使它們在表面上不可見，我們將在其中研究的所有連續時間系統都由常微分方程 (ODE) 在時間域中描述，其中一些方程的階數相當高。

讓我們回顧一下一些微分方程基礎知識。考慮一個銀行的主題。在給定的本金餘額（你存入銀行的金額）P 上產生的利息量由以下公式給出：

{\frac {dP}{dt}}=rP

其中 ${\frac {dP}{dt}}$ 是利息（本金的變化率），r 是利率。注意，在本例中，P 是時間的函式 (t)，可以改寫為反映這一點：

{\frac {dP(t)}{dt}}=rP(t)

為了解決這個基本的一階方程，我們可以使用一種稱為“變數分離”的技術，將所有字母 P 的例項移到一側，將所有字母 t 的例項移到另一側：

{\frac {dP(t)}{P(t)}}=r\ dt

對兩邊積分得到：

\ln |P(t)|=rt+C

這很好，但通常我們喜歡透過將兩邊都提高到 e 的冪來消除對數。

P(t)=e^{rt+C}

我們可以這樣分離常數

D=e^{C}

P(t)=De^{rt}

D 是一個常數，代表系統的初始條件，在本例中是起始本金。

微分方程特別難以操作，尤其是在我們進入高階方程時。幸運的是，已經建立了幾種抽象方法，使我們能夠處理 ODE，但同時不必擔心它們的複雜性。如上所述的經典方法使用拉普拉斯、傅立葉和 Z 變換將時域中的 ODE 轉換為復域中的多項式。這些復多項式比 ODE 對應物要容易得多。現代方法將微分方程分解為低階方程組，並用矩陣表示該系統。ODE 理論中一個普遍的原則是在 N 階 ODE 可以分解為 N 個 1 階方程。

不熟悉微分方程的讀者可能能夠合理地閱讀和理解本書中的內容。但是，鼓勵所有讀者閱讀微積分中相關的部分。

歷史

控制系統領域實質上起源於古代世界。早期的文明，特別是希臘人和阿拉伯人，非常重視時間的精確測量，其結果是設計和實施了幾個“水鍾”。

然而，在歐洲文藝復興開始之前，工程領域幾乎沒有取得實際進展。萊昂哈德·尤拉（以尤拉公式命名）發現了一種強大的積分變換，但皮埃爾-西蒙·拉普拉斯使用這種變換（後來稱為拉普拉斯變換）來解決機率論中的複雜問題。

約瑟夫·傅立葉是拿破崙一世統治下的法國宮廷數學家。他建立了一種稱為傅立葉級數的特殊函式分解，後來被推廣到積分變換，並以他的名字命名（傅立葉變換）。


皮埃爾-西蒙·拉普拉斯 1749-1827	約瑟夫·傅立葉 1768-1840

控制工程的“黃金時代”發生在 1910-1945 年間，當時正在建立大眾傳播方法，並且發生了兩次世界大戰。在此期間，控制工程界的一些最著名人物都在進行他們的工作：奈奎斯特和博德。

亨德里克·瓦德·博德和哈里·奈奎斯特，特別是在 1930 年代在貝爾實驗室工作時，創造了我們現在稱為“經典控制方法”的大部分內容。這些方法基於拉普拉斯和傅立葉變換的結果，這些結果以前是已知的，但由奧利弗·亥維賽德在世紀之交推廣。在亥維賽德之前，變換不是廣泛使用，也不是受尊重的數學工具。

博德因“發現”閉環反饋系統和仍以他的名字命名的對數繪圖技術（博德圖）而聞名。哈里·奈奎斯特在系統穩定性和資訊理論領域進行了廣泛的研究。他建立了一個強大的穩定性準則，以他的名字命名（奈奎斯特准則）。

現代控制方法是在 1950 年代初引入的，作為繞過經典方法的一些缺點的一種方法。魯道夫·卡爾曼以他在現代控制理論方面的成就而聞名，並以他的名字命名了一種稱為卡爾曼濾波器的自適應控制器。現代控制方法在 1957 年計算機的發明和太空計劃的開始後變得越來越流行。計算機創造了對數字控制方法的需求，而太空計劃需要建立一些“高階”控制技術，例如“最優控制”、“魯棒控制”和“非線性控制”。這些最後幾個主題以及更多主題仍然是研究工程師的活躍研究領域。

控制工程的分支

這裡我們將簡要列出控制工程領域中各種不同的方法。通常，這些方法之間的界限會模糊甚至完全消失。

經典控制: 控制方法，其中描述系統的 ODE 使用拉普拉斯、傅立葉或 Z 變換進行變換，並在變換域中進行操作。
現代控制: 將高階微分方程分解為一階方程組的方法。系統的輸入、輸出和內部狀態由稱為“狀態變數”的向量描述。
魯棒控制: 控制方法，其中考慮了任意外部噪聲/擾動，以及系統自身熱量和環境引起的內部不準確性。
最優控制: 在一個系統中，識別效能指標，並將其排列到“成本函式”中。最小化成本函式以建立具有最低成本的作業系統。
自適應控制: 在自適應控制中，控制會隨著時間的推移改變其響應特性以更好地控制系統。
非線性控制: 控制工程中最年輕的分支，非線性控制涵蓋了無法用線性方程或 ODE 描述的系統，並且通常很少有支援理論可用。
博弈論: 博弈論是控制理論的近親，尤其是魯棒控制和最優控制理論。在博弈論中，外部擾動不被認為是隨機噪聲過程，而是被認為是“對手”。每個玩家都有一個他們試圖最小化的成本函式，而他們的對手試圖最大化它。

本書肯定會涵蓋前兩個分支，如果時間允許，希望能夠擴充套件到涵蓋後來的某些分支。

MATLAB

有關在控制系統中使用 MATLAB 的資訊，請參閱
附錄

MATLAB ® 是一種在控制工程領域中常用的程式設計工具。我們將在本書專門用於此目的的特定章節中討論 MATLAB。MATLAB 不會出現在這些特定章節以外的討論中，儘管 MATLAB 可能在一些示例問題中使用。有關在控制工程中使用 MATLAB 的概述，請參閱附錄：Control Systems/MATLAB.

有關 MATLAB 的更多資訊，請參閱：MATLAB 程式設計.

有關如何正確引用 MATLAB 的更多資訊，請參閱
資源

幾乎所有關於控制系統、線性系統和系統分析的教科書都將 MATLAB 作為文字的組成部分。在認可大學學習該學科的學生肯定會在他們的教科書中看到這些材料，並且很可能將 MATLAB 工作作為他們課程的一部分。MATLAB 附錄就是從這種角度編寫的。

將來，本書可能會擴充套件到包括有關Simulink ® 以及 MATLAB 的資訊。

有許多其他軟體工具可用於分析和設計控制系統。可以根據貢獻者的經驗和先前知識在本書的附錄中新增更多資訊。

關於格式

本書將在整個過程中使用一些簡單的約定。

數學約定

數學公式將使用 {{eqn}} 模板進行標註，以便為它們命名。以這種方式標註的公式很重要，應特別注意。例如，請注意此公式右側的標籤

[逆拉普拉斯變換]

f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}={1 \over {2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }e^{st}F(s)\,ds

以這種方式命名的公式也將被複制到書末的公式列表術語表中，以便於參考。

斜體將用於出現在正文中的英文變數、函式和公式。例如 e、j、f(t) 和 X(s) 都是斜體的。華夏公益教科書包含 LaTeX 數學格式化引擎，儘管由於大小和字型的差異，將盡力避免在與其他文字內聯的數學公式中使用格式化的數學公式。希臘字母和其他非英文字元在文字中不會被斜體化，除非它們出現在多個變數中，而這些變數都是斜體的（為了方便編輯器）。

標量時域函式和變數將用小寫字母表示，並帶有括號中的 t，例如：x(t)、y(t) 和 h(t)。離散時間函式將以類似的方式寫，只是用 [n] 代替 (t)。

傅立葉、拉普拉斯、Z 和星變換函式將用大寫字母表示，後面是括號中的適當變數。例如：F(s)、X(jω)、Y(z) 和 F*(s)。

矩陣將用大寫字母表示。時間函式的矩陣將用大寫字母加括號中的 t 表示。例如：A(t) 是一個矩陣，a(t) 是一個時間標量函式。

時變矩陣的變換將以大寫粗體字母顯示，例如 H(s)。

使用 LaTeX 渲染的數學公式將出現在單獨的行上，並且會從文字的其餘部分縮排。